高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线习题，共5页。试卷主要包含了2.1　双曲线及其标准方程等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．已知(2，0)是双曲线x2－ eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，则b＝( )
A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2
【答案】C 【解析】由题意知c＝2，a＝1，所以b＝ eq \r(c2－a2)＝ eq \r(3).
2．已知F1(－8，3)，F2(2，3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线的一支和一条直线
C．双曲线和一条射线
D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D 【解析】易得|F1F2|＝10.当a＝3时，2a＝6，即2a<|F1F2|，所以P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2).当a＝5时，2a＝10，即2a＝|F1F2|，此时P，F1，F2共线．所以P点的轨迹是以F2为起点的一条射线．
3．若双曲线E： eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B 【解析】因为||PF1|－|PF2||＝2a，所以|PF1|－|PF2|＝±6，所以|PF2|＝9或PF2＝－3(舍去).
4．已知动点P到点A(－5，0)的距离与它到点B(5，0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程是( )
A． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,16)＝1
C． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1(x≤3) D． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1(x≥3)
【答案】D 【解析】由题意知，动点P的轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，由半焦距c＝5，实半轴长a＝3，知b2＝16，所以P点的轨迹方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1(x≥3).故选D.
5．椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,m2)＝1与双曲线 eq \f(x2,m2)－ eq \f(y2,2)＝1有相同的焦点，则m的值是( )
A．±1 B．1
C．－1 D．不存在
【答案】A 【解析】当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
6．已知点P(2，－3)是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是( )
A．x2－ eq \f(y2,3)＝1 B． eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,3)＝1
C． eq \f(y2,3)－x2＝1 D．x2－ eq \f(y2,4)＝1
【答案】A 【解析】由题意知c＝2，设该双曲线方程是 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,4－a2)＝1，把点P(2，－3)代入，得 eq \f(4,a2)－ eq \f(9,4－a2)＝1，解得a2＝1或a2＝16(舍去).所以该双曲线方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1.
7．(多选)已知双曲线的焦点在坐标轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为( )
A． eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,25)＝1
C． eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,15)＝1 D． eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,25)＝1
【答案】BD 【解析】①当双曲线的焦点在y轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,25)＝1.②当双曲线的焦点在x轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,25)＝1.故B，D正确．故选BD.
8．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－ eq \r(5)，0)，F2( eq \r(5)，0)，P是双曲线上一点，且 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．
【答案】 eq \f(x2,4)－y2＝1 【解析】由题意可设双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).由 eq \(PF1,\s\up6(→))· eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为 eq \f(x2,4)－y2＝1.
9．在平面直角坐标系Oxy中，方程 eq \f(x2,k－1)＋ eq \f(y2,k－3)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．
【答案】(1，3) 【解析】将方程化为 eq \f(x2,k－1)－ eq \f(y2,3－k)＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1>0且3－k>0，即110．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan ∠PMN＝ eq \f(3,4)，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．
解：当焦点在x轴上时，
因为△MPN的周长为48，且tan ∠PMN＝ eq \f(3,4)，
所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.
由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4.
所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20.
以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．
设所求双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).
由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4.
由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10.
所以b2＝c2－a2＝96，所以所求双曲线方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,96)＝1.
同理，当焦点在y轴上时的方程为 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,96)＝1
B级——能力提升练
11．(多选)下列说法正确的是( )
A．a＝4，经过点A(1，－ eq \f(4\r(10),3))的双曲线的标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1
B．经过点(3，0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1
C．经过点P(－3，2 eq \r(7))和Q(－6 eq \r(2)，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是 eq \f(y2,75)－ eq \f(x2,25)＝1
D．与椭圆 eq \f(x2,27)＋ eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，且过点( eq \r(15)，4)的双曲线的标准方程为 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,5)＝1
【答案】ABD 【解析】对于A，当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝－ eq \f(16,15)× eq \f(160,9)<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,b2)＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为 eq \f(y2,16)－ eq \f(x2,9)＝1，A正确．对于B，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵双曲线经过点(3，0)，(－6，－3)，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m＋0＝1，,36m＋9n＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝－\f(1,3)，))∴所求双曲线的标准方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,3)＝1，B正确．对于C，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25)，))故双曲线的标准方程为 eq \f(y2,25)－ eq \f(x2,75)＝1，C错误．对于D，椭圆 eq \f(x2,27)＋ eq \f(y2,36)＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1，由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝9，,\f(42,a2)－\f((\r(15))2,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝5，))故双曲线的方程为 eq \f(y2,4)－ eq \f(x2,5)＝1，D正确．故选ABD.
12．(2023年泰安质检)椭圆 eq \f(y2,49)＋ eq \f(x2,24)＝1与双曲线y2－ eq \f(x2,24)＝1有公共点P，则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为( )
A．48 B．24 C．24 eq \r(3) D．12 eq \r(3)
【答案】B 【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝14，,||PF1|－|PF2||＝2，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝8，,|PF2|＝6))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝6，,|PF2|＝8.))又因为|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.所以△PF1F2的面积S＝ eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝ eq \f(1,2)×6×8＝24.
13．已知F是双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【答案】9 【解析】如图，设右焦点为F1(4，0)，依题意得|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.
14．若F1，F2是双曲线C：x2－ eq \f(y2,24)＝1(y≠0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝________，△PF1F2的面积S△PF1F2＝________．
【答案】8 24 【解析】根据双曲线的概念得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，又因为|PF1|＝6，所以|PF2|＝4或|PF2|＝8.因为y≠0，而当P点落在x轴上时才会有|PF2|＝4，故舍掉，所以|PF2|＝8.因为△PF1F2是直角三角形，故S△PF1F2＝ eq \f(1,2)×6×8＝24.
15．已知定点A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
解：设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ eq \r(122＋92)－ eq \r(122＋52)＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，
所以点F的轨迹方程是y2－ eq \f(x2,48)＝1(y≤－1).