2023-2024学年高一下数学新高考期中模拟卷（三）（人教A版2019必修第二册)

这是一份2023-2024学年高一下数学新高考期中模拟卷（三）（人教A版2019必修第二册)，共17页。试卷主要包含了测试范围，已知a，b均为实数，复数，已知向量满足等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．测试范围：人教版2019必修第二册第六章、第七章
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，，，则角B的值为（ ）
A．B．C．D．
2．下面给出的关系式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知复数，则“”是“的实部小于0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知为所在平面上一点，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．在中，分别是角的对边，若，则的值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
6．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A．B．
C．D．
8．已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
9．已知，，是方程的三个互不相等的复数根，则（ ）
A．可能为纯虚数
B．，，的虚部之积为
C．
D．，，的实部之和为2
10．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若，则
D．若，则
11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，，且有两解，则b的取值范围是
D．若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知向量，，若，则正数的值为 .
13．设集合，，则 ．
14．四边形ABCD中，，，，设△ABD与△BCD的面积分别为，，则的最大值为 .
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求a，c的值；
(2)求的值．
16．（15分）设虚数z满足.
(1)计算的值；
(2)是否存在实数a，使？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
17．（15分）如图，在中，D是BC中点，E在边AB上，且，AD与CE交于点O．
(1)用，表示；
(2)过点O作直线交线段AB于点G，交线段AC于点H，且，，求t的值；
(3)若，求的值．
18．（17分）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面积为；
①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；
②求内角A的角平分线AD长的最大值．
19．（17分）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，，称为维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：.
参考答案：
1．A
【分析】根据正弦定理即可求解.
【详解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故选：A
2．AD
【分析】
由向量数量积的概念、性质及运算律即可得出答案.
【详解】对：由可得，而，故A说法正确；
对B：取，则成立，但不一定成立，故B说法错误；
对C：表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以不一定成立，故C说法错误；
对D：因为，故，故D说法正确.
故选：AD.
3．B
【分析】考查的实部小于0的充要条件，结合集合关系进行判断.
【详解】因为
若其实部小于0，则，即，
显然是的必要不充分条件，
则“”是“的实部小于0”的必要不充分条件，
故选：B.
4．B
【分析】
利用三角形五心的向量表示可判断得为等边三角形，从而利用数量积的定义运算即可得解.
【详解】
因为，所以为的外心，
又因为，所以为的重心，
所以为等边三角形，又，
则.
故选：B.
5．C
【分析】
利用正弦定理和余弦定理结合三角变换公式可求三角函数式的值.
【详解】由正弦定理可得，由余弦定理可得，
故
，
故选：C.
6．A
【分析】
由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.
【详解】
由题，所以为实数，即，
则有，解得，即a的取值范围为.
故选：A
7．B
【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.
【详解】在中，则,
因为，
且，
则，
在中，则.
故选：B.
8．D
【分析】
根据已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，结合图象可得，从而可得，接下来方法一，直接对进行平方化简，由二次函数最值可解；方法二，由三点共线基本定理，结合三角形面积公式和余弦定理可解.
【详解】
和相互垂直，
则，则，
结合图象，，
则 ，
因为恒成立，则，
即，则，
法（一）：
对称轴时：
，即
法（二）：，因为，
所以向量的终点共线（起点重合），
则的面积，
，所以.
故选:．

【点睛】
关键点点睛：数形结合发现，，则 ，因为恒成立，则.
9．ABD
【分析】
根据复数的基本概念，复数的模等知识容易求解.
【详解】因为，其三个不同的复数根为：，，
当时，此时为纯虚数，故A正确；
因为三个根的虚部分别为1，，，三个虚部乘积为，故B正确；
根据模长定义，，故C不正确；
因为三个根的实部分别为0，1，1，三个实部之和为2，故D正确.
故选：ABD.
10．AB
【分析】
由题意可得，根据可判断A；根据在方向上的投影向量为可判断B；根据可判断C；根据数量积的运算律可判断D.
【详解】
因为，都是单位向量，所以，
所以，即，故A正确；
在方向上的投影向量为，故B正确；
若，则，即，即，
因为，所以，故C错误；
若，则，
所以，即，故D错误.
故选：AB
11．BCD
【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】选项A，因为，即，
所以有
整理可得，所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确.
选项C，如图，若有两解，则，
所以，则b的取值范围是，故C正确．
选项D，的平分线交于点D，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，
即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：BCD.
12．1
【分析】
根据向量垂直的坐标形式可得的方程，故可得正数的值.
【详解】
由题意得，，，
，解得（舍去）或.
故答案为：.
13．
【分析】
解出集合，按照集合的交运算进行运算即可.
【详解】∵，
∴．
∵，∴，
∴，∴．
∴．
故答案为：.
14．/
【分析】根据正弦定理得，再结合余弦定理及基本不等式得，得，设，由，可求得，从而可求解.
【详解】
因为，由正弦定理得，
所以，即，因为，所以，，，
所以，，
由余弦定理得，所以，当时取等号，
所以，
设，则，在中由余弦定理得
，
所以，
当时，取得最大值，
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
15．(1)
(2)
【分析】
（1）根据正弦定理即可求解，
（2）由余弦定理结合同角关系即可求解.
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
又，．
（2）由余弦定理可得．
．
16．(1)
(2)存在，
【分析】
（1）首先设复数的标准形式，再根据复数模的运算公式，化解求解；
（2）根据复数的除法运算公式，化简，即可判断.
【详解】（1）设且，则，
因为，
所以，
所以，
所以，所以，
所以；
（2）存在满足题意.
设且，假设存在实数a使，
则有，
所以，因为，所以，
得
所以存在实数，满足.
17．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）由E，O，C三点共线，得，又，从两个角度用，表示，从而得的值得解；
（2）因为H，O，G三点共线，所以，转化为用，表示，可得的值；
（3）用，表示，从而进行数量积运算.
【详解】（1）因为A，O，D三点共线，所以，，且E，O，C三点共线，
所以存在实数，使，其中D是BC中点，且，
所以
即
解得，，
所以．
（2）因为H，O，G三点共线，所以存在实数，使，
其中，，所以，
根据平面向量基本定理可得：即，
所以．
（3）
，
整理可得：，所以．
18．(1)
(2)长的最小值为，的最大值
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；
（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.
【详解】（1）
由正弦定理，得，即，
故，
因为，所以，
所以；
（2）
①由（1）知，
因为的面积为，所以，解得，
由于，所以
，
当且仅当时，等号取得到，所以；
②因为为角的角平分线，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，当且仅当时，等号取得到，
故，故，
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；
（2）根据题意，不妨设，得到有7个分量为，设的前7个分量中有个，得到7个分量中有个，进而求得的值，即可求解；
（3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）根据题意，结合维向量的定义，
则两两垂直的4维信号向量可以为：.
（2）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有7个分量为，
设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量.
（3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，
则，设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
令所以，所以.
【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给线性相关的定义进行运算判断.