湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2.如图,在复平面内,复数,对应的点分别为,,则复数的虚部为( )
A.B.-1C.D.-3
3.“函数的图象关于对称”是“,”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知向量,,则与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5.已知是等差数列的前n项和,是数列的前n项和,若,,则( )
A.B.C.D.
6.函数的图象不可能是( )
A.B.
C.D.
7.已知正方体的棱长为,E为的中点,F为棱上异于端点的动点,若平面截该正方体所得的截面为五边形,则线段的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.已知,是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9.下列说法中,正确的是( )
A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率是0.1
B.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14
C.若样本数据,,,的方差为8,则数据,,,的方差为2
D.将总体划分为2层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为,和,,若,则总体方差
10.如图,点A,B,C是函数的图象与直线相邻的三个交点,且,,则( )
A.
B.
C.函数在上单调递减
D.若将函数的图象沿x轴平移个单位,得到一个偶函数的图像,则的最小值为
11.已知直线与圆,若存在点,过点M向圆C引切线,切点为A,B,使得,则m可能的取值为( )
A.2B.0C.D.
12.已知函数,,则( )
A.与的定义域不同,与的值域只有1个公共元素
B.在与的公共定义域内,的单调性与的单调性完全相反
C.的极小值点恰好是的极大值点,的极大值点恰好是的极小值点
D.函数既无最小值也无最大值,函数既有最小值也有最大值
三、填空题
13.一组数据为3,5,1,6,8,2,记这组数据的上四分位数为n,则二项式展开式的常数项为_____________.
14.已知数列满足,设数列的前n项和为,则=____________.
15.在正三棱台中,,,侧棱与底面ABC所成角的正切值为.若该三棱台存在内切球,则此正三棱台的体积为______________.
16.已知函数,若,则关于x的不等式的解集为___________________.
四、解答题
17.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小;
(2)若,的面积,求的周长.
18.记为数列的前n项和,已知,且,.
(1)证明:为等差数列;
(2)求的通项公式;
(3)若,求数列的前n项和.
19.如图,在三棱锥中,和都是正三角形,E是BC的中点,点F满足.
(1)求证:平面平面;
(2)若,且平面,求的长.
20.某学校有1000人,想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者,如果对每个人的血样逐一化验,需要化验1000次,统计专家提出了一种方法:随机地按10人一组分组,然后将各组10个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这10个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一个人呈阳性,就需要对这组的每个人再分别化验一次.假设某学校携带病毒的人数有10人.(,)
(1)用样本的频率估计概率,若5个人一组,求一组混合血样呈阳性的概率;
(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组,问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少?为什么?
21.已知椭圆的离心率为,,,B分别为椭圆C的左、右和上顶点,直线交直线于点P,且点P的横坐标为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P的直线与椭圆C交于第二象限内D,E两点,且E在P,D之间,与直线l交于点M,试判断直线与是否平行,并说明理由.
22.已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若不等式在上恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1.答案:A
解析:,
,
.
故选:A.
2.答案:D
解析:在复平面内,复数,对应的点分别为,,
则,,得,
所以复数的虚部为-3.
故选:D.
3.答案:B
解析:当函数的图象关于对称时,
有,,得,,
易知,,
所以“函数的图象关于对称”是“,”的必要不充分条件.
故选:B.
4.答案:D
解析:因为,则,
所以.
故选:D.
5.答案:A
解析:设的首项为,公差为d,
则,则,
则,
故为公差为的等差数列,
又,,所以,
解得,
又,解得,
故故为首项为-2,公差为的等差数列,
所以.
故选:A.
6.答案:D
解析:①当时,,此时A选项符合;
②当时,,
当时,,
因为函数,在上都是减函数,
所以函数在在上是减函数,
如图,作出函数在上的图象,
由图可知,函数,的图象在上有一个交点,
即函数在在上有一个零点,
当时,,则,
由,得,由,得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,,故B选项符合;
③当时,,
当时,,
因为函数在上都是减函数,
所以函数在上是减函数,
如图,作出函数在上的图象,
由图可知,函数,的图象在上有一个交点,
即函数在在上有一个零点,
当时,,则,
由,得,由,得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,,故C选项符合,D选项不可能.
故选:D.
7.答案:B
解析:在正方体中,平面平面,
因为平面,平面,平面平面,
则平面与平面的交线过点B,且与直线平行,与直线相交,
设交点为G,如图所示,
又因为平面,平面ABCD,
即,分别为,与平面所成的角,
因为,则,且有,
当F与C重合时,平面截该正方体所得的截面为四边形,此时,
即G为棱中点M;
当点F由点C向点移动过程中,逐渐减小,点G由点向点方向移动;
当点G为线段上任意一点时,平面只与该正方体的4个表而有交线,即可用成四边形;
当点G在线段延长线上时,直线必与棱交于除点外的点,
又点F与不重合,此时,平面与该正方体的5个表面有交线,截面为五边形,
如图所示.
因此.当F为棱上异于端点的动点,截面为四边形,点G只能在线段(除点M外)上,即,可得,则,
所以线段的取值范围是,
所以若平面截该正方体的截面为五边形,线段的取值范围是.
故选:B.
8.答案:A
解析:如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,
则根据椭圆及双曲线的定义得:,
,,设,
则在中,由余弦定理得,,
化简得,即,
则
,
当且仅当,即时等号成立,
故选:A.
9.答案:AC
解析:选项A:个体m被抽到的概率为,故A正确;
选项B:由于,第六个数为14,第七个数为16,则第60百分位数为,故B错误;
选项C:设数据,,,的平均数为,
方差为,
则数据,,,的平均数为,
方差为
,
所以,故C正确;
选项D:设第一层数据为,,,第二层数据为,,,
则,,
所以,
,,
总体平均数,
总体方差
因为,则,
所以
,故D错误.
故选:AC.
10.答案:ACD
解析:令得,或,,
由图可知:,,,
所以,,
所以,所以,故A选项正确,
所以,由得,
所以,,
所以,,
所以,
,故B错误.
当时,,
因为在为减函数,故在上单调递减,故C正确;
将函数的图象沿x轴平移个单位得,(时向右平移,时向左平移),
为偶函数得,,
所以,,则的最小值为,故D正确.
故选:ACD.
11.答案:BCD
解析:因为即,
令,解得,所以l过定点,
圆,圆心为,半径为1,
由切线性质可知:
当时,,,
因为存在M使得,所以,
记C到l的距离为,
又因为,当最大时,此时,
所以,所以,所以,解得,
又因为,所以m可取,,0
故选:BCD.
12.答案:BC
解析:定义域为,对于有,即,故定义域不同,
由,,且,
故在相同的区间内与符号相反,即对应、单调性相反,B正确;
由上,、的极值点恰好相反,的极大值点为极小值点,的极小值点为极大值点,C正确;
由,,均为偶函数,
只需研究在上、的性质:
由且,则,故y递增,则,故,
而在上连续,且函数值在范围内波动,即函数值为正、负的区间交替出现,
结合知:取0时趋向于无穷大(含正负无穷),无最值;D错误;
极小值,则为极大值,
极大值,则为极小值,
所以、值域不可能存在公共点,A错误.
故选:BC.
13.答案:60
解析:将这组数据从小到大排成一列为:1,2,3,5,6,8,
由,所以这组数据的四分位数为,所以二项式为,
则二项展开式的通项为,
令,解得,所以展开式的常数项为.
故答案为:60.
14.答案:
解析:数列满足,
当时,,
两式相减得,
因此,而满足上式,
于是,显然,
即数列是等差数列,
所以.
故答案为:.
15.答案:
解析:如图,取BC和的中点分别为P,Q,
上、下底面的中心分别为,,
设,内切球半径为r,因为,棱台的高为2r,
所以,
,同理.
因为内切球与平面相切,切点在上,
所以①,
在等腰梯形中,②,
由①②得.
在梯形中,③,
由②③得,代入得,则棱台的高,
所以棱台的体积为.
故答案为:.
16.答案:
解析:由题意,得,,
所以,即函数关于点中心对称.
因为恒成立,所以当时,,
当时,.
所以有唯一的解.
,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递增,
又,,
故在R上单调递增,
,
由对称性可知,
下面证明,过程如下:
若时,则,且,则,,
,
此时,
同理可得当时,,
当,即时,,,满足,即.
故,
当时,,
当时,令,解得,
当时,,
又不等式,所以.
由,得.由,得.
所以原不等式的解集为.
故答案为:.
17.答案:(1)
(2)
解析:(1)因为,可得,
即,
由正弦定理得,即,
又因为,可得,所以,
因为,可得,所以,
又因为,所以.
(2)因为的面积,可得,可得,
又因为,由余弦定理,
可得,所以,
则,所以,
所以的周长为.
18.答案:(1)证明见解析
(2)
(3)
解析:(1),,
,,
数列是首项为1,公差为的等差数列;
(2),
即,
,
两式作差得,
即,
,
即,,
,;
(3),
,
,
,
.
19.答案:(1)证明见解析
(2)6
解析:(1)如图,连接,因为,所以.所以A,E,D,F四点共面.
因为在三棱锥中,和都是正三角形,E是的中点,
所以,.因为,平面,,所以平面,
又平面,所以平面平面.
(2)如图,记的中心为O,连接,
由(1)平面,而平面,故,
又平面,故平面平面,
而平面平面,平面,故平面,
过O作直线,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为是正三角形,,所以,,.
所以,,,,.
所以,.
设平面的一个法向量为,则,即,
令,则,,所以.
因为,,
所以.
因为平面,所以,
即,解得,
此时.故DF的长为6.
20.答案:(1)0.05
(2)10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少,理由见解析
解析:(1)由已知可得,该单位每个人携带病毒的概率为.
所以5个人一组,该组混合血样不是阳性的概率为,
所以,一组混合血样呈阳性的概率为.
(2)设5个人一组,每组需要化验的次数为随机变量X,则,6.
由(1)知,5个人一组,需要重新化验的概率为0.05,
则X的分布列为
所以,,
总的化验次数为;
设10个人一组,每组需要化验的次数为随机变量Y,则,11.
10个人一组,该组混合血样不是阳性的概率为0.9,则10个人一组,需要重新化验的概率为0.1,
则Y的分布列为
所以,总的化验次数为,
所以,10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少.
21.答案:(1)
(2)直线与平行,理由见解析
解析:(1)因为椭圆C的离心率为,所以所以①.
因为点在直线上,所以②.
由①②,解得,,所以椭圆C的方程为.
(2)直线与直线平行.
理由如下:显然直线与坐标轴不垂直,设其方程为.
因为直线经过点,所以③.
联立直线与椭圆C的方程,消去x,得.
设,,.
当时,有,④.
因为,E,M共线,所以,即.
所以
.
由③④,得.
所以,即.故直线与平行.
22.答案:(1)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增
(2)
解析:(1)由得函数,
所以,
令得,令得或,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(2)由,得,又,
所以,即对任意,恒成立,
令,,则,
令,则,
所以当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,,
所以当时,在内存在唯一的零点,
所以当时,,,单调递增,
当时,,,单调递减,
当时,,,单调递增,
所以,,
因为,所以,,
所以,
因为,所以,所以,
所以实数a的取值范围为.
X
1
6
P
0.95
0.05
Y
1
11
P
0.9
0.1
湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题(Word版附解析): 这是一份湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题(Word版附解析),文件包含湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题原卷版docx、湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共33页, 欢迎下载使用。
湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题(学生版): 这是一份湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题(学生版),共6页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容,欢迎下载使用。
湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题(教师版): 这是一份湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期第一次调研数学试题(教师版),共29页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容,欢迎下载使用。