【期中讲练测】北师大版八年级下册数学压轴真题必刷03 图形的平移与旋转 （压轴专练）.zip

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压轴一：平移的性质压轴二：平移与坐标问题
压轴三：平移几何变换压轴四：中心对称与坐标问题
压轴五：旋转的性质压轴六：旋转与坐标问题
压轴七：旋转线段问题压轴八：旋转面积问题
压轴九：旋转角度问题
【题型归纳】
题型一：平移的性质
1．如图，△ABC中，，把△ABC放在平面直角坐标系xOy中，且点A，B的坐标分别为（2，0），（12，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段AC扫过的面积为（ ）
A．66B．108C．132D．162
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段AC扫过的面积．
【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示．
∵点A，B的坐标分别为(2，0)，(12，0)，AC=BC=13，
∴AD=BD=AB=5，
∴CD=．
∴点C的坐标为(7，12)．
当y=12时，有12=−x+8，
解得：x=−4，
∴点C平移后的坐标为(−4，12)．
∴△ABC沿x轴向左平移7−(−4)=11个单位长度，
∴线段AC扫过的面积S=11CD=132．
故选：C．
2．如图，等腰直角三角形△OAB的边OA和矩形OCDE的边OC在x轴上，OA＝4，OC＝1，OE＝2．将矩形OCDE沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，所得矩形与△OAB公共部分的面积记为S（t）．将S（t）看作t的函数，当自变量t在下列哪个范围取值时，S（t）是t的一次函数（ ）
A．1＜t＜2B．2＜t＜3
C．3＜t＜4D．1＜t＜2或4＜t＜5
D
【分析】分，，，，讨论即可得出结果．
【详解】解：，，，
当矩形在范围内移动时，由0变为2，随的增大而增大，
当矩形在范围内移动时，为定值2，
当矩形在范围内移动时，由2变为0，随的增大而减小，
当矩形在时，为0，
综上所述，矩形在或范围内移动时，是的一次函数，
故选：．
【点睛】本题考查了图形的平移、一次函数的定义，抓住一次函数的定义分类讨论是解决本题的关键．
3．如图所示，在四边形中，且，将沿方向平移至，连接，若以和为边构成的三角形面积是，则 ．
【分析】如图，过点A作于F，延长交于G，过点C作，过点D作交于H，延长交于K，证明，得出：，再根据三角形面积即可求得答案．
【详解】解：如图，过点A作于F，延长交于G，过点C作，过点D作交于H，延长交于K，
则，
∵沿方向平移至，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵以和为边构成的三角形面积是，
∴
∴
∴
故答案为：
4．如图，已知中，，，将沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ．
【分析】△ADE是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：①当AD＝AE时，△ADE是等腰三角形．作AM⊥BC，垂足为M，利用勾股定理列方程可得结论；②当AD＝DE时，四边形ABED是菱形，可得m＝5；③当AE＝DE时，此时C与E重合，m＝8．
【详解】解：分3种情况讨论：
①当AD＝AE时，如图1，
过A作AM⊥BC于M，
∵AB＝AC＝5，BM＝BC＝4，
∴AM＝3，
由平移性质可得AD＝BE＝m，
∴AE＝m，EM＝4−m，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：AE2＝AM2＋EM2，
∴m2＝32＋（4−m）2，
m＝，
②当DE＝AD时，如图2，
由平移的性质得，，
∴四边形ABED是菱形，
∴AD＝BE＝ED＝AB＝5，即m＝5；
③当AC＝DE时，如图3，此时C与E重合，
m＝8；
综上所述：当m＝或5或8时，△ADE是等腰三角形．
故答案为：或5或8．
5．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为( )
A．0.5B．1C．1.5D．2
【分析】过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，根据AAS定理证得△DAO≌△ABM，△CDN≌△DAO，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为(2,3)，由待定系数法求出直线l的解析式为y=-x+4，设平移后点C的坐标为(2,3-m)，代入解析式即可求出m．
【详解】解：过B作BM⊥OE于M，过C作CN⊥OF于N，如图，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=DA，
∴∠DAO+∠BAM=90°，
∴∠DAO=∠ABM，
在△DAO和△ABM中，
，
∴△DAO≌△ABM(AAS)，
∴OA=BM，OD=AM，
∵B(3,1)，
∴BM=1，OM=3，
∴OA=1，
∴AM=OM-OA=2，
∴OD=2，
同理可证△CDN≌△DAO，
∴DN=OA=1，CN=DO=2，
∴ON=OD+DN=3，
∴C(2,3)，
∵点B(3,1)在直线l：y=kx+4上，
∴3k+4=1，
∴k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x+4，
设正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后点C的坐标为(2,3-m)，
∵点C在直线l上，
∴-2+4=3-m，
解得：m=1，
故选：B．
题型二：平移与坐标问题
6．如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把 “先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的面积和B(1，0)、C(3，0)；可得A(2，3)，然后先求出前几次变换A的坐标，进而可以发现第2021次变换后的三角形在x轴下方，且在第三象限，即可解决问题．
【详解】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，
∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，
∴A(2，3)，
∴第1次变换A的坐标为(-2，2)；
第2次变换A的坐标为(2，1)；
第3次变换A的坐标为(-2，0)；
第4次变换A的坐标为(2，-1)；
第5次变换A的坐标为(-2，-2)；
∴第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限，
∴点A的纵坐标为-2021+3=-2018，横坐标为-2，
所以，连续经过2021次变换后，△ABC顶点A的坐标为(-2，-2018)．
故选：A．
7．如图，在射线上依次取点、，使，，分别以、为边在射线上下两侧作等边与等边，为上一点，，现将线段沿射线平移，得到，连，，则
（1）当时，的长为 ．
（2）线段的平移过程中，最小值为 ．

【分析】（1）根据是等边三角形，，，，可得，是等腰三角形，从而可得是直角三角形，利用勾股定理可得的长；
（2）连接，作交于点，可得四边形和四边形是平行四边形，通过边的转化，可得，即即当D、、G三点共线， 时，的值最小，由证得，可得，在中，利用勾股定理求出的长度，即最小值．
【详解】解：（1），，，
，
是等腰三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
即是直角三角形，
，，
（2）连接，作交于点，

线段沿射线平移，得到，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
要使有最小值，即当D、、G三点共线， 时，的值最小，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，
即线段的平移过程中，最小值为
8．如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先利用等边三角形的性质求得点C的坐标，然后根据轴对称变换和轴对称变换的性质求得第一次变换，第二次变换，第三次变换后点C的坐标，按此找出规律即可求解 ．
【详解】解：如图所示，过点作，
∵△ABC是等边三角形，，，
∴，，轴，D的坐标为(2，1)，
∴
∴点C到轴的距离为：，点的横坐标为，
∴，
由题意得，
第一次变换后点的坐标为，即；
第二次变换后点的坐标为，即；
第三次变换后点的坐标为，即；
……
由此可以发现点的横坐标总是比次数大，而纵坐标，当奇次变换时是，偶次变换时是，故连续经过2022次变换后，等边的顶点的坐标为，
故选：
9．在平面直角坐标系中，已知点，，．给出如下定义：若点先向上平移个单位（若，即向下平移个单位），再向右平移3个单位后的对应点Q在的内部或边上，则称点P为的“平移关联点”．若直线上的一点P是的“平移关联点”，且是等腰三角形，则点P的坐标为 ．
【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，坐标与图形，设，根据平移规则，得到，进而得到点在直线上，根据是等腰三角形，分，两种情况讨论，求出点坐标，进而求出点坐标，本题的难度较大，掌握数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
设，则：，
∴点在直线上，
当是等腰三角形，分两种情况：
①当时，过点作，则：，
∵，
∴两点重合，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

故答案为：或．
10．对于平面直角坐标系中的不同两点，，给出如下定义：若，，则称点，互为“倒数点”，例如：点，互为“倒数点”．
(1)已知点的坐标为，则点的“倒数点”点的坐标为______；将线段向右平移2个单位得到线段，则线段上______（填“存在”或“不存在”）“倒数点”．
(2)如图，在正方形中，点坐标为，点坐标为，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由．
【分析】（1）设，，由题意得出，，点的坐标为，由平移的性质得出，，即可得出结论；
（2）①若点，在线段上，则，点，应当满足，可知点不在正方形边上，不符题意；
②若点，在线段上，则，点，应当满足，可知点不在正方形边上，不符题意；
③若点，在线段上，则，点，应当满足，得出，，此时点，在线段上，满足题意．
【详解】（1）设，，，，
，，，
，，点的坐标为，
将线段水平向右平移2个单位得到线段，
则，，
，，
线段上不存在“倒数点”，
故答案为：；不存在；
（2）正方形的边上存在“倒数点”、，理由如下：
①若点，在线段上，
则，点，应当满足，
可知点不在正方形边上，不符题意；
②若点，在线段上，
则，点，应当满足，
可知点不在正方形边上，不符题意；
③若点，在线段上，
则，点，应当满足，
点只可能在线段上，，，
此时点，在线段上，满足题意；
该正方形各边上存在“倒数点”，，，．
题型三：平移几何变换
11．如图，O为坐标原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点B的坐标为，将该三角形沿轴向右平移得到，此时点的坐标为，则线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为 .
【详解】分析：利用平移的性质得出AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到AA′对应的高，再结合平行四边形面积公式求出即可．
详解：∵点B的坐标为（0，2），将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O′A′B′，此时点B′的坐标为（2，2），
∴AA′=BB′=2，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴A（，），
∴AA′对应的高，
∴线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2×=4．
故答案为4．
12．沿等边的高剪开（如图①），再把沿方向向左平移，得到，分别与、相交于点G、E，与相交于点F（如图②），

（1）求证：是等腰三角形．
（2）求证：．
（3）已知厘米，向左平移了2厘米，求的面积．
【分析】（1）根据三线合一证明∠BAD=∠CAD，再由平移可知AD∥A′D′，从而可证明∠A=∠AEG即可；
（2）证明△BFD′≌△CED即可得到结论；
（3）证明△EDC∽△A′D′C，得到，分别算出A′D′，DD′，CD′，即可算出DE，从而可得△CDE的面积．
【详解】解：（1）如图①，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
则在图②中，∠A=∠A′，
由平移可知：AD∥A′D′，
∴∠A′=∠AEG，
∴∠A=∠AEG，
∴△AGE是等腰三角形；
（2）由图①可知：∠B=∠C，A′D′⊥BC，AD⊥BC，
∵BD=CD′，
∴BD′=CD，
∴△BFD′≌△CED（ASA），
∴BF=CE；
（3）∵AD∥A′D′，
∴△EDC∽△A′D′C，
∴，
∵△ABC是等边三角形，AB=8cm，
∴BD=4cm，
∴A′D′=AD=cm，
∵平移了2cm，
∴DD′=2cm，
∴CD=2cm，
∴，
解得：DE=，
∴△ECD的面积=．
13．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6,△ABC沿BC方向向右平移得△DCE，A、C对应点分别是D、E.AC与BD相交于点O.
（1）将射线BD绕B点顺时针旋转，且与DC，DE分别相交于F，G，CH∥BG交DE于H，当DF=CF时，求DG的长；
（2）如图2，将直线BD绕点O逆时针旋转，与线段AD，BC分别相交于点Q，P.设OQ=x，四边形ABPQ的周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求y的最小值.
（3）在（2）中PQ的旋转过程中，△AOQ是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形，求出此时PQ的长？若不能，请说明理由.
【分析】（1）证明DG=GH=EH即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，可得OQ的最小值，证明△AOQ≌△COP（ASA），推出AQ=PC，推出y=AQ+AB+BP+PC+PQ=AB+BC+PQ=10+2x（≤x≤4）．根据一次函数的性质求出最值即可．
（3）分三种情形：①当AQ=AO=3时，作OH⊥AD于H．②当点Q是AD的中点时．③当OA=OQ=3时，分别求解即可．
【详解】解：（1）如图中，
∵DF=FC，CH∥FG，
∴DG=GH，
∵BC=CE，CH∥BG，
∴GH=HE，
∴DG=GH=HE，
∴DG=DE=AC=2．
（2）如图2中，作AH⊥BC于H．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OA=OC=3，OB=OD==4，
∴，
∴AH=，
∵AQ∥PC，
∴∠QAO=∠PCO，
∵OA=OC，∠AOQ=∠COP，
∴△AOQ≌△COP（ASA），
∴AQ=PC，
∴y=AQ+AB+BP+PC+PQ=AB+BC+PQ=10+2x（≤x≤4）．
∴y=2x+10（≤x≤4）．
当x=时，y有最小值，最小值为．
（3）能；
如图3中，
分三种情形：①当AQ=AO=3时，作OH⊥AD于H．
易知OH=，
∴AH==，
∴HQ=，
∴OQ=，
∴PQ=2OQ=．
②当点Q是AD的中点时，AQ=OQ=DQ=，
∴PQ=2OQ=5．
③当OA=OQ=3时，PQ=2OQ=6．
综上所述，满足条件的PQ的值为：或5或6．
14．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的变换和变换．变换：将点A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度
(1)若对点B进行变换，得到点（1，1），则对点B进行变换后得到的点的坐标为 ．
(2)若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．
(3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直接写出点D的坐标 ．
【分析】（1）根据变换求出B的坐标，再根据变换求出对应点的坐标即可；
（2）先求出P、Q的坐标，然后根据OP=OQ构建关于m的方程即可求解；
（3）设D（0，y），F（x，0），则E（-1，y+2），G（x+3，-1），可得
=，令（-3，y+1）， （-1，y+2），则，，推出，推出的最小值就是x轴上点F（x，0）到， 的距离之和的值最小．
【详解】（1）解：由题意知：点（1，1）向右平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度即可得到B，
∴B的坐标为（2，-1），
∴点B进行变换后得到的点的坐标为（5，-2）；
故答案为：（5，-2）；
（2）解：由题意知：对点C（m，0）进行变换得到点P的坐标为（m-1，2），对点C（m，0）进行变换得到点Q（m+3，-1），
∵OP=OQ，
∴，即，
∴；
（3）解：由题意，设D（0，y），F（x，0），则E（-1，y+2），G（x+3，-1），
∴，，
∴
=
令（-3，y+1）， （-1，y+2），
则，
∴，
∴的最小值就是x轴上点F（x，0）到， 的距离之和的值最小，
如果， 在x轴的两侧，那么点F就是与x轴的交点，的最小值就是的长，
此时，故此种情况不符合题意，舍去，
如果， 在x轴的同侧，作关于x轴的对称点（-3，-y-1），连接交x轴于点K，此时，的值最小，
∴，
∴或，
又点D（0，y）在y轴上，则y＞0，
∴，
∴D的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
15．平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，，，、是这个正方形外两点，且给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段其中，分别是点，的对应点，记线段的中点为若点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到正方形的“回归距离”，称此时的点为线段到正方形的“回归点”．
(1)如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为______；若，分别为和的中点，则点______填或为线段到正方形的“回归点”；
(2)若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“回归距离”为，请直接写出的最小值：______，并在图中画出此时线段到正方形的“回归点”画出一种情况即可；
(3)请在图中画出所有符合题意的线段到正方形的“回归点”组成的图形．
【分析】(1)利用平移变换的性质以及“回归点”的定义判断即可；
(2)如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，再利用勾股定理求解；
(3)分点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合两种情况取最小值即可．
【详解】（1）如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为；若分别为和的中点，则点为线段到正方形的“回归点”．
故答案为：，；
（2）如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，最小值；
故答案为：；
；
（3）由题意可知正方形边长为1，
当线段与正方形的一边重合时，
∵，
∴线段即正方形任意一边，
∵T在第一象限，
由“回归点”定义可知不合题意，
故此时“回归点”在E，F处，
如图，
；
当点和分别落在正方形的一组邻边上时，当线段PQ向右倾斜时，点的的边应在第二、四象限．且低的度小于45度时， 点在第四象限时比在二象限时短，因此回归点在第四象限；当倾斜度大于45度时，点在第二象限时比在四象限时短，因此回归点在第二象限．如图：
；
综上所述，“回归点”组成的图形如图所示，
．
题型四：中心对称与坐标问题
16．如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（ ）
①②③④四边形是平行四边形

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
16．B
【分析】顺次连接，连接交于点，得，于是，证明，即可判断①；由对称性可得：，则，由，即可判定四边形是平行四边形，即可判断④；四边形是平行四边形，则，无法证明，即可判断②；四边形四边形，四边形四边形，四边形四边形，得到，则，即可判断③．
【详解】解：如图，

顺次连接，连接，连接交于点，
∵分别在四边形的各边上取中点，，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
由对称性可得：，
，
，
四边形是平行四边形，
故④正确；
四边形是平行四边形，
，
无法证明，
故②不正确；
依题意，四边形四边形，四边形四边形，
由题意得，四边形是由移动得到的，
∵，
∴四边形可以看成是四边形以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转得到的，
∴，
即在同一条直线上，，，
∴，
又∵四边形是由四边形移动后得到的，
∴，，
∵，
∴，
同理可得，，，
∵，，
∴四边形四边形，
，
∴，
故③正确；
故答案为：B．
17．如图，这是小聪设计的正方形花边图案，该图案由正方形和三角形拼接组成（不重叠，无缝隙），它既是轴对称图形，又是中心对称图形．若图中阴影面积的和为36，则图中线段的长为 ．

【分析】把图形局部放大如图所示：作于N，于M，连接交于P交于Q，延长交于H，设，则．由，，推出，，，设，由，可得，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题．
【详解】解：把图形局部放大如图所示，作于N，于M，连接交于P交于Q，延长交于H，设，则．
由题意得：是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，，，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍弃），
∴，
故答案为．
18．如图，在中，，，的面积为，动点从点出发，以个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，连接设运动时间为秒．

（1）则和之间的距离为 ；
（2）当平分的面积时，则 ．
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式即可求解；
（2）由平分的面积可得是中心对称图形，所以，分三种情况求解．
【详解】（1）设和之间的距离为，
，的面积为，
，
，
和之间的距离为．
故答案为：．
（2）平分的面积，是中心对称图形，
经过的中心，
，
当时，
，，
，
；
当时，
，，
，
；
当时，
，，
，
．
当平分的面积时，或或．
故答案为：或或
19．已知在中，，，．点为边上的动点，点F为边上的动点，则线段的最小值是 ．
【分析】作F点关于AC的对称点，连接A并延长交BC延长线于点，将的最小值转化为求B点到A 的最短距离，根据垂线段的性质即可解答；
【详解】解：如图作F点关于AC的对称点，连接A 并延长交BC延长线于点B′，作BD⊥AB′于点D，
由对称性可得EF=E ，
由垂线段的性质可得B到AB′的最短距离为BD，
∴EF+EB=E+EB=B≥BD，
Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=15°，
∴∠BAD=2∠BAC=30°，
Rt△ABD中，AB=5，∠BDA=90°，∠BAD=30°，∴BD=，
∴线段的最小值是，
故答案为：；
20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．
(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；
(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；
(3)请在x轴上找一点D得到▱ACDB，则点D的坐标为________，若直线y=x+b平分▱ACDB的面积，则b=_______．
【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；
（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；
（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；
【详解】（1）解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，
连接相应顶点得△A1B1C即为所求；
（2）解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），
∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），
如图，△A2B2C2即为所求，
（3）解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；
∵A点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B，
∴BD可由AB平移得到，即BD∥AB，BD=AB，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∵C（1，1），B（5，2），平行四边形是中心对称图形，
∴平行四边形ACDB的中心坐标为（3，），
如图所示，当直线y经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，
∴（3，）代入直线y=x+b，可得b=6；
题型五：旋转的性质
21．如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得，，，根据旋转的性质可得，由此得是等边三角形，，则，根据勾股定理和三角形面积公式即可求出的面积．
【详解】解：连接，

，，O为的中点，
，，，
∵将绕点O顺时针旋转得到，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：D
22．如图，是等边三角形内一点，且，，，以下4个结论：①；②；③；④若点到三边的距离分别为，，．则有，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】将绕点逆时针旋转到，得到是等边三角形，根据，得到直角三角形，且，，，从而得到；，；根据勾股定理，，根据等边三角形面积等于得到，利用同一图形的面积不变性，，选择即可．
【详解】如图，将绕点逆时针旋转到，
是等边三角形，，
，，
，
是直角三角形，且，，
；，
；
故①②都正确；
根据勾股定理，得，
如图，作于点，
是等边三角形，
，
，
故③正确；
，
，
，
，
，
故④正确，
故选A．
23．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针旋转，得到． 延长交于点，连接，下列结论：①，②四边形是正方形，③若，则；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【分析】设交于，由及将绕点按顺时针方向旋转，得到，可得，即可得，从而判断①正确；由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形，可判断②正确；过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，从而可得，判断③正确．
【详解】解：设交于，如图：
四边形是正方形，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，
，
，
，
，故①正确；
将绕点按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，故②正确；
如图，过点作于，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
又，，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
，故③正确；
正确的有：①②③，
故选：A．
24．如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段，于，两点，连接，给出下列四个结论：
；②；③四边形的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为是．上述结论中正确的个数是( )．

A．1B．2C．3D．4
【详解】解：连接、，如图，

为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，
，即，
而，即，
，且，，
，
，，所以①正确；
，所以②正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
作于，如图，则，
，
，
，，
，
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，
④错误．
故选：C．
25．如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；
③；④；⑤．其中结论正确的是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③
【详解】解：连接，过点O作，垂足为D，
由旋转得：，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故①正确；
由旋转得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴点O与的距离为4，故②正确；
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，故③正确；
在中，，
∴
，故④不正确；
将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点的位置，连接，过点A作，垂足为F，如图：
由旋转得：，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，
∴
，
故⑤不正确；
所以，上列结论，正确的结论是①②③，
故选：D．
题型六：旋转与坐标问题
26．如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（ ）

A．B．C．D．
【详解】∵点P为直线上一点，
∴点P向左移动2个单位后的解析式为，
∵绕原点O顺时针旋转后解析式为
∴，可得，
∴点Q的横坐标为．
故选：B
【点睛】此题考查一次函数，解题关键是将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转，然后求函数的交点坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，点B在y轴上，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2021次，点B的落点依次为B1，B2，B3，……，则B2021的坐标为（ ）
A．（1010，0）B．（1345，）C．（，）D．（1346，0）
【详解】
解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
画出第5次，第6次，第7次，翻转后的图形，
由图可知，每翻转6次，图形向右平移4个单位长度，
∵2021=336×6＋5，
∴点向右平移1344（即336×4）个单位长度到点，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴点坐标为，
故选：C．
28．如图所示，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，且，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到．依次类推，则旋转第2017次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【详解】解：过作轴于点，如图：

∵，
∴
∵是等腰直角三角形
∴，
∴的纵坐标为，横坐标为
∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到
∴的纵坐标为，的纵坐标为， 的纵坐标为，的纵坐标为，；的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为
∴的纵坐标为，的横坐标为，即．
故选：A
29．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是( )
A．B．C．D．
【详解】四边形OABC是正方形，且，
，
将正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，
∴点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1，
，
继续旋转则，，A4(0，-1)，A5，A6(-1，0)，A7，A8(0，1)，A9，……，
发现是8次一循环，所以…余3，
点的坐标为，
故选A．
【详解】四边形OABC是正方形，且，
，
将正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，
∴点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1，
，
继续旋转则，，A4(0，-1)，A5，A6(-1，0)，A7，A8(0，1)，A9，……，
发现是8次一循环，所以…余3，
点的坐标为，
故选A．
题型七：旋转线段问题
30．如图1，在中，，，D，E分别为边和的中点，将绕点A自由旋转，如图2，直线与相交于点P．

(1)在图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)对于图2，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
(3)当时，请直接写出线段的长．
【详解】（1）解：，D，E分别为边和的中点，
，
，即，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：（1）中的结论仍然成立，理由如下，
∵，都是等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：由（2）知，

，，
，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，D，E分别为边和的中点，
，
，
在中，，
，
．
31．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系

(1)思路梳理：
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证_________，故之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形的边的延长线上，．连接，试猜想之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在中，，点D、E均在边上，且．若，直接写出和的长．
【详解】（1）解：如图1，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，即，
由旋转得：，，，，
，
即点、、共线，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故答案为：，；
（2）如图2，，理由是：
把绕点逆时针旋转至，可使与重合，则在上，

由旋转得：，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，连接，，

由旋转得：，，，
，，
，
，
，
，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
过A作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴．
题型八：旋转面积问题
32．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 ；
(2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：当∠BAC＝90°，AB＝AC＝10，AD＝AE＝6时，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请求出△MNP面积的最大值．
【详解】（1）解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE＋∠ENP＝∠ABE＋∠AEB，
∵∠ABE＋∠AEB＝180°−∠BAE＝60°，
∴∠MNP＝60°，
故答案为：MN＝NP，∠MNP＝60°．
（2）△MNP是等边三角形，理由如下：
由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP＋∠NPB＝∠NBP＋∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝∠ACE＋∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE＋∠ENP＝∠ACE＋∠ABE＋∠EBC＋∠EBC−∠ECB＝180°−∠BAC＝60°，
∴△MNP是等边三角形；
（3）由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MP＝EC，PN＝BD，MP∥EC，PN∥BD，
∴MP＝PN，∠ACE＝∠ABD，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC，
∴∠MPD＝∠ECA＋∠ACD＝∠ABD＋∠ACD，
∠DPN＝∠PCB＋∠PNC＝∠PCB＋∠DBC，
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ABD＋∠ACD＋∠PCB＋∠DBC＝∠ABC＋∠ACB＝180°−∠BAC＝90°，
∴△MPN是等腰直角三角形，
由三角形三边关系可知：BD≤AB＋AD，
即BD≤16，
PM＝，
∴PM＝8时，S△MNP最大，
∴S△MNP最大为：×8×8＝32．
33．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值______．
【详解】（1）解：点N，分别是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，BD最大，
，
，
故答案为：8
题型九：旋转角度问题
34．如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F．
(1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：；
(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，三条线段之间的数量关系；
(3)点O在线段上，若，当时，请直接写出的长．
【详解】（1）证明：如图①中，
∵与为正三角形，
∴，，
∵将射线绕点O逆时针旋转，
，
，
，
，，
；
（2）解：，理由如下：，
如图②，过点O作交与点H，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：作于H．
，为正三角形，，
，
，
如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．
，
，
，
过点O作，交于N，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图③﹣2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时，
同法可证：，
，
；
如图③﹣3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．
同法可证：，
，
，
；
如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．
同法可知：，
而，
，
；
综上所述，满足条件的的值为4或2或6．
35．问题：如图（1），在中，，，，试探究满足的等量关系．
[探究发现]
小明同学利用图形变换，将绕点C逆时针旋转得到，连接，由已知条件易得，，根据“边角边”可证 ，得，在中，由 定理，可得，得，可得之间的等量关系是 ．
[实验运用]
（1）如图2，在正方形中，的顶点E、F分别在边上，高与正方形的边长相等，求的度数．
（2）在（1）条件下，连接，分别交于点M、N，若，运用小明同学探究的结论，求正方形边长以及的长．
解：绕点C逆时针旋转得到，
，
,，，
,
,
即，
,
，
在与中，
，
，
，
在中，由勾股定理，可得，
．
[实验运用]：
（1）解：高与正方形的边长相等，
，，，
在直角与直角中，
，
，
，
同理可得，
，
；
（2）由（1）得，
设正方形的边长为x，则，,
根据勾股定理，可得，
解得或（舍去）
正方形的边长为6，
根据[探究发现]中的结论，可得，
设，则 ，
可列方程，
解得，
．