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2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题12 二次函数与几何问题（三）（原卷版+解析版）
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这是一份2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题12 二次函数与几何问题（三）（原卷版+解析版），文件包含专题12二次函数与几何问题三原卷版docx、专题12二次函数与几何问题三解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
【解题策略】
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.而且“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴、直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”.找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究其原因，在于平行四边形两大性质:(1)对边平行且相等:(2)对角线互相平分. 但此两个性质统一成一个等式:xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量. 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题.
【典例分析】
例1．（2022·四川）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2024·浙江模拟）如图，抛物线y=−x2+2x+m(m>0)与y轴交于A点，其顶点为D．直线y=−12x−2m分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线AD相交于E点．
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将△ACE沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线y=−x2+2x+m(m>0)上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
2．（2023·河南模拟）如图，抛物线y=ax2+bx−16对称轴是直线x=1，且过点A−2,0．点B为抛物线与x轴另一交点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)矩形BCDE的边BC在x轴正半轴上，边CD在第四象限．BC=6，CD=4．将矩形BCDE沿x轴负半轴方向平移得到矩形B'C'D'E'，直线B'E'与直线C'D'分别交抛物线于点M、N．在平移过程中，是否存在以C'、E'、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移距离；若不存在，请说明理由．
题型02 二次函数中矩形存在性问题
【解题策略】
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式:xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD（xA−xC）2+（yA−yC）2=（xB−xD）2+（yB−yD）2 (AC 为对角线时).因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.
【典例分析】
例1．（2023·山西）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点为D1,4与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及点A、B、C的坐标；
(2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2023·河北模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A−3,0,B2,0．与y轴交于点C，∠CAO=45°，直线y=kx交抛物线于点E，且AE=EC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求CM+MN的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型03 二次函数中菱形存在性问题
【解题策略】
和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足: xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD（xA−xB）2+（yA−yB）2=（xC−xB）2+（yC−yB）2
解决问题的方法也可有如下两种:
思路 1:先平四，再菱形.设点坐标，根据平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD 为对角线)，再结合组邻边相等，得到方程组，
思路 2:先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.
【典例分析】
例1．（2023·四川）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2024·陕西模拟）已知：平面坐标系内点Px,y和点A0,1，点P到点A的距离始终等于点P到x轴的距离．
(1)请你求出点P满足的函数关系式；
(2)如果（1）中求出的函数图象记为L，L'是L沿着水平方向平移得到的，若点M在L上，点N是L平移后点M的对应点，点Q是x轴上的点．是否存在这样的点M，使得以M、N、O、Q为顶点的四边形是有一个内角为60°且的菱形？若存在，请你求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C0，3，点B的坐标为（3,0），点P是抛物线上一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在；若不存在，请说明理由．
题型4 二次函数中正方形存在性问题
【解题策略】
思路 1:从判定出发
1）若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等:
2）若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直:
3）若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件.
思路 2:构造三乖直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4点.
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑矩形的判定出发，观察该四边形是否己为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系.（正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主）
【典例分析】
例1．（2023·湖南）已知抛物线Q1:y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0,B两点，交y轴于点C0,3．
(1)请求出抛物线Q1的表达式．
(2)如图1，在y轴上有一点D0,−1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2023·辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2023·辽宁模拟）如图，抛物线y=−14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求tan∠ABC的值；
(3)点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2023·山东）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A3,−3，点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B1,0（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3，点P是直线AC上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
3．（2023·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0，B1,0两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023·辽宁）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
【解题策略】
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.而且“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样,“三定一动”中动点是在平面中横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴、直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”.找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究其原因，在于平行四边形两大性质:(1)对边平行且相等:(2)对角线互相平分. 但此两个性质统一成一个等式:xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量. 由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题.
【典例分析】
例1．（2022·四川）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2024·浙江模拟）如图，抛物线y=−x2+2x+m(m>0)与y轴交于A点，其顶点为D．直线y=−12x−2m分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线AD相交于E点．
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将△ACE沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线y=−x2+2x+m(m>0)上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
2．（2023·河南模拟）如图，抛物线y=ax2+bx−16对称轴是直线x=1，且过点A−2,0．点B为抛物线与x轴另一交点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)矩形BCDE的边BC在x轴正半轴上，边CD在第四象限．BC=6，CD=4．将矩形BCDE沿x轴负半轴方向平移得到矩形B'C'D'E'，直线B'E'与直线C'D'分别交抛物线于点M、N．在平移过程中，是否存在以C'、E'、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移距离；若不存在，请说明理由．
题型02 二次函数中矩形存在性问题
【解题策略】
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式:xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD（xA−xC）2+（yA−yC）2=（xB−xD）2+（yB−yD）2 (AC 为对角线时).因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.
【典例分析】
例1．（2023·山西）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点为D1,4与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的函数表达式及点A、B、C的坐标；
(2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2023·河北模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A−3,0,B2,0．与y轴交于点C，∠CAO=45°，直线y=kx交抛物线于点E，且AE=EC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求CM+MN的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
题型03 二次函数中菱形存在性问题
【解题策略】
和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABCD是菱形，则其4个点坐标需满足: xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD（xA−xB）2+（yA−yB）2=（xC−xB）2+（yC−yB）2
解决问题的方法也可有如下两种:
思路 1:先平四，再菱形.设点坐标，根据平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD 为对角线)，再结合组邻边相等，得到方程组，
思路 2:先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，再确定第4个点.
【典例分析】
例1．（2023·四川）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2024·陕西模拟）已知：平面坐标系内点Px,y和点A0,1，点P到点A的距离始终等于点P到x轴的距离．
(1)请你求出点P满足的函数关系式；
(2)如果（1）中求出的函数图象记为L，L'是L沿着水平方向平移得到的，若点M在L上，点N是L平移后点M的对应点，点Q是x轴上的点．是否存在这样的点M，使得以M、N、O、Q为顶点的四边形是有一个内角为60°且的菱形？若存在，请你求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C0，3，点B的坐标为（3,0），点P是抛物线上一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在；若不存在，请说明理由．
题型4 二次函数中正方形存在性问题
【解题策略】
思路 1:从判定出发
1）若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等:
2）若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直:
3）若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件.
思路 2:构造三乖直全等
若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4点.
总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑矩形的判定出发，观察该四边形是否己为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系.（正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主）
【典例分析】
例1．（2023·湖南）已知抛物线Q1:y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0,B两点，交y轴于点C0,3．
(1)请求出抛物线Q1的表达式．
(2)如图1，在y轴上有一点D0,−1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式演练】
1．（2023·辽宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（2023·辽宁模拟）如图，抛物线y=−14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求tan∠ABC的值；
(3)点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2023·山东）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A3,−3，点B在第一象限内，对称轴是直线x=94，且△OAB的面积为18
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B1,0（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3，点P是直线AC上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；
(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．
3．（2023·西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0，B1,0两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023·辽宁）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
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