2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题18 线段最值问题在几何综合中的应用（原卷版+解析版）

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【解题策略】
类型01 一线两定点形成的最短路径型
【典例分析】
例1．（2023·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为 ．

【变式演练】
1.（2023·福建模拟）在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是 ．
类型02 一定点与两直线上的动点形成的路径最短型
【典例分析】
例1．（2023·云南模拟）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 ．
类型03 “两定点＋两定直线”型
【典例分析】
例1．（2023·湖南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．
【方法剖析】
类型04 “两定点＋一定直线”型
【典例分析】
例1.（2023·辽宁模拟）如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是线段AC上的一点，M是线段AD上的一点，AE＝2，求EM＋MC的最小值．
题型02 垂线段最短问题
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2023·辽宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．3D．4
【变式演练】
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（ ）
A．2.5B．4C．5D．10
2.如图,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,点D是BC边的中点,点P是AC边上一个动点,连接PD,以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ,连接CQ.则CQ的最小值是( ）
A. 32 B.1 C. 2 D.32
题型03 旋转最值问题
【解题策略】
【典例分析】
例1．（2024·湖北模拟）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ．
【变式演练】
1．（2023·江苏模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．
1.（2023·山东）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．

2.（2023·江苏如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023山东如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
4.（2023·黑龙江）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

1、“将军饮马”模型
2、线段差最大值问题模型：
问题
作法
图形
原理
在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PQMN的周长最小
分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q′和P′，连接Q′P′，与两直线交点即为M，N
两点之间，线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P′Q′＋PQ的长。
问题
作法
图形
原理
在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小
连接AB，与直线l的交点即为点P
两点之间，线段最短，PA＋PB的最小值为AB
在直线l上求一点P，使PA＋PB的值最小
作B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为P(也可作点A关于直线l的对称点)
两点之间，线段最短，PA＋PB的最小值为AB′