新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题12三角函数全题型压轴题（教师版）

这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题12三角函数全题型压轴题（教师版），共76页。试卷主要包含了已知，给出下述四个结论等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·上海市向明中学高三开学考试）直线与函数的图像在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，下列结论：①；②在上是减函数；③为等差数列；④．其中正确的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【详解】因为函数，所以，
故①错误；
当，，因为在上不单调，故②错误；
因为与的图像在y轴右侧交点的横坐标从左到右依次为，
即，解得或，，
因为，所以，不是等差数列，
故③错误；
因为，
所以
，故④正确.故A，B，D错误.
故选：C.
2．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①④
【答案】D
【详解】解：对于①，易得的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故正确；
对于②和③，因为，
，
且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当时，，
因为，所以，
所以，所以；
当时，，
因为，
所以，所以；
当时，；
当时，，
因为，
所以，所以，
所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；
故选：D
3．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知函数，若在区间内恰好有7个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：当时，对任意，在内最多有2个零点，不符题意；
所以，
当时，,开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为当时，；
当，即时，在内无零点，
所以在内有7个零点，
即在内有7个零点，
因为，所以，，
所以，解得，
又因为，
所以无解；
当，即时，
=在内有1个零点，
在内有6个零点，
即在内有6个零点，
由三角函数的性质可知此时在内只有4个零点，不符题意；
当，即时，
=在内有2个零点，
所以=在内有5个零点，
即在内有5个零点，
因为，所以，，
所以，解得，
又因为时，
所以，
当，即时，
在内有1个零点，
所以在内有6个零点，
即在内有6个零点，
因为，所以，，
所以，解得，
又因为，
所以.
综上所述，的取值范围为：.
故选：D.
4．（2022·上海·高三开学考试）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（ ）
①的图象关于直线对称；②在上是增函数；
③的最大值为；④若，则．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】①因为，
所以的图象不关于直线对称，错误；
②，
当时，，则，
所以在上是增函数，正确；
③因为的周期为，的周期为，所以的周期为，不妨取一个周期上求其最值，
令得或，当或时，，此时，所以在和上递增，当时，，此时，但不恒为零，所以在上递减，又，所以，，所以正确；
④若，不妨取，，
因为，，，
所以，正确．
故选：C．
5．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知函数，以下结论正确的是（ ）
A．是的一个周期B．函数在单调递减
C．函数的值域为D．函数在内有6个零点
【答案】C
【详解】因为，所以A错误；
当，，其中，不妨令为锐角，所以，所以，因为，所以B错误；
因为是函数的一个周期，可取一个周期上研究值域，当，
，，所以，即；因为关于对称，所以当时，故函数在上的值域为，故C正确；
因为函数为偶函数，所以在区间上零点个数可通过区间上零点个数，由，在图像知由2个零点，所以在区间上零点个数为4个，所以D错误．
故选:C.
6．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数在R上满足，且时，对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，当时，，
若，则当时，，当时，，，
函数的图象是由的图象向右平移个单位而得，
显然的图象总在的图象的上方，即恒成立，因此，
若，当时，，因为奇函数，函数在R上的图象，如图，
把的图象向右平移个单位得的图象，要，恒成立，
当且仅当射线经平移后在射线及下方，于是得，则，
综上得，即，而，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
7．（2022·云南楚雄·高一期末）设函数，已知在上有且仅有4个零点，现有下列四个结论：
①的取值范围是；
②的图像与直线在上的交点恰有2个；
③的图像与直线在上的交点恰有2个；
④在上单调递减.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】A
【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，
所以，解得，故①正确；
又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，
且，则在上，出现两次最大值，
此时函数的大致图像如图示：
即在上两次出现最大值1，即取时，取最大值，
故的图像与直线在上的交点恰有2个，故②正确；
由于当时，，，
当时，取最小值，由于是否取到不确定，
故的图像与直线在上的交点可能是1个或2个，故③错误；
当时，，
因为，所以，，
故的值不一定小于，
所以在上不一定单调递减，故④错误.
故选：A.
8．（2022·四川乐山·高一期末）向量，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，设，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，
又，在上单调递减，所以，，
∴，∴，
∴，
故选：B．
9．（2022·山西·忻州一中模拟预测（文））定义：设不等式的解集为A，若A中只有唯一整数，则称A为“和谐解集”．若关于x的不等式在上存在“和谐解集”，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：不等式可化为．
由函数得只有一个整数解，这唯一整数解只能是，
因为点是图像上的点，所以．
所以数m的取值范围为.
故选：A.
10．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）设，函数．若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又因函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，
当时，令，
由，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故选：B.
11．（2022·安徽·高三开学考试）有下列命题:
①函数在定义域内是增函数;
②函数的最小正周期为;
③直线为函数图像的一条对称轴;
④函数的值域为.
其中所有正确命题的序号为_____.
【答案】③④
【详解】对于①，由的图像（如图）易知①错；
对于②，因为，而，即，故不是的一个周期，故②错；
对于③，,，所以,故为的一条对称轴，故③对；
对于④，当时，,，,
,；
当时，,，,,；综上，，故④对.
故答案为：③④.
12．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）如图，正方形的边长为10米，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记，的长度之和为．则的最大值为___________．
【答案】
【详解】由题设，，，
而，故，
所以，
综上，且，
所以，
令，则，
所以，故在上递减，
所以，此时或.
故答案为：
13．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数若方程在上的解为则________.
【答案】
【详解】
，令，
得的对称轴方程为，时，的
解为，结合图像一定有，代回得:，又时的
解为
故答案为：.
14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正偶数x为___________.
【答案】4
【详解】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得；
由，即，
∴或，
解得或，
令，可得或，
所以最小正偶数为4.
故答案为：4.
②函数的图象变换
1．（2022·广东茂名·高一期末）将函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，再向下平移1个单位长度，最后向左平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，都存在，使得，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题，，又对任意，都存在，使得，故在上的值域包含在上的值域.又当时，，即在上的值域包含.又当时， ，且有解，故区间包含，排除AB；又当时，，因为，故不包含不合题意排除D；当时，此时，故，故此时在上的值域包含满足条件.综上所述满足条件
故选：C
2．（2022·湖南·长沙一中高一期中）设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题，当时，，显然单调递增，且，，所有此时有且只有一个零点，
所有当时，有4个零点，令，即，解得，
由题可得区间内的4个零点分别是，所以即在之间，
即，解得
故选：A
3．（2022·云南昭通·高三期末（理））把的图象向左平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若对成立，则
①的一个单调递增区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为.其中，
判断正确的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①③④
【答案】B
【详解】根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：，
，解得，
,当时，在上单调递增，①正确；的图象向右平移个单位得到的函数是是一个偶函数，
则，②错误；
令，故③正确；
，，所以，令，则关于x的方程在区间上有两个不相等的实根等价于在上有两个不相等的实根，设，则函数与轴有两个交点，函数对称轴为，实数满足 ，解得：，∴当时满足题意，④错误
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
①时，函数图象关于对称；②函数的最小值为-2；③若函数在上单调递增，则；④，为两个不相等的实数，若且的最小值为，则.
A．②③B．②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【详解】由题设可得，
令，设，
当时，，故，
当时，，故，
故的最小值不是即的最小值不是，
而的最大值为，
故的最大值为2，其中，
故②错误.
因为，故，
故，故，故④错误.
当时，，
则
，
故的图象关于直线对称，故①正确.
又，其中，
故在上，为增函数，
在上，为减函数，
在上，为增函数，
在上为减函数，
当时，有，故即，
故③正确.
故选：B
5．（2022·天津·二模）已知，给出下列结论：
①若f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，则ω=1；
②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为；
④若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为.
其中，所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【答案】D
【详解】∵，
∴的最小正周期为.
对于① ：因为f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，所以的最小正周期为T=2π，
. 故① 错误；
对于② ：图象变换后所得函数为，
若其图象关于y轴对称，则，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，
当k=0时，.故② 正确；
对于③ ：设，当时，.
在上有7个零点，即在上有7个零点.
则，解得. 故③错误；
对于④ ：由，
得，
取k=0，可得，
若f(x)在上单调递增，则，解得.故④ 正确.
故选：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：
①；②函数的最小正周期为；
③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称
其中正确结论的个数是（ ）．
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【详解】解：由图可知： ，
，
即，
又，，
由图可知：，
又，
，
且，
，
故，
当时，，解得：，满足条件，
，
故，
对①，由上述可知①错误；
对②，，
的最小正周期为，故②正确；
对③，令，
即，
令，此时单调递增区间为，且，故③正确；
对④，，
不是对称中心，故④错误；
故选：C.
7．（2022·江西省铜鼓中学高二期末（文））已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：
，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.
由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，得，
则，所以，
要使为钝角三角形，只需即可，
由，所以.
故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
9．（2022·全国·高一课时练习）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】函数的最大值为2，，
在区间上单调，所以，即，
，即，
，是函数的对称轴，
，是函数的对称中心，
和是函数相邻的对称轴和对称中心，，得，
当时，取到最大值2，，，
当时，，
，根据题意可知，
，
，解得：，.
的解集是.
故选：A
10．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，周期，
因为函数在上没有零点，所以，得，得，得，
假设函数在上有零点，
令，得，，得，，
则，得，，
又，所以或，
又函数在上有零点，且，
所以或.
故选：A
11．（2022·全国·高三专题练习）如图是函数的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【详解】如图知: ,
， , 又
,,
解得：
又,，，
由三角函数图象平移性质得
(技巧：由三角函数图象平移性质得 )
所以函数向右平移个单位长度得到.
故选：B
12．（2022·天津·南开中学高一期末）将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得 的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，∴周期 ，
由，则 ，
若函数在上没有零点，结合正弦函数 的图象观察
则
∴ ， ，解得，
又，解得 ，
当时，解得，当 时，，可得，
.
故选：C.
13．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,
可得，
在区间上单调递增， 的最大负零点在区间上，
，
即，①
令，得，
又的最大负零点在区间上，
所以只需,
解得②
由①②及已知条件可知，
故选：B
14．（2022·广西·南宁三中高二开学考试（文））把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若函数在上的值域是，则______.
【答案】
【详解】由题知，
作出函数大致图象
函数在上先增后减，且，
若函数在上的值域是，
必，结合图象：
则，.
故答案为：
15．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【答案】
【详解】设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴，即.
故答案为
③三角函数零点问题（解答题）
1．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．
(1)求函数与的解析式；
(2)是否存在，使得、、按照某种顺序成等差数列？若存在，请求出该数列公差绝对值的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)求实数与正整数，使得在内恰有个零点．
【答案】(1)，
(2)存在，
(3)答案见解析
（1）
周期，；
又是的一个对称中心，，解得：，
，，，
.
（2）
假设存在，使得、、按照某种顺序成等差数列；
当时，，，，
又，，
，即，
令，，
则
在上单调递增，
又，且在上连续，
唯一的，使得，即成立；
即存在，使得，，或，，成等差数列；
，
，，
即该等差数列公差的绝对值的取值范围为.
（3）
由题意得：，
当，即时，，不是的零点；
则的零点个数等价于的根的个数，即与的交点个数；
，是以为周期的周期函数；
当时，；
当时，；当时，；
在，上单调递增，在，上单调递减，
则在上的图像如下图所示，
由图像可知：当时，与在内无交点，在内有两个交点；
当时，与在内有两个交点，在内有两个交点；
当时，与在内有两个交点，在内无交点；
当时，与在内有且仅有一个交点，在内有且仅有一个交点；
①当时，与若有个交点，由得：，此时或；
②当时，与若有个交点，由得：，此时；
③当时，与若有个交点，由得：，此时或；
④当时，与若有个交点，由得：，此时.
2．（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
（1）
因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）
因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
3．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知函数，，．
(1)当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
【答案】(1)①；②
(2)
(1)
解：①
，
令，，
解得，，
故的单调递增区间为；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，，
令，
故当时，有个不同的实数根，
由，可得或，
因为有个不同的实数根，
所以有个不同的实数根，且，
故的取值范围为；
(2)
解：由题意可得，，
因为为的零点，直线为图象的对称轴，
所以，，，，
得，，所以，
因为，，所以，即为正奇数，
因为在上单调，则，
即，解得，
当时，，，
因为，所以，此时，
当时，，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
即在上不单调，不满足题意；
当时，，，
因为，所以，此时，
当时，，
此时在上单调递减，符合题意．
故的最大值为．
4．（2022·新疆伊犁·高一期末）已知向量，．设函数，．
(1)求函数的单调增区间．
(2)当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；
(3)若方程在上的解为，，求．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
(1)
由题意可知，
，
由，可得，
∴函数的单调增区间为；
(2)
令，
当时，令，则
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，
若使得方程有两个不等的实根
则需函数与有两个交点
即，与有两个交点，
所以，即；
(3)
由，令，则
所以
又因为时，图象关于对称，且，
时，图象关于对称，且，
所以等价于，
设为与的两交点的横坐标，则，
，为方程的两个解，
，
即，即，，
所以.
5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在区间（）上的最大值为，最小值为，记.
(1)求的值；
(2)设（）.
①若，试写出方程的一个解；
②若，求函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)①（答案不唯一）；②答案见解析
（1）
.
当时，，此时，，于是.
（2）
①由（1）知，，最小正周期，当，，即，或显然满足，
由于区间的长度为，即，只要满足，即可满足或，
此时.（此题答案不唯一）
②函数的零点个数即与的交点个数.
当时，，此时函数单调递增，
则；
当时，，此时函数在单调递增，在单调递减，
又，则；
当时，，此时函数在单调递增，在单调递减，
又，.
于是在直角坐标系内画出函数的图象如下，
由图可知，当或时，函数的零点个数为0，
当或时，函数有1个零点，
当或时，函数有2个零点，
当时，函数有3个零点.
6．（2022·山东山东·高一期中）设函数.
(1)设，在处取得最大值，求；
(2)关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
解：因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，
所以，
所以，，
，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，
综上，；
(2)
解：因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
又由对称性可知关于的方程在区间上恰有个不同的实数解，
当时，，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
7．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）已知中，函数的最小值为．
(1)求A的大小；
(2)若，方程在内有一个解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或且
(1)
所以，故
因为，所以
(2)
方法一：因为，
所以，当时，，因为在上单调递增，值域为；在上单调递减，值域为.令，，则由的图象知，考虑在上的解，
若，则或4，当时，方程的解为，舍去
当时，方程的解为，此时仅有一解，故方程在内有一个解，符合
若，则或，
此时在R上有两个不同的实数根，，令，则，由韦达定理，.
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，.当时，此时解得或，不符合题意，舍去．所以要使符合题意，只需，解得
当时，则，，要使得方程在内有一个解，则，，当时，此时解得或，不符合题意，舍去.所以要使符合题意，只需，解得
综上，m的取值范围是或或且
方法二：因为，所以，
令，，由的图象知，
考虑在上的解，
因为不是的解，
所以时在只有一个解，设
由对号函数图象可知函数在上单调递增，单调递减，在上单调递减，且，，，
∴或或且．
8．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知函数，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，将函数向左平移个单位得到的图像关于y轴对称且．
(1)求函数的解析式：
(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或.
(1)
因函数图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，则的周期，解得，
有，依题意的图像关于y轴对称，
则有，即，而，即有或，
当时，，不符合要求，当时，，
所以函数的解析式是.
(2)
由（1）知，，当时，，，
由得：，即或，
由，即，而，解得或，即在上有两个根，
方程在上存在4个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图，
方程在上有两个不等实根，当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点，
观察图象知：或，解得或，
所以实数a的取值范围是或.
9．（2022·宁夏·银川一中高一期中）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
由题可得，，则，
当时，取得最大值，则，
所以，又因为，故
∴，令，，
则，，故的单调递减区间为，
则在上的单调递减区间为；
(2)
因为周期为，若函数在区间上恰有个零点，
则，解得的取值范围为．
10．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．
①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．
②函数的一条对称轴为且；
(1)求函数的解析式；
(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
由题意可知，函数的最小正周期为，∴．
选①，将函数向左平移个单位，所得函数为.
由于函数的图象关于轴对称，可得（），解得（）.
∵，所以，的可能取值为、．
若，则，，符合题意；
若，则，，不符合题意．
所以，；
选②：因为函数的一条对称轴，则（），
解得（）.
∵，所以，的可能取值为、．
若，则，则，符合题意；
若，则，则，不符合题意．
所以，；
(2)
令，由得，，
所以．其中满足，时为增函数，满足时为减函数
解方程得：，
要使方程存在4个不相等的实数根，
当，即在上存在两解，
故取值范围应在或在或．
即或或
解得：或或
故所求的的取值范围是
11．（2022·上海市大同中学高一期中）已知函数，满足．
(1)求的值，并求出的最小正周期（无需证明）；
(2)求在区间上的零点个数；
(3)是否存在正整数，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)4个
(3)存在，
(1)
函数，
∵，
∴ ，解得：，
函数的最小正周期，
(2)
当时，．
设，则，
于是，
令，得或，
于是，或或，其中，
即在区间上的零点个数为4个.
(3)
当时，．
设，则，
于是，令，
解得或，故在没有实根．
结合（2）可得，在上有4个零点，
而，
所以函数在有2022个零点.
12．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）已知函数，，且在上单调递增.
(1)若恒成立，求的值；
(2)在（1）的条件下，若当时，总有使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
由题意得
解得
且在上单调递增，故，得
(2)
由（1）得
时，，
根据对称轴讨论取值范围
①时，在时单调递增，，此时不合题意
②时，在时单调递增，在时单调递减
由题意得，解得
③时，在时单调递减，，
由题意得，解得（舍去）
综上，的取值范围为
13．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
(1)求函数的表达式；
(2)当时，方程有解，求实数m的取值范围；
(3)当时，恒成立，求正数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3)﹒
(1)
由题意可知，；
(2)
当时，，可得，
方程可化为，
令，有，
由函数的增区间为，减区间为，
可得，∵，，故，
故m的取值范围为；
(3)
不等式，可化为，
可化为，
可化为，
可化为，
令，，由，可得，，
上面的不等式可化为，
当时，，，，
由，有，若恒成立，只需要可得，
又由，有，可得，解得，
由上知，实数a的取值范围为.
14．（2022·湖南·长郡中学高一阶段练习）已知向量，（其中），记，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程在上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
，.
由，得是函数的一个周期，
所以，的最小正周期为，解得：；
又由已知，得；
因此，.
(2)
由，得；
故；
因此函数的值域为.
设，
要使关于x的方程在上有三个不相等的实数根，
当且仅当关于t的方程在和上分别有一个实数根，
或有一个实数根为1，另一实数根在区间上；
令，
①当关于的方程在和上分别有一个实数根时，
，解得：；
②当方程的一个根是时，，
另一个根为，不满足条件；
③当方程的一个根是1时，，
另一个根为，不满足条件；
因此，满足条件的实数m的取值范围是.
④三角函数解答题综合
1．（2022·贵州遵义·高一期末）已知，，函数
(1)求的周期和单调递减区间；
(2)设为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围；
(3)设定义域为，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值.
【答案】(1)，单调递减区间为：
(2)
(3)不存在实数的使得上述条件成立
（1）则，单调递减区间为：
（2），所以函数单调增区间为，因为在区间上是增函数，所以，，；
（3）因为定义域为，，且，所以真数所对应二次函数开口向上，且与轴无交点，对应方程判别式，即，所以满足条件为，且，因为对任意，，使得不等式恒成立，即，因为函数在上，当时，函数在上单调递增，在单调递减，所以函数在处取得最大值，当时，，当时，，所以此时不满足条件；当时，函数在上单调递减，在单调递增，函数最小值为因为，，，所以不成立.综上，不存在实数的使得上述条件成立.
2．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）已知函数为奇函数，且当时，.
(1)求f（x）的解析式；
(2)将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，试确定n的值，并求的值.
【答案】(1)
(2)，
（1）
因为时，
∴，
∴，
又为奇函数，
∴，即，
∵，∴，
∴，
（2）
由题意可得，，
令，则，
∵，∴，
令，则
函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
∴在上共有5个根，即，
∵
∴
3．（2022·山东东营·高一期末）对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．
(1)设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围
(2)在满足且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
因为，
所以，
因为，所以，
当时，，由题意，得，解得；
当时，，由题意，得，解得；
当时，，满足题目要求
综上可得
所以实数k的取值范围为
（2）
，
令，则．
故
因为任意的，总存在，使得成立，
所以
所以，即，所以
故实数的取值范围为
4．（2022·山东潍坊·高一期末）已知函数，图像上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，是的一条对称轴，且．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，若存在，，，满足，且（，），求m的最小值；
(3)令，，若存在使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)12
(3)
(1)
由题意，周期，故，，且，即，因为，故或，故或.当时，，故成立；当时，，.综上有
(2)
由题意，，根据题意，要使m的值尽量小，则要尽量大.又，结合的图象可得，当，，，，，，，，，，，时，m的取值最小为12
(3)
由（1），所以，
当时，，，所以，，
所以，，
，
，，则，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
5．（2022·四川达州·高一期末（文））已知在△ABC中，A，B是两定点，，△ABC面积不超过．当时，BC＝4．
(1)求角A的取值范围；
(2)对任意，关于x的不等式在时恒成立，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
(1)
∵时，BC＝4，，
∴在△ABC中由余弦定理得，即AB＝4．
∴，∴．
∵，所以角A的取值范围为．
(2)
∵是上的增函数，∴当时，．
∴关于x的不等式在区间上恒成立．
符合题意，此时．
当时，要使在区间上恒成立，
则必须，即，
解得，或（舍）．
所以．
综上所述，角A的取值范围为，
∴．
∵，
所以，
所以函数的值域为．
6．（2022·上海交大附中高二期末）对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由；
(2)若函数具有性质，且当时，，解不等式；
(3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合.
【答案】(1)不具有性质，理由见解析；具有性质，（只要满足即可）
(2)
(3)
(1)
不具有性质，理由如下：
对于任意实数，，即，
不具有性质；
具有性质，
若，则；
的一个取值为（只要满足即可）.
(2)
由得：，，
是以为周期的周期函数；
当时，，不等式无解；
当时，，则，
，解得：；
综上所述：当时，的解集为；
的解集为.
(3)
，，则只需研究的情况；
①当时，
令且对于任意恒成立，
此时满足，并具有性质，但不恒等于；
②当时，；当时，；当时，；
令且对于任意恒成立，
此时满足，并具有性质，但不恒等于；
③当时，，，，满足题意；
④当时，，，
，又，，，
则，，满足题意；
⑤当时，，，
，又，，，
则，，满足题意；
综上所述：当时，满足题意的的取值集合为，
满足题意的正整数的取值的集合为.
7．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件：
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)当时，（且）；当时，，
(1)
由题意可知
∵，
或，
∵
∴或
(2)
令，
∴，，
，
令，
∴，
解得：；
(3)
∵，
∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，
可得
∵，存在非零常数，对任意的，
成立，在上的值域为，在上的值域为
∴
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且）
当时，
由诱导公式可得，
即，
所以当时，（且）；
当时，，
8．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知函数，（，）的最小正周期为．任取，若函数在区间上的最大值为，最小是为，记．
(1)求的解析式及对称轴方程；
(2)当时，求函数的解析式；
(3)设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解．若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，对称轴方程为
(2)答案见解析
(3)
(1)
解：由题意，函数
因为，所以，所以，
令，可得，
所以的解析式为，对称轴方程为
(2)
解：当时，，
当时，在区间上，，，
所以，
当时，在区间上，
，，
所以，
当时，在区间上，，，
所以，
所以，
(3)
解：的最小正周期为，所以，，
所以，所以是周期为的函数，
所以研究的性质，只需研究函数在的性质即可，
作出的部分图象，如图所示，函数的值域为，
因为关于的不等式有解，所以，可得，
若对任意，存在，使得成立，
则在上的值域是在值域的子集，
因为，
当时，因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为在单调递增，
所以，所以，可得，
当时，在单调递减，所以，
在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，即，可得，
综上所述：实数的取值范围是.
9．（2022·辽宁铁岭·高二期末）已知向量，若函数的最小正周期为，且在上单调递增.
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）解：因为向量，所以，因为，所以，当时，， 此时在上单调递增， 符合题意， 当时，，此时在上单调递减，不符合题意，综上，；
（2）解：由（1）可知，因为，，所以，令，因为，所以，所以不等式在上恒成立，可化为在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当且仅当时等号成立，所以，所以实数a的取值范围为.
10．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知，，其中，，且函数在处取得最大值．
(1)求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；
(2)在（1）的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
(3)在（1）的条件下，已知点是函数图像上的任意一点，点为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集．
【答案】(1)的最小值为1，此时，
(2)
(3)
(1)
解：因为，
所以
，
因为在处取得最大值，所以，
即，当时的最小值为1，
此时，其中
(2)
解：将的图像上的所有的点向右平移个单位，
可得函数，
再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
得到的函数，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，
得到函数，
又由，则，
当时，即时，可得；
当时，即时，可得；
当时，即时，可得，
方程有两个不相等的实数根
等价于的图象与直线有两个交点，
如图所示，则满足，解得，即实数的取值范围是.
(3)
解：设，因为点，且满足，
所以，所以，
因为点为函数图像上的一点
所以即
因为，所以
所以，所以
所以原不等式的解集为.
11．（2022·湖北·高一期中）已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
(3)记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)存在，点
(3)
(1)
解：向量的相伴函数为，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
(2)
解：由为的相伴特征向量知：
所以.
设，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴当且仅当时，和同时等于，这时（*）式成立.
∴在图像上存在点，使得.
(3)
解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立.
所以①当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
②当，，不等式化为成立.
③当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以.
综上所述，k的取值范围是.
12．（2022·辽宁·育明高中高一期中）已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
(1)①的一条对称轴且；②向左平移个单位得到的图象关于轴对称且以上两个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数解析式；
(2)在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
(1)
由题意可知，函数的最小正周期为，．
若选，因为函数的一条对称轴，
则，解得，
，所以的可能取值为、．
若，则，则，不合乎题意；
若，则，则，合乎题意．
所以，；
若选，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，
所得函数为，
由于函数的图象关于轴对称，可得，
解得，
，所以的可能取值为、．
若，则，，不合乎题意；
若，则，，合乎题意．
所以，.
综上所述：.
(2)
由（1）可知，
则
，
当时，，，所以，
所以，，
，，，则，
由，可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
所以．
13．（2022·湖南师大附中高一阶段练习）已知函数，是定义在上的奇函数，且当时，，当时，.
(1)若成立，求x的取值范围；
(2)求在区间上的解析式，并写出的单调区间（不必证明）；
(3)若对任意实数x，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)，
(2)单调递减区间是，，递增区间是
(3)
(1)
由，
得，
则.
解得，
所以x的取值范围是，.
(2)
当时，；则；
当时，，则.
所以
因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以
所以的单调递减区间是，，递增区间是.
(3)
因为，所以
由，得或或.
由的图象知，恒成立或，
即或.
即或恒成立
因为，则不恒成立.
因为，，
则恒成立
所以t的取值范围是.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的振幅为2，初相为，函数的图象关于轴对称.
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数，，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)
(1)
由题意可知，.
令.
∵的图象关于轴对称，
∴，∴，，
∴，.
∵，∴，∴，
∴函数的最小正周期.
令，，
解得，，
∴函数的单调递增区间为，.
(2)
.
令，
∵，∴，
∴恒成立等价于在上恒成立.
易知.
由函数在上单调递增可得：，
∴，∴，
即的取值范围为.
15．（2022·江西·上高二中高二阶段练习）已知函数．
(1)若，，求的对称中心；
(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；
(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或;
(2);
(3).
(1)
∵的最小正周期为，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
当时，，由，的对称中心为；
当时，，由，的对称中心为；
综上所述，的对称中心为或.
(2)
∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，
∴.
又∵是的一个零点，
，即，
∴或，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，则
即或，解得或，；
若函数在（且）上恰好有10个零点，故
要使最小，须、恰好为的零点，故.
(3)
由（2）知，对任意，存在，使得成立，则，
当时，，
当时，，
由可得，解得，
故实数的取值范围为.