2022-2023学年天津五十五中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

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2022-2023学年天津五十五中高一（下）月考数学试卷（3月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中不能化简为的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列命题中不正确的是(    )

A. 正四棱锥的侧面都是正三角形
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台

3.  在中，若：：：：，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知向量，，若，则与夹角的余弦值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  的内角，，的对边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6.  在中，，，则为(    )

A. 直角三角形 B. 三边均不相等的三角形
C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形

7.  如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  圆的直径，弦，点在弦上，则的最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

9.  在中，若，，，则的值为        ．

10.  与共线反向的单位向量坐标______ ．

11.  如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度           

12.  已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则______．

13.  对如图所示的几何体描述正确的是______写出所有正确结论的序号．
这是一个六面体；   这是一个四棱台；
这是一个四棱柱；
此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；
此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到．

14.  在中，，，分别为内角，，的对边，为的外心，且有，，若，，，则        ．

三、解答题（本大题共4小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
若，求；
若，求．

16.  本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
若与共线，求；
求，；
求与的夹角的余弦值．

17.  本小题分
已知向量，．
求在方向上的投影向量的坐标；
若向量，求实数的值；
若向量满足，求的值．

18.  本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
已知，若且，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，A错误；
B.，B错误；
C.，C错误；
D.，D正确．
故选：．
根据向量加法的几何意义进行运算即可．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故A错误；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B正确；
用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．
故选：．
由正四棱锥的概念判断；由旋转体的结构特征判断．
本题考查多面体与旋转体的结构特征，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：：：：：，
则由正弦定理可设，，，，
故．
故选：．
由正弦定理可设，，，，再结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，．
又，，
解得，即，
故．
故选：．
利用平面向量坐标运算法则，求出再由，求出，由此能求出与夹角的余弦值．
本题考查两向量夹角的余弦值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
由条件利用正弦定理、余弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，大边对大角等知识的应用，考查了转化思想，属于基础题．
【解答】
解：对于，，，，
由正弦定理可得，则，
由大边对大角，可知即可为锐角，也可为钝角，有两解；
对于，，，，由余弦定理可得，
，有一解；
对于，，，，
由，得，
，为锐角，有一解；
对于，，，，
由，得，，有一解．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由，可得，
即为，即有，
即，
又，
可得内角，
所以为等腰非等边三角形．
故选：．
由向量数量积的定义可得内角，再由向量数量积的性质，可得，可判断的形状．
本题考查向量数量积的定义和性质，以及三角形的形状的判断，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意设，
因为，所以，
所以


，
因为，
所以，解得，
所以，
因为，，，，
所以

，
故选：．
由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量的数量积的运算，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点，
又，因此，
所以的最小值为．
故选：．
根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小值，即可得出结果．
本题考查了平面向量的线性运算法则，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，
由正弦定理，即，
所以，因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合正弦定理计算可得．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：的模为，
则与共线反向的单位向量为
故答案为：
由与反向共线的单位向量，计算可得所求．
本题考查向量共线的坐标表示，考查运算能力，是一道基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用正弦定理、余弦定理解决高度问题，属于基础题．
利用等腰直角三角形求出，在三角形中求出和，利用正弦定理求出，求解直角三角形可得．

【解答】

解：在中，，，
则，
在中，，，
则．
由正弦定理得，
则，
在中，，
故山的高度．
故答案为：．

12.【答案】 

【解析】解：中，，，，
由正弦定理得：，
整理得：，
由余弦定理，得，
解得：或，
当时，，，此时，，不满足，舍去；
当时，，，此时，，，满足题意，
则．
故答案为：
由，得到，利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理即可求出的值．
此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，这个几何体有六个面，这是一个六面体，故正确；
在中，这个几何体的侧棱延长后不能交于同一点，这不是一个四棱台，故错误；
在中，如果把这个几何体的正面或背面作为底面就会发现这个一个四棱柱，故正确；
在中，如图一所示，此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到，故正确；
在中，如图二所示，此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到，故正确．
故答案为：．
利用六面体、四棱台、四棱柱、三棱柱、四棱柱的定义、性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查六面体、四棱台、四棱柱、三棱柱、四棱柱的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，根据正弦定理可得：
，又，
，，
，
，又，，
的外心在三角形外，且与均为正三角形，
，，又，
，，．
故答案为：．
根据三角函数公式，正弦定理，余弦定理，可得，，从而可得的外心在三角形外，且与均为正三角形，从而可得，即得，的值，从而得解．
本题考查三角函数公式，正弦定理，余弦定理，向量的线性运算，属中档题．
 

15.【答案】解：，，，．
由余弦定理可得：，
又，．
，．
由正弦定理可得：，
，或．
当时，由内角和定理可得，为直角三角形，
；
当时，由内角和定理可得，，．
综上，或． 

【解析】直接利用余弦定理可求，可求；
由正弦定理可求，进而可求，可求．
本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】解：与共线，且，
根据共线向量基本定理：存在，使，
根据平面向量基本定理得：，解得；
由已知，得，；
设与的夹角为，则，
因此，与的夹角的余弦值为． 

【解析】根据题意可得出，从而得出，然后解出的值即可；
进行数量积的运算即可求出，根据进行数量积的运算即可求出的值；
可设与的夹角为，然后根据即可求出答案．
本题考查了共线向量和平面向量基本定理，向量的数乘和数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：在方向上的投影为，
由于在方向上的投影向量与共线，
可得所求向量为；
向量，，
，
，
向量，
，
解得；
，
，，
，，
，
． 

【解析】由向量投影的定义和向量共线定理，可得所求向量，
由向量的坐标运算和向量的平行即可求出的值，
根据向量的坐标运算和向量的模即可求出．
本题考查了向量的坐标运算以及向量的平行和向量的共线，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
 

18.【答案】解因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
因为在中，
所以，
因为，
所以；
由两边平方得，
因为，，
所以，
解得或舍去，
所以的面积为． 

【解析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求；
由已知结合向量数量积的性质可求，然后结合余弦定理可求，再由三角形的面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．