2024长沙师大附中高三下学期第一次模拟数学试卷含解析

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，且，则是的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（ ）
A B.
C. D.
3. 已知方程有实根b，且，则复数z等于（ ）
A B. C. D.
4. 出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A. B. C. D.
5. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数的前项的“均倒数”为，又，则
A. B. C. D.
6. 设平面向量，若，则平面向量可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 过点作圆相互垂直的两条弦与，则四边形的面积的最大值为（ ）
A. B. C. D. 15
8. 若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 设有一个经验回归方程为，变量增加1个单位时，平均增加2个单位
B. 已知随机变量，若，则
C 两组样本数据和.若已知且，则
D. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
10. 设为两个正数，定义算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，的中点，Q为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则（ ）
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 点Q轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为奇函数，则__________.
13. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论：
①
②
③在上单调递增
所有正确结论的序号是______.
14. 如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某商场为了吸引客流，举办了免费答题兑积分活动，获得的积分可抵现金使用．活动规则如下：每人每天只能参加一轮游戏，每轮游戏有三个判断题，顾客都不知道答案，只能随机猜答案．每轮答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，积分可累计使用．
（1）求某顾客每轮游戏得分的分布列和期望；
（2）若某天有10个人参加答题活动，则这10个人的积分之和大于30分的概率是多少?
16. 如图，在斜三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，，，分别为，的中点.
（1）证明：.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．
（1）求的标准方程．
（2）若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：
（ⅰ）的斜率之积为定值；
（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．
18. 已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）时；
（ⅰ）若，求的取作范围；
（ⅱ）证明：．
19. 已知为非零常数，，若对，则称数列为数列．
（1）证明：数列是递增数列，但不是等比数列；
（2）设，若为数列，证明：；
（3）若为数列，证明：，使得．