2023-2024学年天津五中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年天津五中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(1,m)，b=(m,2)，若a/​/b，则实数m等于( )
A. 2B. 2或− 2C. − 2D. 0
2.下列各式化简正确的是( )
A. OA−OD+DA=0B. AB+MB+BO+OM=AB
C. AB−CB+AC=0D. 0⋅AB=0
3.已知|a|=1，b=(0,2)，且a⋅b=1，则向量a与b夹角的大小为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+c2+bc，则A的值是( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是±a|a|．
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.已知AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，则( )
A. A、B、D三点共线B. A、B、C三点共线
C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=30°，b= 2，c=2，则角C=( )
A. 45°B. 135°C. 45°或135°D. 30°
8.若|a|=4,|b|=1，向量a与向量b的夹角为120°，则a在b上的投影向量为( )
A. −3bB. 2bC. −2bD. −b
9.若向量a，b满足|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=
( )
A. 2B. 2C. 1D. 22
10.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2−b2= 3bc，sinC=2 3sinB，则A等于
( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知向量a=(2,4),b=(−1,1)，则3a−b= ______．
12.已知a=(−3,1),b=(2,−1)，则a⋅b= ______．
13.已知A(−1,2)，B(2,0)，C(x,3)，且AB⊥AC，则x= ______．
14.在△ABC中，已知a=5，b=3，C=120°，则S△ABC= ______．
15.已知e1，e2是夹角为23π的两个单位向量，a=e1−2e2，b=ke1+e2.若a⋅b=0，则实数k的值为______．
16.如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，设AB=a,AC=b，则AM= ______；AP= ______.(注：用a和b来表示)
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=5，c=6，csB=45．
(I)求b和sinA的值；
(Ⅱ)求cs(A+π4)的值．
18.(本小题12分)
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=4，C=2B．
(Ⅰ)求csB的值；
(Ⅱ)求sin(2B−π3)的值．
19.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6．
(1)求AB⋅BC的值；
(2)若AD=λBC,AD⋅AB=−32，求实数λ的值；
(3)在(2)的条件下，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，求DM⋅DN的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：向量a=(1,m)，b=(m,2)，若a/​/b，
则m2=2，
解得m= 2或− 2．
故选：B．
直接利用共线向量的坐标运算求解即可．
本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．
2.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．
直接根据向量的加减及数乘逐个进行判断即可求解结论．
【解答】
解：因为OA−OD+DA=2DA，故A错；
∵AB+MB+BO+OM=AB+MB+BM=AB+0=AB，故B对；
AB−CB+AC=AB+BC+AC=2AC，故C错；
0⋅AB=0，故D错；
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：∵|a|=1，b=(0,2)，且a⋅b=1，
∴cs=a⋅b|a| |b|=11× 0+22=12．
∴向量a与b夹角的大小为π3．
故选：C．
利用向量的夹角公式即可得出．
本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题给出三角形边的平方关系，求角A的大小．考查了余弦定理和特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA的式子与题中等式加以比较，可得csA=−12，结合A是三角形的内角，可得A的大小．
【解答】
解：∵由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccsA
∴结合题意a2=b2+c2+bc，得csA=−12
又∵A是三角形的内角，∴A=2π3
故选：C．
5.【答案】B
【解析】解：向量既有大小也有方向，
∴单位向量的方向不相同或相反便不共线，∴命题①错误；
长度相等而方向不同的向量不相等，∴命题②错误；
共线的单位向量方向不相同的也不相等，∴命题③错误；
与非零向量a共线的单位向量是：±a|a|，∴命题④正确．
故选：B．
根据向量的定义即可判断命题①②③都错误，与非零向量a共线的单位向量是±a|a|，从而判断命题④正确，这样即可得出正确的选项．
本题考查了向量的定义，单位向量的定义，相等向量和共线向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，
∴BD=BC+CD=a+5b，
∴AB=BD，
∴AB与BD共线，
∴A、B、D三点共线．
故选：A．
根据平面向量的线性运算与共线定理，证明AB与BD共线，即可得出结论．
本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题目．
7.【答案】C
【解析】解：B=30°，b= 2，c=2，
则sinC=csinBb=2×12 2= 22，
∵C>B，C∈(0,π)，
∴角C=45°或135°．
故选：C．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=4×1×cs120°1b=−2b．
故选：C．
根据投影向量定义计算即可．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质：两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于中档题．
由条件利用两个向量垂直的性质，可得(a+b)⋅a=0，(2a+b)⋅b=0，由此求得|b|.
【解答】
解：由题意可得，
(a+b)⋅a=a2+a⋅b=1+a⋅b=0，
∴a⋅b=−1；
(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=−2+b2=0，∴b2=2，
则|b|= 2，
故选B．
10.【答案】D
【解析】解：∵由sinC=2 3sinB，由正弦定理可知：c=2 3b，代入a2−b2= 3bc，
∴可得a2=7b2，
∴由余弦定理可得：csA=b2+12b2−7b24 3b2= 32，
∵0∴A=π6．
故选：D．
利用正弦定理化三角函数为三角形边的关系，然后通过余弦定理求解即可．
本题考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11.【答案】(7,11)
【解析】解：∵a=(2,4),b=(−1,1)，
∴3a−b=(6,12)−(−1,1)=(7,11)．
故答案为：(7,11)．
根据向量线性运算的坐标表示求解即可．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
12.【答案】−7
【解析】解：由a=(−3,1)，b=(2,−1)，
所以a⋅b=−6−1=−7．
故答案为：−7．
根据向量数量积的坐标公式计算即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
13.【答案】−13
【解析】解：AB=(3,−2),AC=(x+1,1)，
因为AB⊥AC，所以AB⋅AC=(3,−2)⋅(x+1,1)=3x+3−2=0，
解得x=−13．
故答案为：−13．
先得到AB=(3,−2),AC=(x+1,1)，根据垂直得到方程，求出答案．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】15 34
【解析】解：由三角形面积公式可得：S△ABC=12absinC=12×5×3× 32=15 34．
故答案为：15 34．
直接由三角形面积公式计算．
本题考查三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】54
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律，属于基础题．
利用向量的数量积公式求出e1⋅e2，利用向量的运算律求出a⋅b，列出方程求出k．
【解答】
解：∵e1,e2是夹角为23π的两个单位向量，
∴e1⋅e2=−12，
∴a⋅b=(e1−2e2)⋅(ke1+e2)
=ke12−2ke1⋅e2+e1⋅e2− 2e22
=2k−52，
∵a⋅b=0，
∴2k−52=0，
解得k=54，
故答案为54．
16.【答案】12a+12b 25a+25b
【解析】解：因为M是BC的中点，AB=a,AC=b，
所以AM=12(AB+AC)=12a+12b，
设BP=λBN，
则AP=AB+BP=AB+λBN=a+λ(AN−AB)=a+λ(23AC−AB)
=(1−λ)a+2λ3b，
设AP=μAM，则AP=μ2a+μ2b，
所以1−λ=μ22λ3=μ2，解得λ=35μ=45，
所以AP=25a+25b．
故答案为：12a+12b；25a+25b．
根据中线的向量表示求出AM，设BP=λBN，AP=μAM，再由平面向量基本定理列出方程即可求出λ，μ得解．
本题主要考查了向量的线性运算及向量共线定理，属于中档题．
17.【答案】解：(I)在△ABC中，由余弦定理，
得b2=a2+c2−2accsB=25+36−2×5×6×45=13，
所以b= 13；
又sinB= 1−cs2B=35，
由正弦定理得sinA=a⋅sinBb=3 1313；
(Ⅱ)∵a∴csA= 1−sin2A=2 1313，
∴cs(A+π4)=csAcsπ4−sinAsinπ4= 22×(2 1313−3 1313)=− 2626．
【解析】(I)由余弦定理和正弦定理求得b、sinA的值；
(Ⅱ)利用同角三角函数基本关系式可求csA的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cs(A+π4)的值．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数求值的计算问题，是基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵C=2B，∴sinC=sin2B=2sinBcsB，
由正弦定理得c=2bcsB，
∴csB=c2b=42×3=23；
(Ⅱ)由csB=23，
∴sinB= 53，
∴sin2B=2sinBcsB=2× 53×23=4 59，
cs2B=2cs2B−1=89−1=−19，
∴sin(2B−π3)=sin2Bcsπ3−cs2Bsinπ3=4 59×12+19× 32=4 5+ 318．
【解析】(1)利用正弦定理，可得c=2bcsB，即求出csB的值；
(2)求出sin2B，cs2B，即可求sin(2B−π3)的值．
本题考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)已知四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6．
则AB⋅BC=|AB|⋅|BC|cs120°=3×6×(−12)=−9；
(2)因为AD=λBC，
所以AD//BC，
所以∠BAD=120°，
所以AD⋅AB=|AD||AB|cs∠BAD=−32|AD|=−32，
所以|AD|=1，
又|BC|=6，
所以AD=16BC，
即λ=16；
(3)以BC所在直线为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
因为∠B=60°，AB=3，
所以A(32,3 32)，
则D(52,3 32)，
设M(x,0)，
则N(x+1,0)，
因为M，N是线段BC上的两个动点，
所以0≤x≤60≤x+1≤6，
解得0≤x≤5，
所以DM=(x−52,−3 32),DN=(x−32,−3 32)，
所以DM⋅DN=(x−52)(x−32)+274=(x−2)2+132，
所以当x=2时，DM⋅DN有最小值132．
【解析】(1)根据数量积公式求解；
(2)根据AD=λBC，可得AD//BC，即可得∠BAD=120°，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案；
(3)如图建系，求得D点坐标，设M(x,0)，则N(x+1,0)，即可得DM,DN坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属中档题．