人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线综合训练题
展开1.已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,则炮弹爆炸点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.双曲线的一支 D.圆
【答案】C 【解析】设炮弹爆炸点为点P,则|PA|-|PB|=2×340=680<800,∴点P的轨迹是双曲线的一支.故选C.
2.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足条件|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是( )
A. eq \f(x2,16)- eq \f(y2,9)=1(x≤-4) B. eq \f(x2,9)- eq \f(y2,16)=1(x≤-3)
C. eq \f(x2,16)- eq \f(y2,9)=1(x≥4) D. eq \f(x2,9)- eq \f(y2,16)=1(x≥3)
【答案】D 【解析】由|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线右支,得c=5,2a=6,∴a=3,∴b2=16,故动点P的轨迹方程是 eq \f(x2,9)- eq \f(y2,16)=1(x≥3).故选D.
3.“m<2”是“方程 eq \f(x2,m+1)+ eq \f(y2,m-2)=1表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】当 eq \f(x2,m+1)+ eq \f(y2,m-2)=1为双曲线时,(m+1)(m-2)<0,∴-1
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】A 【解析】因为P在双曲线C: eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1的左支上,所以|PF2|-|PF1|=2a=12,又因为|PF2|=18,所以|PF1|=18-12=6.故选A.
5.已知双曲线C: eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线y=2x垂直,则双曲线C的离心率为( )
A. eq \f(\r(7),2) B.2
C. eq \f(\r(5),2) D. eq \f(\r(7),2)或 eq \f(\r(5),2)
【答案】C 【解析】由双曲线的方程可得渐近线的方程为y=± eq \f(b,a)x,因为一条渐近线与直线y=2x垂直,所以- eq \f(b,a)=- eq \f(1,2),可得 eq \f(b2,a2)= eq \f(1,4),所以 eq \f(c2-a2,a2)= eq \f(1,4),解得e= eq \f(c,a)= eq \f(\r(5),2).故选C.
6.许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底面与地面平行.现测得下底直径AB=20 eq \r(10) 米,上底直径CD=20 eq \r(2)米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为( )
A.10米 B.20米 C.10 eq \r(3)米 D.10 eq \r(5)米
【答案】B 【解析】建立如图所示的坐标系,由题意可知D(-10 eq \r(2),20),B(10 eq \r(10),-60),设双曲线方程为 eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0),∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(200,a2)-\f(400,b2)=1,,\f(1 000,a2)-\f(3 600,b2)=1,))解得a2=100,b2=400,|EF|=2a=20.故选B.
7.如果双曲线 eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1的离心率为 eq \f(\r(5)+1,2),那么我们称该双曲线为黄金分割双曲线,简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C: eq \f(x2,\r(5)-1)- eq \f(y2,b2)=1(b>0),则该黄金双曲线C的虚轴长为
( )
A.2 B.4 C. eq \r(2) D.2 eq \r(2)
【答案】D 【解析】由题意可得 eq \f(c2,a2)= eq \f(a2+b2,a2)=1+ eq \f(b2,\r(5)-1)= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)+1,2))) eq \s\up12(2),解得b2=2,即b= eq \r(2),故黄金双曲线C的虚轴长为2b=2 eq \r(2).故选D.
8.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C: eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,16)=1(a>0)上一点P到左焦点F1的距离为6,点O为坐标原点,点M为PF1的中点,若|OM|=5,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±4x B.y=±2x
C.y=± eq \f(4,3)x D.y=± eq \f(4,5)x
【答案】B 【解析】如图,若点P在双曲线左支上,∵点M为PF1的中点,∴OM是△F1F2P的中位线,则|PF2|=2|OM|=10,∵2a=|PF2|-|PF1|=10-6=4,∴a=2,则双曲线的渐近线方程为y=± eq \f(4,a)x=±2x;若点P在双曲线右支上,∵点M为PF1的中点,∴OM是△F1F2P的中位线,则|PF2|=2|OM|=10,2a=|PF1|-|PF2|=6-10=-4不成立.故选B.
二、多选题(共2小题)
9.已知双曲线C: eq \f(x2,8)- eq \f(y2,4)=1,则下列说法正确的是( )
A.渐近线方程为y=± eq \r(2)x B.焦点坐标为(±2 eq \r(3),0)
C.顶点坐标为(±2 eq \r(2),0) D.实轴长为2 eq \r(2)
【答案】BC 【解析】对于双曲线C: eq \f(x2,8)- eq \f(y2,4)=1,可知a=2 eq \r(2),b=2,所以c=2 eq \r(3),所以双曲线C的渐近线方程为y=± eq \f(b,a)x=± eq \f(\r(2),2)x,焦点坐标为(±2 eq \r(3),0),顶点坐标为(±2 eq \r(2),0),实轴长为4 eq \r(2),因此A,D错误,B,C正确.故选BC.
10.已知F1,F2分别是双曲线 eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线左支上存在一点P,使PF22=8a·PF1成立,则此双曲线的离心率e的取值可能是( )
A. eq \r(2) B.2 C. eq \r(5) D.5
【答案】ABC 【解析】∵P为双曲线左支上一点,∴|PF1|-|PF2|=-2a,∴|PF2|=|PF1|+2a①,又∵|PF22|=8a·|PF1|②,∴由①②可得|PF1|=2a,|PF2|=4a,∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即2a+4a≥2c,∴e= eq \f(c,a)≤3③,又∵e>1④,由③④可得1
11.若焦点在x轴上的双曲线C: eq \f(x2,16)- eq \f(y2,m)=1的焦距为4 eq \r(7),则m的值为________.
【答案】12 【解析】由题意可得c2=(2 eq \r(7))2=16+m,∴m=12.
12.双曲线x2- eq \f(y2,m)=1(m>0)的离心率为2,则m=________.
【答案】3 【解析】双曲线x2- eq \f(y2,m)=1(m>0)的离心率为2,则a2=1,b2=m,所以可得c2=a2+b2=1+m,所以可得e= eq \f(c,a)= eq \f(\r(1+m),1)=2,解得m=3.
13.设双曲线 eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过点F作x轴的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为________.
【答案】±1 【解析】不妨设点B在第一象限,则A1(-a,0),B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c,\f(b2,a))),A2(a,0),C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c,-\f(b2,a))),所以 eq \(A1B,\s\up6(→))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c+a,\f(b2,a))), eq \(A2C,\s\up6(→))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c-a,-\f(b2,a))).因为A1B⊥A2C,所以 eq \(A1B,\s\up6(→))· eq \(A2C,\s\up6(→))=0,所以c2-a2- eq \f(b4,a2)=0,又因为c2=a2+b2,所以整理得 eq \f(b2,a2)=1,所以该双曲线渐近线的斜率k=± eq \f(b,a)=±1.
14.设直线y=x与双曲线C: eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,P为C上不同于A,B的一点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,若C的离心率为2,则k1·k2=________.
【答案】3 【解析】∵C的离心率为2= eq \f(c,a),且c2=a2+b2,∴c=2a,b= eq \r(3)a,联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x,,\f(x2,a2)-\f(y2,b2)=1,))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(\r(6),2)a,,y=\f(\r(6),2)a))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(\r(6),2)a,,y=-\f(\r(6),2)a,))不妨取A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)a,\f(\r(6),2)a)),B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(6),2)a,-\f(\r(6),2)a)),设P(m,n),则 eq \f(m2,a2)- eq \f(n2,b2)=1,即3m2-n2=3a2,∴k1·k2= eq \f(n-\f(\r(6),2)a,m-\f(\r(6),2)a)· eq \f(n+\f(\r(6),2)a,m+\f(\r(6),2)a)= eq \f(n2-\f(3,2)a2,m2-\f(3,2)a2)= eq \f(2n2-3a2,2m2-3a2)= eq \f(2n2-(3m2-n2),2m2-(3m2-n2))= eq \f(3(n2-m2),n2-m2)=3.
四、解答题(共2小题)
15.已知点(3,1)在双曲线C:x2-y2=a2(a>0)上.
(1)求实数a的值;
(2)求双曲线C上的动点P到定点A(8,0)的距离的最小值.
解:(1)把点(3,1)代入双曲线C:x2-y2=a2中,有9-1=a2,解得a=±2 eq \r(2),
∵a>0,∴a=2 eq \r(2).
(2)设点P的坐标为(m,n),则m2-n2=8,且m≤-2 eq \r(2)或m≥2 eq \r(2),
|PA|2=(m-8)2+n2=(m-8)2+m2-8=2m2-16m+56=2(m-4)2+24,
当m=4时,|PA|2取得最小值为24,
∴|PA|的最小值为2 eq \r(6).
16.若直线l:y= eq \f(\r(3)x,3)- eq \f(2\r(3),3)过双曲线 eq \f(x2,a2)- eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的一个焦点,且与双曲线的一条渐近线平行.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过点B(0,b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的M,N两点,MN的垂直平分线为m,求直线m与y轴上的截距的取值范围.
解:(1)直线l:y= eq \f(\r(3)x,3)- eq \f(2\r(3),3)过x轴上一点(2,0),
由题意可得c=2,即a2+b2=4.
双曲线的渐近线方程为y=± eq \f(b,a)x,
由两直线平行的条件可得 eq \f(b,a)= eq \f(\r(3),3),
解得a= eq \r(3),b=1,所以双曲线的方程为 eq \f(x2,3)-y2=1.
(2)设直线y=kx+1(k≠0),
代入 eq \f(x2,3)-y2=1可得(1-3k2)x2-6kx-6=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2= eq \f(6k,1-3k2),x1x2= eq \f(6,3k2-1),
MN中点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k,1-3k2),\f(1,1-3k2))),
可得MN的垂直平分线方程为
y- eq \f(1,1-3k2)=- eq \f(1,k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(3k,1-3k2))).
令x=0,可得y= eq \f(4,1-3k2).
由Δ=36k2+24(1-3k2)>0,得3k2<2.
又因为 eq \f(6,3k2-1)<0,得3k2<1.综上可得0<3k2<1,
即有 eq \f(4,1-3k2)的范围是(4,+∞),
可得直线m与y轴上的截距的取值范围为(4,+∞).
数学人教A版 (2019)3.2 双曲线同步测试题: 这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线同步测试题,共4页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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