（人教A版2019必修第二册)高一数学分层训练AB卷 高一下册数学期中模拟卷（必修二前三章）（原卷版+解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，满足，，则（ ）．
A．B．C．D．
3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
5．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为100π，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
9．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行
10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数 C．的模长等于 D．的共轭复数为
11．下列说法正确的有（ ）
A．已知，若与共线，则
B．若，，则
C．若，为锐角，则实数的范围是
D．若，则一定不与共线
12．如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（ ）
A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向
B．当天10:00时，该船距离观测点Ckm
C．当船行驶至B处时，该船距观测点Ckm
D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
14．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
15．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_______．
16．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知复数为纯虚数，且为实数.
(1)求复数；
(2)设，，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．
条件①：；条件②：．
19．在棱长为1的正方体中，，分别为棱和的中点．
(1)求异面直线与所成的余弦值；
(2)求三棱锥的体积．
20．已知点G在内部，且，
(1)求证：G为的重心；
(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.
21．已知，设函数．
(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；
(2)设的内角的对应边分别是且，，求的值．
22．图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积.
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高一下册数学期中模拟卷
（人教A版（2019）必修第二册前三章）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算求出，据此可得解.
【详解】由，可得，
故复数对应的点位于第四象限，
故选：D
2．已知向量，满足，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出，，再利用夹角公式求解即可.
【详解】由，，两式相加，得，
所以，，所以，
所以.
故选：A．
3．记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】运用正弦定理求解.
【详解】根据正弦定理有，得；
故选：D.
4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【分析】根据条件思考题中平面和直线所可能的各种情况，运用有关的定理逐项分析.
【详解】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；
当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；
当，，时，必有，从而，故选项C正确；
在如图所示的正方体中，
取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项D错误；
故选：C.
5．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合棱台的体积计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】
画出满足题意的正四棱台，如图所示，则．过点D作于点E，则，所以该正四棱台的体积为．
故选：C
6．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.
【详解】因为是单位向量，且的夹角为，
所以，
又，
所以，
又，所以，所以.
故选：C.
7．在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为100π，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出外接圆，三棱锥的外接球的半径，再由平面时，三棱锥体积取最大值，从而由公式得出体积.
【详解】设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的半径为.
因为三棱锥的外接球的表面积为100π，所以，
三角形ABC的外接圆半径为，
三棱锥体积取最大值时，平面，
此时，最大值为：.
故选：B
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】中，由正弦定理可得，利用余弦定理可得：．再利用余弦定理及其基本不等式的性质可得的最小值，可得的最大值，即可得出三角形面积的最大值．
【详解】由正弦定理得：
由余弦定理得：，即

当且仅当时，即，，时取等号，
,
则，所以面积的最大值.
故选：B
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
9．如图，用正方体ABCD一A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
【答案】ABC
【分析】根据线线垂直、线线平行等知识确定正确答案.
【详解】由于是的中点，所以三点共线，则是的中点，
由于是的中点，所以，C选项正确.
根据正方体的性质可知平面，
由于平面，所以，所以，A选项正确.
由于，所以，B选项正确.
由于，与相交，所以与不平行，D选项错误.
故选：ABC
10．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列选项中不正确的是（ ）
A．对应的点位于第二象限B．为纯虚数
C．的模长等于D．的共轭复数为
【答案】D
【分析】根据欧拉公式结合复数在复平面内对应的点的特征、纯虚数的概念、复数的模长公式、以及共轭复数的概念逐项分析即可得出结论.
【详解】对于A：，对应的点位于第二象限，故A正确；
对于B：，为纯虚数，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，所以的共轭复数为，故D错误.
故选：D.
11．下列说法正确的有（ ）
A．已知，若与共线，则
B．若，，则
C．若，为锐角，则实数的范围是
D．若，则一定不与共线
【答案】AC
【分析】利用共线向量的坐标表示判断A；举例说明判断BD；利用向量数量积结合向量共线计算判断C作答.
【详解】对于A，，与共线，则，解得，A正确；
对于B，当时，满足，，而向量与可以不共线，B错误；
对于C，，为锐角，则，且与不共线，
即，且，解得，C正确；
对于D，若，，满足，而与共线，D错误.
故选：AC
12．如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（ ）
A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向
B．当天10:00时，该船距离观测点Ckm
C．当船行驶至B处时，该船距观测点Ckm
D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km
【答案】ABD
【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．
【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.
B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.
由正弦定理，得AC=，
故B正确.
C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，
则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.
D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcs∠ACB=2+8－22=6，
即AB=km，故D正确.
故选：ABD．
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】因为，，
所以向量在方向的投影向量为.
故答案为：
14．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果.
【详解】设，连接，
平面，平面，，，
四边形为正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案为：.
15．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】根据给定等式求出三角形的内角C，再利用正弦定理及三角恒等变换、三角函数性质求解作答.
【详解】因，显然，，
锐角中，，，则，
令，由得：，
由正弦定理得，，
因此，
而，则，即有，
所以的取值范围为.
故答案为：.
16．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）
【答案】
【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.
【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，
由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，
由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，
故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，
相应圆台的体积为，
所以，解得，
故答案为：
四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．已知复数为纯虚数，且为实数.
(1)求复数；
(2)设，，若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；
（2）求出，结合在复平面内对应点所在象限，求出范围，结合模的计算求得答案.
【详解】（1）设，且，
则.
又∵为实数，∴，即.
（2）由（1）得，
由题知且，解得.
又∵，∴.
∴，即的取值范围是.
18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边上的高h．
条件①：；条件②：．
【答案】(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；
（2）对于条件①可得，进而或，不符合题意；
条件②代入，即可求出，再利用面积公式即可求出结果.
【详解】（1）在中，，
由及正弦定理得，
由余弦定理得，
化简得，所以，
结合，得．
（2）若增加条件①：，．
因为，
由，得，或，
所以不能唯一确定，不合题意．
若增加条件②：．
将代入，
得，解得，或（舍去）．此时唯一确定．
由，得．
所以．
19．在棱长为1的正方体中，，分别为棱和的中点．
(1)求异面直线与所成的余弦值；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）连接，证明，确定异面直线所成的角或其补角，再借助余弦定理求解作答.
（2）求出三棱锥的高和底面积，利用锥体的体积公式计算作答.
【详解】（1）在正方体中，连接，如图，
因为，分别为棱和的中点，则，因此四边形是平行四边形，
则，即是异面直线与所成的角或其补角，
在中，，而正方体的体对角线，
由余弦定理得：，
所以异面直线与所成的余弦值为
（2）在正方体中，平面，而的面积，
所以三棱锥的体积.
20．已知点G在内部，且，
(1)求证：G为的重心；
(2)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别取BC的中点D，整理可得，即可得结果；
（2）根据已知得出，根据题意结合M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，可得x,y的关系，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设BC的中点为D，
则，即，
∴点G在的中线AD上，且满足，
故G为的重心.
（2）由点G为的重心，则，
∵三点共线，则，且，
由题意可得：，
则，消去可得，
∵点M，N分别在边AB，AC上，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
解得，
故的最小值为.
21．已知，设函数．
(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；
(2)设的内角的对应边分别是且，，求的值．
【答案】(1)时最大值0；时最小值；
(2)或．
【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得，由正弦型函数的性质求的最值；
（2）由已知及三角形内角性质得，法一：应用余弦定理列关于的方程求解即可；法二：应用正弦定理求得或，分别求出对应的值即可.
【详解】（1）由题知：，
，则，故，
∴当，即，得时取得最大值0，
当，即，得时取得最小值．
（2）由，即，又，则．
法一：由余弦定理A得：，解得：或．
法二：由正弦定理有，则或，
当时，，由勾股定理有；
当时，，则；
综上所解：或．
22．图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.
（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的四边形的面积.
【答案】(1)见详解；(2)4.
【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2) 欲求四边形的面积，需求出所对应的高，然后乘以即可．
【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.
，A，C，G，D四点共面.
又.
平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，
由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．
因此．
在中，DE=1，，故．
所以四边形ACGD的面积为4.
【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形的面积考查考生的空间想象能力.