【期中复习】人教B版2019 2023-2024学年必修第三册高一下册数学 专题01 任意角和弧度制及三角函数的定义（考点梳理）.zip

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【考点题型一】正确理解角的概念
1．理解角的概念的三个“明确”
常见角α的范围：锐角0°<α<90°，钝角90°<α<180°，直角90°，平角180°，周角360°.
2．理解与角的概念有关问题的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．
(2)技巧：判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【例1】（2023春•桐柏县校级期中）下列说法正确的是
A．小于的角是锐角
B．钝角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角
D．若角与角的终边相同，那么
【变式1-1】.（2021春•湖北期中）已知集合第二象限角，钝角，小于的角，则，，关系正确的是
A．B．C．D．
【变式1-2】.（2017春•薛城区期中）下列命题中正确的是
A．终边在轴负半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若，则与终边相同
【考点题型二】象限角的判定
象限角的判定方法
(1)根据图像判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
(3)nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
(4)eq \f(α,n)所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角eq \f(α,n)所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角eq \f(α,n)的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是eq \f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq \f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
【例2】（2023春•房山区期中） 角是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【变式2-1】（2015春•太原校级期中）若是第一象限角，则下列各角中第四象限的角是
A．B．C．D．
【变式2-2】【多选】（2023秋•保定期中）设为第二象限角，则可能是
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【变式2-3】（2023春•怀仁市校级期中）已知角是第二象限角，则角所在的象限可能为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式2-4】（2023春•临川区校级期中）若，，则是第 象限角．
【考点题型三】终边相同的角的表示
在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用排除法．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
【例3】（2023秋•安徽期中）在平面直角坐标系中，下列与角终边相同的角是
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023春•月湖区校级期中）与终边相同的最小正角是
A．B．C．D．
【变式3-2】（2023春•海淀区校级期中）将的终边逆时针旋转，与的终边重合，则与终边相同的角的集合为
A．，B．，
C．，D．，
【变式3-3】（2021春•商水县校级期中）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来．
【变式3-4】（2023春•恩阳区 期中）已知角、的终边相同，那么的终边在
A．轴的非负半轴上B．轴的非负半轴上
C．轴的非正半轴上D．轴的非正半轴上
【考点题型四】弧度制与角度制的换算
角度和弧度互化的注意点
(1)角度与弧度的换算公式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式180°＝π rad(或简写为180°＝π)，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．
(2)将角度转化为弧度时，如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度．
(3)将弧度转化为角度时，如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(360,π)))°.
(4)注意角度制和弧度制不得混用，如α＝2kπ＋60°(k∈Z)，β＝k·360°＋eq \f(π,4)(k∈Z)都是不正确的写法．
(5)用弧度制表示角时，若无精确度要求，常常把弧度数用含有π的式子表示，而不把π取近似值计算．
【例4】（2023春•巴宜区校级期中）化为角度是
A．B．C．D．
【变式4-1】（2021春•奉贤区期中）角可以换算成 弧度．
【变式4-2】（2019春•息县期中）下列各式不正确的是
A．B．C．D．
【变式4-3】（2023春•天河区校级期中）已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是 ．
【变式4-4】（2023春•抚顺期中）“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分6000等份，每一等份是一个密位，则350密位的对应角的弧度数为 ．
【考点题型五】扇形的弧长及面积公式的应用
弧度制下涉及扇形问题的解题策略
(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0<α<2π)是扇形的圆心角)．
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
【例5】（2023秋•丰城市校级期中）已知弧度数为的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是
A．B．C．D．
【变式5-1】（2018春•福清市期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．
【变式5-2】（2023春•青浦区校级期中）已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角 ．
【变式5-3】（2023秋•保山期中）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为
A．B．C．D．
【例6】（2013春•三原县校级期中）在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是 弧度，扇形面积是 ．
【变式6-1】（2019春•济宁期中）已知扇形的周长为，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为
A．4 B．6 C．8 D．16
【变式6-2】（2023春•伊犁州期中）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为，则该扇面画的面积约为
A．185B．180C．119D．120
【变式6-3】．（2023秋•浦东新区校级期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．
【变式6-4】．（2023春•谯城区校级期中）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
（1）若，，求扇形的弧长；
（2）若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．
【考点题型六】三角函数的定义
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法为：在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝eq \f(y,r)，csα＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
(3)若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理．
【例7】（2022春•湖北期中）已知角的终边经过点，则的值是
A．B．C．D．
【变式7-1】．（2015春•高台县校级期中）已知角的始边与轴正半轴重合，终边在射线上，则 ．
【变式7-2】．（2023秋•玄武区校级期中）已知函数，且的图像恒过点，若点是角终边上的一点，则
A．B．C．D．
【变式7-3】．（2023秋•永昌县校级期中）若角的终边上有一点，且，则
A．4B．C．D．
【变式7-4】．（2023春•西湖区校级期中）已知角的终边经过点，且，则
A．B．1C．2D．
【考点题型七】三角函数值的符号
1．已知角的三角函数值符号，判断角是第几象限角的步骤
(1)根据题目中所有三角函数值的符号来确定角的终边所在的象限；
(2)取它们的公共象限即可．
2．判断给定角的三角函数值正负的步骤
(1)确定α的终边所在的象限；
(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断．
【例8】（2023春•月湖区校级期中）已知点在第二象限，则为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式8-1】．（2023春•海淀区校级期中）已知，且，则的终边所在的象限是
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式8-2】．【多选】（2023春•兰坪县校级期中）若，则角的终边位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式8-3】．（2016春•银川校级期中）若为第二象限角，则下列各式恒小于零的是
A．B．C．D．
【变式8-4】．（2023秋•玄武区校级期中）在平面直角坐标系中，点位于第 象限．
A．一B．二C．三D．四