2024一轮数学讲义+题型细分与精练 95个专题 524个题型成对数据的统计分析——讲义

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【知识点梳理】
1．相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关．
3．线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
4．相关系数r的计算
注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用sx＝eq \r(\f(1,n)\(∑,\s\up10 (n),\s\d10(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)，sy＝eq \r(\f(1,n)\(∑,\s\up10 (n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)分别除xi－eq \(x,\s\up6(－))和yi－eq \(y,\s\up6(－)) (i＝1，2，…，n，eq \(x,\s\up6(－))和eq \(y,\s\up6(－))分别为x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1－\(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y1－\(y,\s\up6(－)),sy)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－\(x,\s\up6(－)),sx)，\f(y2－\(y,\s\up6(－)),sy)))，…，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xn－\(x,\s\up6(－)),sx)，\f(yn－\(y,\s\up6(－)),sy)))，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝eq \f(1,n)(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)
＝eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)).
5．相关系数r的性质
(1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．
(2)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
6．样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
r＝eq \f(1,n)x′·y′＝eq \f(1,n)|x′||y′|cs θ＝cs θ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝eq \r(n)，θ为向量x′和向量y′的夹角)．
专题94 一元线性回归模型及其应用
【知识点梳理】
1．一元线性回归模型
我们称
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,E（e）＝0，D（e）＝σ2))
为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．
2．线性回归方程与最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，是回归直线方程最常用的一个特征
我们将eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq \(b,\s\up6(^))，eq \(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate )，
其中
3．残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq \(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
4．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
(2)残差平方和法
残差平方和eq \(∑,\s\up10(n),\s\d6(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
(3)利用R2刻画回归效果
决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．
R2＝1－eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(^))i）2,\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) （yi－\(y,\s\up6(－))）2)，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．
专题95 列联表与独立性检验
【知识点梳理】
1．分类变量
这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种
我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．
2．2×2列联表
在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为
3.等高堆积条形图
等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果．
4.临界值
χ2 统计量也可以用来作相关性的度量．χ2 越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关
χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
5．独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立．
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验(test f independence)．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
6.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；
(3)根据检验规则得出推断结论；
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828