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2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷05（人教A版2019必修第二册）
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这是一份2022-2023学年高一数学下学期期中考试全真模拟试卷05（人教A版2019必修第二册），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. iD. 1
2．在中，，，则（ ）
A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 120°
3．已知在中，点M为上的点，且，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中π的近似取值为（ ）
A. B. C. D. 3
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 6πB. 12πC. D. 24π
6．在中，角A，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. AF与CN平行B. BM与AN是异面直线
C. AF与BM是异面直线D. BN与DE是异面直线
10．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，，则三角形有两解
C. 若，则一定为等腰直角三角形
D. 若面积为则
11．在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 是与平行的一个单位向量B. 是与垂直的一个单位向量
C. A到OB的距离为D. 在上的投影向量为
12．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为90°､半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为___________.
15. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______．
16．在中，角的对边分别为，若，，则___________，的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18．已知复数z满足方程，且复数z对应的点A在复平面的实轴上方．
（1）求z；
（2）设，在复平面上的对应点分别为B，C，求的值．
19．的内角，，的对边分别是，，，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___，求的面积．从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
20．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
21．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
（1）求；
（2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
22．在平面四边形中，为等边三角形，设.
（1）求四边形面积的最大值，以及相应的值；
（2）求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
期中考试全真模拟试卷05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. iD. 1
【答案】D
【解析】由题意，
故，的虚部是1
故选：D
2．在中，，，则（ ）
A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 120°
【答案】C
【解析】∵，，，
∴根据正弦定理，得：
，
又，得到，即，
则或．
故选：C
3．已知在中，点M为上的点，且，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
又，所以，
所以．
故选：B．
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中π的近似取值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长，所以，
所以.
令，得.
故选：A.
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 6πB. 12πC. D. 24π
【答案】D
【解析】设正四棱柱的外接球半径为
因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，
所以，得，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为，
故选：D
6．在中，角A，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】】由于，，
根据正弦定理得： ，
令 , ,
由于 ，满足条件的三角形有且只有两个，A为锐角，故,
故选：A
7．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. AF与CN平行B. BM与AN是异面直线
C. AF与BM是异面直线D. BN与DE是异面直线
【答案】CD
【解析】把正方体的平面展开图还原原正方体如图，
由正方体的结构特征可知，与异面垂直，故A错误；
BM与AN平行，故B错误；
平面，平面，平面，，
由异面直线定义可得，与是异面直线，故C正确；
平面，平面，平面，，
由异面直线定义可得，BN与DE是异面直线，故D正确．
故选：CD．
10．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，，则三角形有两解
C. 若，则一定为等腰直角三角形
D. 若面积为则
【答案】AD
【解析】A. 由正弦定理得，因为，所以，则，故正确；
B.因为，，由正弦定理得，则，因为，所以，则，所以三角形有一解，故错误；
C. 因为，所以，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
D. 因为面积为所以，即，因为，所以故正确，
故选：AD
11．在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 是与平行的一个单位向量B. 是与垂直的一个单位向量
C. A到OB的距离为D. 在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】对于A，，且，所以是与平行的一个单位向量，故A正确，
对于B，记，且，所以与不垂直，故B错误，
对于C，因为，，所以，所以，所以A到OB的距离为，故C正确，
对于D，因为，所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
12．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为，所以，
当时（如图1），，
故平面截正方体所得的截面为四边形，
当时（如图2），
过点作的平行线交于，
此时平面截正方体所得的截面为四边形，
当时，
过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，
此时平面截正方体所得的截面为五边形，
综上所述，平面截正方体所得的截面为五边形时，的范围为.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______
【答案】1
【解析】
故答案：1
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为90°､半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为___________.
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，
又侧面展开图是圆心角为，半径为4的扇形，
，，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
三棱锥的体积也为．
故答案为：．
15. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由，
得，
因为，在线段上
，
设，
则．
故答案为：
16．在中，角的对边分别为，若，，则___________，的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】，以及正弦定理边角互化可知
所以，即，
，即，
因为，所以；
根据余弦定理可知，
即，得，且
所以
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，则，即
，解得：．
（2），则存在实数使得，即，整理得：，又与不共线，则，解得：.
18．已知复数z满足方程，且复数z对应的点A在复平面的实轴上方．
（1）求z；
（2）设，在复平面上的对应点分别为B，C，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，
设（a，R，）．
又复数z满足，故，
即，
根据复数相等的定义，
由，解得，所以；
（2）由(1)知，，，，
则点，，，
则，，
因此．
又因为，
所以．
19．的内角，，的对边分别是，，，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___，求的面积．从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）中，由正弦定理及，
知，所以，
由余弦定理知，所以，所以，又，所以；
（2）选①
为的平分线，，所以，
因为，所以，即，
由余弦定理得，，所以，
解得或（舍，所以的面积；
选②
因为为的中点，，则，因为，
所以，
由余弦定理可得，即，
整理得，
由余弦定理得，，所以，
所以的面积．
20．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）沿侧棱将正三棱锥的侧面展开，如图，则即为质点移动路程的最小值，
依题意，，且，
由余弦定理得，
所以，
所以质点移动路程的最小值为.
（2）正三棱锥的所有棱长均为2，则为正四面体，设其高为，正内切圆的半径为，
由，解得，
正四面体的斜高为，，依题意，圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
21．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
（1）求；
（2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，
又，所以，所以，
由得，
所以
.
所以；
（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则
，，，，，，
又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，
所以，
所以当时，取得最大值：，
当或时，取得最小值：，
所以的取值范围为.
22．在平面四边形中，为等边三角形，设.
（1）求四边形面积的最大值，以及相应的值；
（2）求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
【答案】（1）；； （2）；
【解析】（1）由题意，为等边三角形，∴，
在中，，
∴，，
∴四边形面积为
，
因为，∴，即时，
四边形面积最大，此时
（2）设，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
∴，，
当，即时，，
即的最大值为.
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. iD. 1
2．在中，，，则（ ）
A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 120°
3．已知在中，点M为上的点，且，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中π的近似取值为（ ）
A. B. C. D. 3
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 6πB. 12πC. D. 24π
6．在中，角A，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. AF与CN平行B. BM与AN是异面直线
C. AF与BM是异面直线D. BN与DE是异面直线
10．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，，则三角形有两解
C. 若，则一定为等腰直角三角形
D. 若面积为则
11．在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 是与平行的一个单位向量B. 是与垂直的一个单位向量
C. A到OB的距离为D. 在上的投影向量为
12．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为90°､半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为___________.
15. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______．
16．在中，角的对边分别为，若，，则___________，的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18．已知复数z满足方程，且复数z对应的点A在复平面的实轴上方．
（1）求z；
（2）设，在复平面上的对应点分别为B，C，求的值．
19．的内角，，的对边分别是，，，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___，求的面积．从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
20．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
21．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
（1）求；
（2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
22．在平面四边形中，为等边三角形，设.
（1）求四边形面积的最大值，以及相应的值；
（2）求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
期中考试全真模拟试卷05
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A. B. C. iD. 1
【答案】D
【解析】由题意，
故，的虚部是1
故选：D
2．在中，，，则（ ）
A. 30°B. 60°C. 60°或120°D. 120°
【答案】C
【解析】∵，，，
∴根据正弦定理，得：
，
又，得到，即，
则或．
故选：C
3．已知在中，点M为上的点，且，若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
又，所以，
所以．
故选：B．
4．《算数书》竹简于上世纪八十年代出土在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当与给出了由圆锥底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式，实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3.那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中π的近似取值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长，所以，
所以.
令，得.
故选：A.
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. 6πB. 12πC. D. 24π
【答案】D
【解析】设正四棱柱的外接球半径为
因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，
所以，得，
所以该正四棱柱的外接球的表面积为，
故选：D
6．在中，角A，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】】由于，，
根据正弦定理得： ，
令 , ,
由于 ，满足条件的三角形有且只有两个，A为锐角，故,
故选：A
7．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）
则，可得，，
所以，即，故，，
所以，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
8．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（ ）
A. AF与CN平行B. BM与AN是异面直线
C. AF与BM是异面直线D. BN与DE是异面直线
【答案】CD
【解析】把正方体的平面展开图还原原正方体如图，
由正方体的结构特征可知，与异面垂直，故A错误；
BM与AN平行，故B错误；
平面，平面，平面，，
由异面直线定义可得，与是异面直线，故C正确；
平面，平面，平面，，
由异面直线定义可得，BN与DE是异面直线，故D正确．
故选：CD．
10．已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B 若，，则三角形有两解
C. 若，则一定为等腰直角三角形
D. 若面积为则
【答案】AD
【解析】A. 由正弦定理得，因为，所以，则，故正确；
B.因为，，由正弦定理得，则，因为，所以，则，所以三角形有一解，故错误；
C. 因为，所以，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误；
D. 因为面积为所以，即，因为，所以故正确，
故选：AD
11．在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A. 是与平行的一个单位向量B. 是与垂直的一个单位向量
C. A到OB的距离为D. 在上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】对于A，，且，所以是与平行的一个单位向量，故A正确，
对于B，记，且，所以与不垂直，故B错误，
对于C，因为，，所以，所以，所以A到OB的距离为，故C正确，
对于D，因为，所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD.
12．已知正方体的边长为2，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则长的取值可能为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为，所以，
当时（如图1），，
故平面截正方体所得的截面为四边形，
当时（如图2），
过点作的平行线交于，
此时平面截正方体所得的截面为四边形，
当时，
过点作的平行线交的延长线于，交于点，连接交于点，
此时平面截正方体所得的截面为五边形，
综上所述，平面截正方体所得的截面为五边形时，的范围为.
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知i为虚数单位，若，则______
【答案】1
【解析】
故答案：1
14.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的三棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若圆锥的侧面展开图是圆心角为90°､半径为4的扇形，由此推算三棱锥的体积为___________.
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，
又侧面展开图是圆心角为，半径为4的扇形，
，，
，
圆锥的高为，
圆锥的体积为，
三棱锥的体积也为．
故答案为：．
15. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由，
得，
因为，在线段上
，
设，
则．
故答案为：
16．在中，角的对边分别为，若，，则___________，的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】，以及正弦定理边角互化可知
所以，即，
，即，
因为，所以；
根据余弦定理可知，
即，得，且
所以
故答案为：；
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由，则，即
，解得：．
（2），则存在实数使得，即，整理得：，又与不共线，则，解得：.
18．已知复数z满足方程，且复数z对应的点A在复平面的实轴上方．
（1）求z；
（2）设，在复平面上的对应点分别为B，C，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，
设（a，R，）．
又复数z满足，故，
即，
根据复数相等的定义，
由，解得，所以；
（2）由(1)知，，，，
则点，，，
则，，
因此．
又因为，
所以．
19．的内角，，的对边分别是，，，且，
（1）求角的大小；
（2）若，为边上一点，，且___，求的面积．从①为的平分线，②为的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答．
【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析
【解析】（1）中，由正弦定理及，
知，所以，
由余弦定理知，所以，所以，又，所以；
（2）选①
为的平分线，，所以，
因为，所以，即，
由余弦定理得，，所以，
解得或（舍，所以的面积；
选②
因为为的中点，，则，因为，
所以，
由余弦定理可得，即，
整理得，
由余弦定理得，，所以，
所以的面积．
20．已知正三棱锥，顶点为P，底面是三角形．
（1）若该三棱锥的侧棱长为2，且两两成角为，设质点自A出发依次沿着三个侧面的表面移动，环绕一周直至回到出发点A，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为2，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）沿侧棱将正三棱锥的侧面展开，如图，则即为质点移动路程的最小值，
依题意，，且，
由余弦定理得，
所以，
所以质点移动路程的最小值为.
（2）正三棱锥的所有棱长均为2，则为正四面体，设其高为，正内切圆的半径为，
由，解得，
正四面体的斜高为，，依题意，圆锥的高为，
所以圆锥的体积为.
21．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.
（1）求；
（2）若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
，
又，所以，所以，
由得，
所以
.
所以；
（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则
，，，，，，
又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，
所以，
所以当时，取得最大值：，
当或时，取得最小值：，
所以的取值范围为.
22．在平面四边形中，为等边三角形，设.
（1）求四边形面积的最大值，以及相应的值；
（2）求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
【答案】（1）；； （2）；
【解析】（1）由题意，为等边三角形，∴，
在中，，
∴，，
∴四边形面积为
，
因为，∴，即时，
四边形面积最大，此时
（2）设，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
∴，，
当，即时，，
即的最大值为.
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