2024年甘肃省陇南市康县部分学校九年级中考一模数学模拟试题（原卷版+解析版）

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考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）
1. 6的算术平方根为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根定义，准确计算．
【详解】解：6的算术平方根为，故C正确．
故选：C．
2. 直角坐标系中，与点关于y轴对称的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选；D．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集是解题的关键．先解一元一次不等式，然后在数轴上表示解集，进行判断即可．
【详解】解：，
解得，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

故选：B．
5. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，于点E，连接OE，若，则（ ）

A 20°B. 30°C. 40°D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=OB=OD，根据菱形性质可得∠DBE= ∠ABC=70°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=70°，
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD，
∴∠OEB=∠OBE=70°，
∴∠OED=90°-70°=20°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．
6. 如图,,相交于点,且,点的对应点为点,若,,则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查相似三角形性质,三角形内角和定理．根据题意可知,又因,再利用三角形内角和定理即可求出本题答案．
【详解】解:∵,,
∴,
∵,
∴,
故选:D．
7. 小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出比2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（ ）
A. 2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；
B. 2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；
C. 2020年总支出比2019年总支出增加了2%；
D. 2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同．
【答案】A
【解析】
【分析】设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．
【详解】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，
A．2019年教育总支出为0.3a，2020年教育总支出为，，故该项正确；
B．2019年衣食方面总支出为0.3a，2020年衣食方面总支出为，，故该项错误；
C．2020年总支出比2019年总支出增加了20%，故该项错误；
D．2020年其他方面的支出为，2019年娱乐方面的支出为0.15a，故该项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．
8. 如图，点，，在上，半径为，弦长为，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆周角定理，先证明是等边三角形，则，再由圆周角定理可得．
【详解】解：∵半径为，弦长为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选C．
9. 在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案（阴影部分），则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据正五边形的性质可得内角为，从而得到阴影部分的扇形圆心角的和，再由扇形的面积公式计算是解题的关键．
【详解】解：正五边形的内角为：，
∴阴影部分的扇形圆心角的和为：，
∴阴影部分面积为：，
故选：C．
10. 如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图1和图2得当时，点到达处，即，当时，点到达点处，即可求解．
【详解】解：当时，点到达处，即；
过点作交于点，如图所示：

，，
，
，
则四边形为长方形，
，
，
，
，
，
当时，点到达点处，则，
则，
由勾股定理得，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 分解因式：____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，解题的关键熟练掌握公因式法和公式法，原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
13. 一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个结果如下：①；②；③；④．则质量最好的零件为 _____（填序号即可）．
【答案】④
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先求出各数的绝对值，然后再进行比较，即可解答．
【详解】解：，
，
∴质量最好的零件为④，
故答案为：④．
14. 如图，是的直径，，，则的度数是______°．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
；
故答案：．
15. 如图，在中，，cm，cm，D是AB上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为______cm．

【答案】####
【解析】
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接．

∵，cm，cm，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
由垂线段最短可得时，线段值最小，
此时，，
即，
解得，
∴线段的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
16. 如图，在中，于H，正方形内接于，点D、E分别在边，点G、F在边上．如果，那么，正方形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，根据正方形的性质确定平行线，继而确定相似三角形，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算，计算面积即可．
【详解】∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把分式除法中的两个分式的分子分母都分别分解因式，再把除法变成乘法，然后约分化简，最后计算分式减法即可得到答案．
【详解】解：
．
19. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可．
【详解】解：，
，
解得．
20. 如图，是的角平分线．
（1）作线段的垂直平分线，分别交于点；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）连接，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查尺规基本作图，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线即可．
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求．
【小问2详解】
证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
21. 安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的英语演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和叶叶都想第一个出场，主持人拿出了五张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上，将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，叶叶再从剩下的张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上数字之积为负数，则晶晶第一个出场；否则，叶叶第一个出场．
（1）晶晶抽到的卡片正面上的数字为的概率为 ；
（2）请用列表法或画树状图的方法判断，这种安排对晶晶和叶叶是否公平．
【答案】（1）；
（2）这种安排对晶晶和叶叶不公平．
【解析】
【分析】（）直接由概率公式求解即可；
（）画树状图，共有种可能出现的结果，分别求出晶晶和叶叶第一个出场的概率，比较即可得到结论；
本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
【小问1详解】
解：从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片正面上的数字为的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如图，
共有种可能出现的结果，其中两人所抽取的卡片上数字之积为负数的结果有种，两人所抽取的卡片上数字之积为正数和的结果有种，
∴，，
∵，
∴这种安排对晶晶和叶叶不公平．
22. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】（1）15m （2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【小问1详解】
解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB==15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
【小问2详解】
解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= （m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
四、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程成演算步骤）
23. “天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级共800名学生参加了以“格物效知，叩问苍穹”为主题的太空科普知识竞赛．为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组从七年级共选取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，进行了抽样调查，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息：
a．50名学生竞赛成绩的频数分布表：
b．50名学生的说赛成绩的频数分布直方图；
c．竞赛成绩在这一组的成绩是：
80、81、83、83、83、84、84、85、86、86、86、87、87、87、88、88、89．
d．小东的竞赛成续为83分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）频数分布表中的数值______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小东的竞赛成绩是否超过样本中一半学生的成绩？
（4）学校将把获得88分及以上的学生评为“科普达人”，请估计七年级学生的获奖人数．
【答案】（1）3 （2）见解析
（3）小东的成绩超过样本中一半学生的成绩
（4）192人
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，求中位数：
（1）根据题目中得出的信息进行解答即可；
（2）根据解析（1）中m的值补全频数分布直方图即可；
（3）求出50名学生成绩的中位数，然后进行解答即可；
（4）用全校总人数乘以样本中88分及以上的学生所占百分比即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
故答案为：3；
【小问2详解】
解：补全频数分布直方图，如图所示：
【小问3详解】
解：将选取的50名学生的竞赛成绩从小到大进行排序，排在第25的是80分，第26的是81分，
∴选取的50名学生的竞赛成绩的中位数是（分），
∵小东竞赛成绩为83分，，
∴小东的成绩超过样本中一半学生的成绩；
【小问4详解】
解：（人），
答：七年级学生的获奖人数为192人．
24. 如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于和两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接，，求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入可求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；
（2）分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为D，E，求出直线与x轴的交点C的坐标，再根据三角形面积之间的和差关系进行计算即可．
小问1详解】
解：点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
又在反比例函数的图象上，
，
点，
由于直线过点，，
解得
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为D，E，
直线与x轴的交点，即，
．
25. 如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足．
（1）求证：为切线；
（2）若，求的长（结果保留）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而得到，得到，即可得证；
（2）连接，圆周角定理，得到，利用弧长公式进行计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又为的半径，
∴为切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及求弧长．熟练掌握圆周角定理，以及弧长公式是解题的关键．
26. 如图，中，，点是平面内一点，连接并将线段绕点旋转至，连接交于点．

（1）如图1，若点在边上，且，求证；
（2）如图2，点是内一点，连接、，点是中点，连接，猜想和的数量关系并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，根据等边对等角以及三角形内角和求出，进一步得到，根据旋转的性质得到，利用三线合一即可证明结论；
（2）延长至点，使，证明，得到，再证明，得出，相结合即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：设，
，
，
又，
∴，，
∴，
∴．
∴为等腰三角形，
又由旋转可得：，
∴，
∴平分，
∴．
【小问2详解】
延长至点，使，

∵点是中点，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是在图形中找到合适的全等三角形，证明全等，得到有用的结论．
27. 如图，抛物线与直线相交于两点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）把拋物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
（3）的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（2）设，根据是以为底边等腰三角形可得，然后利用两点距离公式构建关于p的方程，然后求解即可；
（3）先求直线解析式，然后设平移后的抛物线解析式为，联立方程组，化简得，根据抛物线与直线始终有交点得出即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与直线相交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：设，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，即，
∴，
解得，
∴点Р的坐标为；
【小问3详解】
解：设平移后的函数解析式为，
设直线解析式为，
把，代入，得
，
解得，
∴，
联立方程组，
整理得，，
∵抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
成绩





频数

6
15
17
9