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2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第1讲 数据分析——成对数据的统计分析
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这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 第1讲 数据分析——成对数据的统计分析，共8页。
1．(2023·湖州期末)研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法错误的是( D )
A．若变量x和y之间的相关系数为r＝－0.992，则变量x和y之间的负相关很强
B．用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C．在经验回归方程eq \(y,\s\up6(^)) ＝－2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量eq \(y,\s\up6(^)) 平均减少2个单位
D．经验回归直线y＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^)) 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个
2．某工厂为研究某种产品的产量x(单位：t)与所需某种原材料y(单位：t)的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表所示：
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.7x＋a．据此计算出在样本(4,3)处的残差为－0.15，则表中m的值为( A )
A．5.9B．5.5
C．4.5D．3.3
【解析】 由残差为－0.15可知，当x＝4时，eq \(y,\s\up6(^)) ＝3.15，即3.15＝0.7×4＋a，解得a＝0.35，所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.7x＋0.35，又eq \x\t(x)＝eq \f(3＋4＋6＋7,4)＝5，eq \x\t(y)＝eq \f(2.5＋3＋4＋m,4)＝eq \f(9.5＋m,4)，且样本中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))在经验回归直线上，所以eq \f(9.5＋m,4)＝0.7×5＋0.35，解得m＝5.9．
3．以模型y＝cekx(c＞0)去拟合一组数据时，设z＝lny，将其变换后得到线性回归方程z＝2x－1，则c＝( C )
A．eq \f(1,2)B．e－2
C．e－1D．e
【解析】 因为y＝cekx(c＞0)，所以lny＝ln(cekx)＝lnc＋lnekx＝lnc＋kx，令z＝lny，所以z＝lnc＋kx＝2x－1，即c＝eq \f(1,e)．
4．(2023·邵阳二模)为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为10月1日至12月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年10月1日至10月5日时段的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物人数y(单位：万人)的数据如下表：
依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数x与到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数y与直播天数x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4x＋a．请预测2023年10月7日到该专营店购物的人数(单位：万人)为( C )
A．113.6B．122
C．115.6D．109.2
【解析】 由题意，eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(75＋84＋93＋98＋100,5)＝90，将(3,90)代入eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4x＋a，可得90＝6.4×3＋a，解得a＝70.8，经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4x＋70.8，将x＝7代入上式，得eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4×7＋70.8＝115.6．
5．(2023·济宁一模)(多选)某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算χ2≈4.762，则可以推断出( BC )
A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为eq \f(3,5)
B．该学校男生比女生更经常锻炼
C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【解析】 对于A，该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为eq \f(40,50)＝eq \f(4,5)，故A错误；对于B，经常体育锻炼的概率的估计值男生为eq \f(40,50)＝eq \f(4,5)，女生为eq \f(30,50)＝eq \f(3,5)，故B正确；对于C，χ2≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确；对于D，χ2≈4.762＜6.635，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误．
6．(多选)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．为了建立茶水温度y随时间x变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(其中eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i，eq \x\t(y)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,y)i)，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度y随时间x的变化情况，回归模型一：y＝kx＋b(k＜0，x≥0)；回归模型二：y＝kax＋b(k＞0,0＜a＜1，x≥0)，则下列说法正确的是( AB )
(第6题)
A．茶水温度与时间这两个变量负相关
B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好地拟合茶水温度随时间的变化情况
C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得y＝kax＋b的图象一定经过点(aeq \x\t(x)，eq \x\t(y))
D．当x＝5时，通过回归模型二计算得y＝65.1，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为－0.1
【解析】 由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二更好拟合，即A，B正确；根据非线性回归方程的拟合方法，先令t＝ax，则y＝kt＋b，此时拟合为经验回归方程，其过(eq \x\t(t)，eq \x\t(y))，故C错误；残差为真实值减估计值，即为65.2－65.1＝0.1，故D错误．
7．(2023·连云港期初)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^)) ．已知eq \i\su(i＝1,10,x)i＝1 600，eq \i\su(i＝1,10,y)i＝460，eq \(b,\s\up6(^)) ＝0.85．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为__54.5__kg．
【解析】 eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,x)i＝160，eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,y)i＝46，故46＝0.85×160＋eq \(a,\s\up6(^)) ，解得eq \(a,\s\up6(^)) ＝－90，故经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.85x－90，则当x＝170时，eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.85×170－90＝54.5(kg)．
8．害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义．已知某种害虫产卵数y(单位：个)与温度x(单位：℃)有关，测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，可用模型y＝c1ec2x进行拟合，利用z＝lny变换得到的经验回归方程为eq \(z,\s\up6(^)) ＝0.3x＋eq \(a,\s\up6(^)) ．若eq \i\su(i＝1,20,x)i＝600，eq \i\su(i＝1,20,l)nyi＝120，则c1的值为__e－3__．
【解析】 对y＝c1ec2x两边同时取对数可得lny＝ln(c1ec2x)＝lnc1＋lnec2x＝c2x＋lnc1，即eq \(z,\s\up6(^)) ＝c2x＋lnc1＝0.3x＋eq \(a,\s\up6(^)) ，可得c2＝0.3，lnc1＝eq \(a,\s\up6(^)) ．由eq \i\su(i＝1,20,x)i＝600，eq \i\su(i＝1,20,l)nyi＝120，可得eq \x\t(x)＝30，lny＝eq \x\t(z)＝6，代入eq \(z,\s\up6(^)) ＝0.3x＋eq \(a,\s\up6(^)) ，可得eq \(a,\s\up6(^)) ＝－3，即lnc1＝eq \(a,\s\up6(^)) ＝－3，所以c1＝e－3．
9．(2023·娄底四模)某中学团委在高二年级(其中男生150名，女生150名)中，对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，各班男生喜欢观看的人数统计分别为6,7,8,8,6,5,14,14,12,10，各班女生喜欢观看的人数统计分别为4,4,4,5,5,6,7,7,8,10．
(1) 根据题意补全2×2列联表．
【解答】 由题设，喜欢观看的男生有6＋7＋8＋8＋6＋5＋14＋14＋12＋10＝90(人)，故不喜欢观看的男生有150－90＝60(人)；喜欢观看的女生有4＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋7＋8＋10＝60(人)，故不喜欢观看的女生有150－60＝90(人)．补全2×2列联表如下：
(2) 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？
附：参考临界值表：
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d．
【解答】 零假设为H0：该校学生喜欢观看世界杯与性别无关，根据列联表计算得χ2＝eq \f(300×90×90－60×602,150×150×150×150)＝12＞10.828＝x0.001，所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
10．(2023·厦门二检)如图是2018—2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018—2022对应的t分别为1～5．
附：样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)wi－\x\t(w),\r(,\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)2)\r(,\i\su(i＝1,n, )wi－\x\t(w)2))，eq \i\su(i＝1,5, )(wi－eq \x\t(w))2＝76.9，eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))(wi－eq \x\t(w))＝27.2，eq \i\su(i＝1,5,w)i＝60.8，eq \r(,769)≈27.7．
(第10题)
(1) 根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度．
【解答】 由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关．因为eq \x\t(t)＝eq \f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以 eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，所以 r＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)wi－\x\t(w),\r(eq \i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2)\r(eq \i\su(i＝1,5, )wi－\x\t(w)2))＝eq \f(27.2,\r(,10×76.9))＝eq \f(27.2,\r(,769))≈eq \f(27.2,27.7)≈0.98，所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
(2) ①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2))(随机误差ei＝yi－bxi)．请推导：当随机误差平方和Q＝eq \i\su(i＝1,n,e)eq \\al(2,i)取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
②令变量x＝t－eq \x\t(t)，y＝w－eq \x\t(w)，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2.))利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
【解答】 ①Q＝eq \i\su(i＝1,n,e)eq \\al(2,i)＝eq \i\su(i＝1,n,)(yi－bxi)2＝eq \i\su(i＝1,n, )(yeq \\al(2,i)－2bxiyi＋b2xeq \\al(2,i))＝b2eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－2beq \i\su(i＝1,n,x)iyi＋eq \i\su(i＝1,n,y)eq \\al(2,i)，要使Q取得最小值，当且仅当eq \(b,\s\up6(^)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi,\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i))．
②由①知 eq \(b,\s\up6(^)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi,\i\su(i＝1,5,x)\\al(2,i))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)wi－\x\t(w), eq \i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2)＝eq \f(27.2,10)＝2.72，所以y关于x的经验回归方程为y＝2.72x，又eq \x\t(w)＝eq \f(\i\su(i＝1,5,w)i,5)＝eq \f(60.8,5)＝12.16，所以当t＝7 时，则x＝7－3＝4，w＝y＋eq \x\t(w)＝2.72×4＋12.16＝23.04，所以预测2024年移动物联网连接数为23.04亿户．
B组 抓分题天天练
11．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(第11题)
(1) 求证：BD⊥ AA1．
【解答】 设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O．在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，所以A1O2＝AAeq \\al(2,1)＋AO2－2AA1·AOcs 60°＝3，所以AO2＋A1O2＝AAeq \\al(2,1)，所以A1O⊥AO．由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD．故OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(eq \r(,3)，0,0)，C(0,1,0)，D(－eq \r(,3)，0,0)，A1(0，0，eq \r(,3))，C1(0，2，eq \r(,3))．因为eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2eq \r(,3)，0,0)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,1，eq \r(,3))，eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0×(－2eq \r(,3))＋1×0＋eq \r(,3)×0＝0，所以eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AA1,\s\up6(→))，即BD⊥AA1．
(第11题)
(2) 在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】 假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(CC1,\s\up6(→))，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，eq \r(,3))，即x＝0，y＝λ＋1，z＝eq \r(,3)λ．从而有P(0,1＋λ，eq \r(,3)λ)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(－eq \r(,3)，1＋λ，eq \r(,3)λ)．设平面DA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\(DA1,\s\up6(→))＝0，))又eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq \(DA1,\s\up6(→))＝(eq \r(,3)，0，eq \r(,3))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y＝0，,\r(,3)x＋\r(,3)z＝0，))不妨取n＝(1,0，－1)．因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥eq \(BP,\s\up6(→))，即n·eq \(BP,\s\up6(→))＝－eq \r(,3)－eq \r(,3)λ＝0，解得λ＝－1，即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1．
x
3
4
6
7
y
2.5
3
4
m
日期
1日
2日
3日
4日
5日
第x天
1
2
3
4
5
人数y(单位：万人)
75
84
93
98
100
经常锻炼
不经常锻炼
男
40
10
女
30
20
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
喜欢观看
不喜欢观看
合计
男生
150
女生
150
合计
300
喜欢观看
不喜欢观看
合计
男生
90
60
150
女生
60
90
150
合计
150
150
300
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1．(2023·湖州期末)研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法错误的是( D )
A．若变量x和y之间的相关系数为r＝－0.992，则变量x和y之间的负相关很强
B．用决定系数R2来比较两个模型拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C．在经验回归方程eq \(y,\s\up6(^)) ＝－2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量eq \(y,\s\up6(^)) 平均减少2个单位
D．经验回归直线y＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^)) 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个
2．某工厂为研究某种产品的产量x(单位：t)与所需某种原材料y(单位：t)的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表所示：
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.7x＋a．据此计算出在样本(4,3)处的残差为－0.15，则表中m的值为( A )
A．5.9B．5.5
C．4.5D．3.3
【解析】 由残差为－0.15可知，当x＝4时，eq \(y,\s\up6(^)) ＝3.15，即3.15＝0.7×4＋a，解得a＝0.35，所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.7x＋0.35，又eq \x\t(x)＝eq \f(3＋4＋6＋7,4)＝5，eq \x\t(y)＝eq \f(2.5＋3＋4＋m,4)＝eq \f(9.5＋m,4)，且样本中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))在经验回归直线上，所以eq \f(9.5＋m,4)＝0.7×5＋0.35，解得m＝5.9．
3．以模型y＝cekx(c＞0)去拟合一组数据时，设z＝lny，将其变换后得到线性回归方程z＝2x－1，则c＝( C )
A．eq \f(1,2)B．e－2
C．e－1D．e
【解析】 因为y＝cekx(c＞0)，所以lny＝ln(cekx)＝lnc＋lnekx＝lnc＋kx，令z＝lny，所以z＝lnc＋kx＝2x－1，即c＝eq \f(1,e)．
4．(2023·邵阳二模)为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为10月1日至12月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年10月1日至10月5日时段的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物人数y(单位：万人)的数据如下表：
依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数x与到该电商平台专营店购物的人数y(单位：万人)具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数y与直播天数x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4x＋a．请预测2023年10月7日到该专营店购物的人数(单位：万人)为( C )
A．113.6B．122
C．115.6D．109.2
【解析】 由题意，eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq \x\t(y)＝eq \f(75＋84＋93＋98＋100,5)＝90，将(3,90)代入eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4x＋a，可得90＝6.4×3＋a，解得a＝70.8，经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4x＋70.8，将x＝7代入上式，得eq \(y,\s\up6(^)) ＝6.4×7＋70.8＝115.6．
5．(2023·济宁一模)(多选)某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表：
经计算χ2≈4.762，则可以推断出( BC )
A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为eq \f(3,5)
B．该学校男生比女生更经常锻炼
C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异
【解析】 对于A，该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为eq \f(40,50)＝eq \f(4,5)，故A错误；对于B，经常体育锻炼的概率的估计值男生为eq \f(40,50)＝eq \f(4,5)，女生为eq \f(30,50)＝eq \f(3,5)，故B正确；对于C，χ2≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确；对于D，χ2≈4.762＜6.635，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误．
6．(多选)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．为了建立茶水温度y随时间x变化的回归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(其中eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i，eq \x\t(y)＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,y)i)，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度y随时间x的变化情况，回归模型一：y＝kx＋b(k＜0，x≥0)；回归模型二：y＝kax＋b(k＞0,0＜a＜1，x≥0)，则下列说法正确的是( AB )
(第6题)
A．茶水温度与时间这两个变量负相关
B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好地拟合茶水温度随时间的变化情况
C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得y＝kax＋b的图象一定经过点(aeq \x\t(x)，eq \x\t(y))
D．当x＝5时，通过回归模型二计算得y＝65.1，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为－0.1
【解析】 由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二更好拟合，即A，B正确；根据非线性回归方程的拟合方法，先令t＝ax，则y＝kt＋b，此时拟合为经验回归方程，其过(eq \x\t(t)，eq \x\t(y))，故C错误；残差为真实值减估计值，即为65.2－65.1＝0.1，故D错误．
7．(2023·连云港期初)为了研究高三(1)班女生的身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其经验回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝eq \(b,\s\up6(^)) x＋eq \(a,\s\up6(^)) ．已知eq \i\su(i＝1,10,x)i＝1 600，eq \i\su(i＝1,10,y)i＝460，eq \(b,\s\up6(^)) ＝0.85．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为__54.5__kg．
【解析】 eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,x)i＝160，eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,y)i＝46，故46＝0.85×160＋eq \(a,\s\up6(^)) ，解得eq \(a,\s\up6(^)) ＝－90，故经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.85x－90，则当x＝170时，eq \(y,\s\up6(^)) ＝0.85×170－90＝54.5(kg)．
8．害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义．已知某种害虫产卵数y(单位：个)与温度x(单位：℃)有关，测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，可用模型y＝c1ec2x进行拟合，利用z＝lny变换得到的经验回归方程为eq \(z,\s\up6(^)) ＝0.3x＋eq \(a,\s\up6(^)) ．若eq \i\su(i＝1,20,x)i＝600，eq \i\su(i＝1,20,l)nyi＝120，则c1的值为__e－3__．
【解析】 对y＝c1ec2x两边同时取对数可得lny＝ln(c1ec2x)＝lnc1＋lnec2x＝c2x＋lnc1，即eq \(z,\s\up6(^)) ＝c2x＋lnc1＝0.3x＋eq \(a,\s\up6(^)) ，可得c2＝0.3，lnc1＝eq \(a,\s\up6(^)) ．由eq \i\su(i＝1,20,x)i＝600，eq \i\su(i＝1,20,l)nyi＝120，可得eq \x\t(x)＝30，lny＝eq \x\t(z)＝6，代入eq \(z,\s\up6(^)) ＝0.3x＋eq \(a,\s\up6(^)) ，可得eq \(a,\s\up6(^)) ＝－3，即lnc1＝eq \(a,\s\up6(^)) ＝－3，所以c1＝e－3．
9．(2023·娄底四模)某中学团委在高二年级(其中男生150名，女生150名)中，对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，各班男生喜欢观看的人数统计分别为6,7,8,8,6,5,14,14,12,10，各班女生喜欢观看的人数统计分别为4,4,4,5,5,6,7,7,8,10．
(1) 根据题意补全2×2列联表．
【解答】 由题设，喜欢观看的男生有6＋7＋8＋8＋6＋5＋14＋14＋12＋10＝90(人)，故不喜欢观看的男生有150－90＝60(人)；喜欢观看的女生有4＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋7＋8＋10＝60(人)，故不喜欢观看的女生有150－60＝90(人)．补全2×2列联表如下：
(2) 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？
附：参考临界值表：
χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d．
【解答】 零假设为H0：该校学生喜欢观看世界杯与性别无关，根据列联表计算得χ2＝eq \f(300×90×90－60×602,150×150×150×150)＝12＞10.828＝x0.001，所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.001．
10．(2023·厦门二检)如图是2018—2022年移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018—2022对应的t分别为1～5．
附：样本相关系数r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)wi－\x\t(w),\r(,\i\su(i＝1,n, )ti－\x\t(t)2)\r(,\i\su(i＝1,n, )wi－\x\t(w)2))，eq \i\su(i＝1,5, )(wi－eq \x\t(w))2＝76.9，eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))(wi－eq \x\t(w))＝27.2，eq \i\su(i＝1,5,w)i＝60.8，eq \r(,769)≈27.7．
(第10题)
(1) 根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度．
【解答】 由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关．因为eq \x\t(t)＝eq \f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以 eq \i\su(i＝1,5, )(ti－eq \x\t(t))2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，所以 r＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)wi－\x\t(w),\r(eq \i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2)\r(eq \i\su(i＝1,5, )wi－\x\t(w)2))＝eq \f(27.2,\r(,10×76.9))＝eq \f(27.2,\r(,769))≈eq \f(27.2,27.7)≈0.98，所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
(2) ①假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2))(随机误差ei＝yi－bxi)．请推导：当随机误差平方和Q＝eq \i\su(i＝1,n,e)eq \\al(2,i)取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
②令变量x＝t－eq \x\t(t)，y＝w－eq \x\t(w)，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋e，,Ee＝0，De＝σ2.))利用①中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
【解答】 ①Q＝eq \i\su(i＝1,n,e)eq \\al(2,i)＝eq \i\su(i＝1,n,)(yi－bxi)2＝eq \i\su(i＝1,n, )(yeq \\al(2,i)－2bxiyi＋b2xeq \\al(2,i))＝b2eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－2beq \i\su(i＝1,n,x)iyi＋eq \i\su(i＝1,n,y)eq \\al(2,i)，要使Q取得最小值，当且仅当eq \(b,\s\up6(^)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi,\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i))．
②由①知 eq \(b,\s\up6(^)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi,\i\su(i＝1,5,x)\\al(2,i))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)wi－\x\t(w), eq \i\su(i＝1,5, )ti－\x\t(t)2)＝eq \f(27.2,10)＝2.72，所以y关于x的经验回归方程为y＝2.72x，又eq \x\t(w)＝eq \f(\i\su(i＝1,5,w)i,5)＝eq \f(60.8,5)＝12.16，所以当t＝7 时，则x＝7－3＝4，w＝y＋eq \x\t(w)＝2.72×4＋12.16＝23.04，所以预测2024年移动物联网连接数为23.04亿户．
B组 抓分题天天练
11．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD．
(第11题)
(1) 求证：BD⊥ AA1．
【解答】 设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O．在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，所以A1O2＝AAeq \\al(2,1)＋AO2－2AA1·AOcs 60°＝3，所以AO2＋A1O2＝AAeq \\al(2,1)，所以A1O⊥AO．由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD．故OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(eq \r(,3)，0,0)，C(0,1,0)，D(－eq \r(,3)，0,0)，A1(0，0，eq \r(,3))，C1(0，2，eq \r(,3))．因为eq \(BD,\s\up6(→))＝(－2eq \r(,3)，0,0)，eq \(AA1,\s\up6(→))＝(0,1，eq \r(,3))，eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0×(－2eq \r(,3))＋1×0＋eq \r(,3)×0＝0，所以eq \(BD,\s\up6(→))⊥eq \(AA1,\s\up6(→))，即BD⊥AA1．
(第11题)
(2) 在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】 假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设eq \(CP,\s\up6(→))＝λeq \(CC1,\s\up6(→))，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，eq \r(,3))，即x＝0，y＝λ＋1，z＝eq \r(,3)λ．从而有P(0,1＋λ，eq \r(,3)λ)，eq \(BP,\s\up6(→))＝(－eq \r(,3)，1＋λ，eq \r(,3)λ)．设平面DA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(A1C1,\s\up6(→))＝0，,n·\(DA1,\s\up6(→))＝0，))又eq \(A1C1,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq \(DA1,\s\up6(→))＝(eq \r(,3)，0，eq \r(,3))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2y＝0，,\r(,3)x＋\r(,3)z＝0，))不妨取n＝(1,0，－1)．因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥eq \(BP,\s\up6(→))，即n·eq \(BP,\s\up6(→))＝－eq \r(,3)－eq \r(,3)λ＝0，解得λ＝－1，即点P在C1C的延长线上，且CP＝CC1．
x
3
4
6
7
y
2.5
3
4
m
日期
1日
2日
3日
4日
5日
第x天
1
2
3
4
5
人数y(单位：万人)
75
84
93
98
100
经常锻炼
不经常锻炼
男
40
10
女
30
20
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
喜欢观看
不喜欢观看
合计
男生
150
女生
150
合计
300
喜欢观看
不喜欢观看
合计
男生
90
60
150
女生
60
90
150
合计
150
150
300
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
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