期中考试仿真模拟试卷01-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

这是一份期中考试仿真模拟试卷01-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知，则复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2． 已知向量，，，则与夹角为（ ）
A. B. C. D.
3．如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
4．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A. B. C. D.
5．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（ ）米．
A. B. C. D.
6．《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈)．则楔体的体积为(体积单位：立方丈)（ ）
A. 10B. 8C. D.
7．中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，，则为（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形或钝角三角形D. 直角三角形
8．若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．复数满足，且，则下列正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10． ，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，，共面D. ，，共点，，共面
11．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则点M是边的中点
B. 若，，，则有两种形状
C. 若，则是等腰或直角三角形
D. 若为的内心，则
12．在中，为边上的中线，，以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则________．
14.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则该圆台全面积为________.
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，若BC边上的中线长，则的面积为________．
16．已知是等边三角形，点在的延长线上，且，，则______；______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与的夹角为，且，.
（1）若与共线，求；
（2）求，.
18．已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值
19．已知四棱锥A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2BE=2，CD面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求四棱锥A—BCDE的体积，
20． 的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
21．长沙市雅礼中学为“雅礼杯”足球赛制作了冠军奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，，，若按此方案设计：
（1）当时，在中，G为AB边上任意一点，求的最大值；
（2）制作商发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，求此时的大小.
22．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北60°方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口A，，在A的东偏北的方向（A，两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A，之间相距较远，计划在A，之间设置一个服务区.
（1）若在的正北方向且，求A，到市中心的距离和最小时的值；
（2）若到市中心的距离为，此时设在的平分线与的交点位置，且满足，则求A到市中心的距离最大时的值.
期中考试仿真模拟试卷01
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
所以复数的共轭复数是，
故选：C
2． 已知向量，，，则与夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
，解得：，
又，，即与夹角为.
故选：D.
3．如图，在中，，若的水平放置直观图为，则的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在中，，，则，，
由斜二测画法规则知，，，，边上的高，
所以的面积为.
故选：B
4．欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
所以，
所以，则z的虚部是1.
故选：A
5．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（ ）米．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由正弦定理可知
，
故选：B
6．《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈)．则楔体的体积为(体积单位：立方丈)（ ）
A. 10B. 8C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，分别过点，作平面的垂直平面，则可以把楔体分成一个三棱柱和两个四棱锥.
三棱柱体积(立方丈)，
四棱锥体积(立方丈)，
故楔体的体积(立方丈).
故选：D.
7．中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，，，则为（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形或钝角三角形D. 直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理得，得，
得，
过作垂直所在的直线，则，
所以角有两种情况，即角为锐角，角为钝角，
如图对应的三角形分别为和，
由图可得为钝角三角形，
在中，
，所以为钝角，
综上，为钝角三角形，
故选：B
8．若，，平面内一点，满足，的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由，可得
因为，所以，即是角平分线
所以由角平分线的性质可得
设，则，由可得
因为
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为
所以的最大值是
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．复数满足，且，则下列正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由题意，设复数，（不同时为0），
因为，所以，即，
所以，所以，
所以，故选项A错误；，故选项B正确；
，故选项C正确；
，故选项D正确
故选：BCD.
10． ，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，，共面D. ，，共点，，共面
【答案】ACD
【解析】由，，则、平行、异面都有可能，故A错误；
由，得，故B正确；
当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误；
当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误；
故选：ACD.
11．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则点M是边的中点
B. 若，，，则有两种形状
C. 若，则是等腰或直角三角形
D. 若为的内心，则
【答案】CD
【解析】对于A选项，由得，即，点是边的中点，故错误；
对于B选项，由正弦定理得，由于，故或，所以或，故均为钝角三角形，故错误；
对于C选项，由正弦定理边角互化得，故，由于，故或，即或，所以是等腰或直角三角形，故正确；
对于D选项，如图，以为坐标原点，角的角平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，其中，，，则，由于不共线，则存在使得，
即，故，
所以，
另一方面，由于，，，其中为内切圆的半径，
，，，
所以，
所以，故，
所以，D选项正确.
故选：CD
12．在中，为边上的中线，，以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，∵为边上的中线，
∴，故A正确；
对于B，∵，，又，
∴，
∴，故B错误；
对于C，若，，
由，可得
∴，
∴，，
∴，故C正确；
对于D，在中，设角所对边为为，
因为，
由上知，，
所以，
∴，即，
∴
，
又，
∴，，
∴，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则________．
【答案】
【解析】由可得，即,
可得，则，
故答案为：
14.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则该圆台全面积为________.
【答案】
【解析】设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径为.
由，解得.
则该圆台全面积为.
故答案为：
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，若BC边上的中线长，则的面积为________．
【答案】
【解析】∵，
∴由正弦定理得，
∵，∴，
∵，∴，∴，．
设，则DC=DB=x，
在中，由余弦定理得，解得，
∴，
∴．
故答案为：．
16．已知是等边三角形，点在的延长线上，且，，则______；______．
【答案】 ①. ②.
【解析】如图，取中点，连接，
因为是等边三角形，点在的延长线上，且，
所以，，，，
所以，在中，，即，解得.
所以
.
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与的夹角为，且，.
（1）若与共线，求；
（2）求，.
【答案】（1） （2），
【解析】（1）若与共线，则存在，使得，
即，又因向量与不共线，
所以，解得，所以；
（2），
.
18．已知复数
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及的最小值
【答案】（1）1；（2），.
【解析】（1）为纯虚数，
且
（2）在复平面内的对应点为
由题意：，．
即实数的取值范围是．
而，
当时，．
19．已知四棱锥A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2BE=2，CD面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求四棱锥A—BCDE的体积，
【答案】（1）证明见解析； （2）．
【解析】（1）取中点，连接，又是中点，则，，又，
所以，所以是平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，由于是等边三角形，则，
因为CD面ABC，面ABC，所以，
因为，平面，所以平面，
由已知，
由CD面ABC，面ABC，所以，是直角梯形，
，
所以．
20． 的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，
故0°由（1）知A+C=180°B＝120°，
所以30°所以，从而．
因此，△ABC面积的取值范围是．
21．长沙市雅礼中学为“雅礼杯”足球赛制作了冠军奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，，，若按此方案设计：
（1）当时，在中，G为AB边上任意一点，求的最大值；
（2）制作商发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，求此时的大小.
【答案】（1）最大值为100 （2）
【解析】（1）根据题意，如图建立直角坐标系，
则，，，
设，
∵，
，，
所以，
∴当，即与重合时取得最大值为.
（2）作交于，交于，且，设，
则，，
设，作交于，交于，
因为，所以，，，
所以，所以，
即，，
所以
.
因为，所以当，即时最大，
也就是最长时.
22．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北60°方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口A，，在A的东偏北的方向（A，两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A，之间相距较远，计划在A，之间设置一个服务区.
（1）若在的正北方向且，求A，到市中心的距离和最小时的值；
（2）若到市中心的距离为，此时设在的平分线与的交点位置，且满足，则求A到市中心的距离最大时的值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意可知，
若在的正北方向，则，
在中，，
在中，，
由正弦定理可得，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
所以A，到市中心的距离和最小时；
（2）因为，
所以，
即，
即，
因为平分，
所以，
则，
所以，
因为，
所以，
即，
所以，
因为，
所以当时，有最大值20，
此时在中，，
即，
所以，
所以，
所以当A到市中心的距离最大时.