期中测试卷02-2023-2024学年高一数学（人教A版2019必修第二册）

这是一份期中测试卷02-2023-2024学年高一数学（人教A版2019必修第二册），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B．是圆台
C． 是棱锥D． 不是棱柱
2．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
4．已知，是不共线的向量，且，，，则（ ）
A．B，C，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．A，B，D三点共线
5．如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ）
A．B．C．24D．48
6．在复平面内，点分别对应复数，则（ ）
A．B．1C．D．i
7．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（ ）
A．B．C．D．1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得3分，多选、错选不得分）
9．已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A．B．在复平面上对应点在第二象限
C．D．的虚部为
10．在中，，，，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．与的夹角的余弦值为
C．D．的面积为
11．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的面积为，则c的最小值为2
C．若，，则的面积为
D．若，，则满足条件的有且仅有一个
12．如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（ ）

A．平面B．四面体的体积为
C．点到面的距离为D．四面体的外接球的表面积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 .
14．若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 .
15．在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为 .
16．锐角的内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，第17-18题每小题10分，第19-21题每小题12分，第22题14分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．试分别解答下列两个小题：
(1)已知，设与的夹角为，求；
(2)已知，若与共线，且，求的坐标．
18．已知，（为虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
19．已知中，D是AC边的中点．，，．
(1)求AC的长；
(2)的平分线交BC于点E，求AE的长．
20．如图，在四面体，分别是的中点．

(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？请说明理由；
(3)若，求证：平面平面．
21．已知向量，，函数．
(1)若，求的值；
(2)已知为的内角的对边，，，且恰好是函数在上的最大值，求的面积．
22．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，．
(1)若，求；
(2)若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为．
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域．
2023-2024学年高一数学下学期期中测试卷02（测试范围：第6-8章）
一、单选题
1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
A． 是棱台B．是圆台
C． 是棱锥D． 不是棱柱
【答案】C
【分析】利用空间几何体的结构特征判断.
【解析】A.不是由棱锥截来的，故不是棱台，故错误；
B.不是圆锥截来的，故不是圆台，故错误；
C.符合棱锥的结构特征，故正确；
D.符合棱柱的结构特征，故错误.
故选：C
2．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由列方程求得的值，结合必要不充分条件的定义即可得解.
【解析】由题意，则，而或，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.
【解析】因为，
所以，
所以.
因为，所以.
又因为，所以，为直角三角形.
故选：B
4．已知，是不共线的向量，且，，，则（ ）
A．B，C，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．A，C，D三点共线D．A，B，D三点共线
【答案】C
【分析】利用平面向量共线定理求解.
【解析】因为，
所以，，，
若B，C，D三点共线，则，即，无解，故A错误；
若A，B，C三点共线，则，即，无解，故B错误；
若A，C，D三点共线，则，即，解得，故C正确；
若A，B，D三点共线，则，即，无解，故D错误.
故选：C.
5．如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ）
A．B．C．24D．48
【答案】D
【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，求解面积即可.
【解析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，
其面积为.
故选：D.
6．在复平面内，点分别对应复数，则（ ）
A．B．1C．D．i
【答案】D
【分析】根据复数几何意义，求得，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.
【解析】由点和分别对应复数，
可得，，
所以.
故选：D.
7．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度.
【解析】在图2中，水中部分是四棱柱，
四棱柱底面积为，高为2，
∴四棱柱的体积为，
设图1中容器内水面高度为h，
则V，解得h.
∴图1中容器内水面的高度是.
故选：D.
8．如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若，则m=（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，即可求的值.
【解析】对于式子，两边同乘，
可得，
即，
由正弦定理化简可得，
由，两边同时除以得，
∴
，
故选：C．
二、多选题
9．已知复数（是虚数单位），则下列命题中正确的是（ ）
A．B．在复平面上对应点在第二象限
C．D．的虚部为
【答案】ACD
【分析】
利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项.
【解析】因为.
对于A选项，，A对；
对于B选项，在复平面上对应点的坐标为，位于第四象限，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，的虚部为，D对.
故选：ACD.
10．在中，，，，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．与的夹角的余弦值为
C．D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据向量线性运算直接判断即可知A正确；以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算可求得B错误；由向量数量积坐标运算可求得C正确；由可知D错误.
【解析】对于A，为中点，，A正确；
对于B，以为坐标原点，正方向为轴可建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，
，
即与夹角的余弦值为，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
11．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若的面积为，则c的最小值为2
C．若，，则的面积为
D．若，，则满足条件的有且仅有一个
【答案】BC
【分析】由正、余弦定理及已知得，再根据选项综合应用正、余弦定理和三角形面积公式求解．
【解析】∵，
∴由正弦定理可得，即，
对于A选项，由余弦定理可得，
∵，∴，故A错误；
对于B选项，由题可知，∴，
由余弦定理可得，
∴，当且仅当时等号成立，故c的最小值为2，故B正确；
对于C选项，由题可知，由正弦定理得，∴
∴的面积为，故C正确；
对于D选项，由余弦定理可得，即，，
解得或，故D错误．
故选：BC．
12．如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（ ）

A．平面B．四面体的体积为
C．点到面的距离为D．四面体的外接球的表面积为
【答案】ACD
【分析】由已知结合线面垂直的判定定理判断A；计算棱锥的体积公式判断B；由等体积法求出G点到面SEF的距离判断C；根据SG，EG，FG两两垂直计算外接球的半径，进一步求出外接球的表面积判断D．
【解析】对于A，由已知可得SG⊥FG，SG⊥EG，EG∩FG＝G，平面EFG，
则SG⊥平面EFG，故A正确；

对于B，由已知可得EG⊥FG，EG＝FG＝，
则＝，
又SG⊥平面GEF，SG＝1，∴＝，故B错误；
对于C，∵EF＝，SD＝，
∴，设G到平面SEF的距离为d，
则，可得d＝，即G点到面SEF的距离为，故C正确；
对于D，∵SG，EG，FG两两垂直，且EG＝FG＝，SG＝1，
∴三棱锥的外接球可看作棱长分别为，，1的长方体的外接球，
故外接球的直径，∴r＝，
∴外接球的表面积为：＝，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则 .
【答案】
【分析】把代入方程并化简，利用复数相等的概念得到的值，即得的值．
【解析】把代入方程得，
所以，
所以，
所以，解得，
所以．
故答案为：．
14．若圆锥的侧面展开图是半径为5，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为 .
【答案】4
【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长与圆锥的底面周长相等，求得圆锥底面的半径，进而得圆锥的高.
【解析】由题意，圆锥侧面展开图的半径为，所以圆锥的母线长为，
设圆锥的底面半径为，则 ，解得，
可得圆锥的高为.
故答案为：4.
15．在中，是的中点，，点为线段上的一点，则的最大值为 .
【答案】
【分析】依题意可得，设，，则，根据数量积的运算律及二次函数的性质计算可得.
【解析】因为是的中点，点为上的一点，所以，
又，设，，则，
所以，
当时，此时，
当时，此时，
当时，与共线同向，
所以，
当且仅当时取等号，
综上可得的最大值为.
故答案为：

16．锐角的内角所对的边分别为，若，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理可得，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数值域求法可求得范围，由此可求得结果.
【解析】，，即，
由正弦定理得：，，，
，
为锐角三角形，，解得：，
，，，
.
故答案为：.
四、解答题
17．试分别解答下列两个小题：
(1)已知，设与的夹角为，求；
(2)已知，若与共线，且，求的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由，利用向量的运算律求得，再利用二倍角公式求解；
（2）设，求得，再由与共线，结合求解.
【解析】（1）解：，
∴，
，
，
，
从而；
（2）设，
，
，
解得：，
从而，
与共线，
设，则，
，
或.
18．已知，（为虚数单位）.
(1)若是纯虚数，求实数的值；
(2)若在复平面上对应的点在第二象限，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据复数的乘法，结合纯虚数的定义，可得答案；
（2）根据复数模长公式，整理不等式，根据复数的几何意义，建立不等式组，可得答案.
【解析】（1）
根据题意是纯虚数，故，解得：；
（2）由，得：，即，从而，
由于在复平面上对应的点在第二象限，
故，解得：，
综上，实数的取值范围为.
19．已知中，D是AC边的中点．，，．
(1)求AC的长；
(2)的平分线交BC于点E，求AE的长．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据，利用余弦定理建立方程求解即可；
（2）由余弦定理求出A，根据三角形面积公式由建立方程求解.
【解析】（1）设，
由余弦定理可得
又
，
，
即.
（2）由（1）知，
因为，
所以，
由可得，
，
即
解得.
20．如图，在四面体，分别是的中点．

(1)求证：；
(2)在上能否找到一点，使平面？请说明理由；
(3)若，求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)能找到一点，使平面，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）取的中点，证明，，利用线面垂直判定定理证明结论；
（2）猜测为的中点，证明，并结合线面平行判定定理证明结论；
（3）先证明， ，结合线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明结论.
【解析】（1）取的中点，连接
在中，，同理
而平面
又平面；

（2）在上能找到一点，使平面，此时为的中点，
证明如下：
连接

是的中点，
平面平面，平面，
的中点即为所求．
（3）
是公共边，
，从而
由（1）可知：
，即，
，平面，
∴ 平面，
面，
∴ 平面平面．
21．已知向量，，函数．
(1)若，求的值；
(2)已知为的内角的对边，，，且恰好是函数在上的最大值，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据向量平行坐标表示可求得；方法一：利用和可分别求得和，代入所求式子即可；方法二：根据，由正余弦齐次式的求法可求得结果；
（2）根据向量数量积运算坐标表示和三角恒等变换知识可化简得到，根据正弦型函数最值求法，结合的范围可求得，利用余弦定理可构造方程求得的值，代入三角形面积公式即可.
【解析】（1），，则；
方法一：，，
.
方法二：.
（2）；
当时，，当，即时，，
，，则，，，即；
由余弦定理得：，即，
解得：或，
当时，；
当时，；
的面积为或.
22．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，．
(1)若，求；
(2)若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为．
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域．
【答案】(1)；
(2)（i）3；（ii）．
【分析】（1）连接AG并延长，交BC于点F，设，则，由B，F，C三点共线可求得，则有，又，可求，，即可得出结果.
（2）（i）由题意得，，又D，G，E三点共线，所以，即可得解；（ii）设△ABC的边长为1，则，，在△ADE中，由余弦定理得，所以，结合化简，因为，所以，结合的范围及二次函数的性质求解即可得出的值域.
【解析】（1）连接AG并延长，交BC于点F，
设，则，
又B，F，C三点共线，所以，，
故，即，
则有，所以，
又，所以，所以.
（2）（i）连接AG并延长，交BC于点F，
因为G为重心，所以F为BC中点，所以，
所以
又D，G，E三点共线，所以，则．
（ii）设△ABC的边长为1，则，，（）
在△ADE中，，
所以，所以，
因为，，
所以，
因为，所以，
因为，，所以，，又，则有，
因为，所以，
因为，，所以的最小值为，最大值为，
所以，单调递增，则，
所以，即的值域为．