四川省成都市石室中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省成都市石室中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（Word版附答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则
A．B．C．D．
2. 已知等差数列的公差不为零，若，则
A．5B．6C．7D．8
已知等比数列的首项为1，公比为，前项的和为S，则的前项的和是
A．B．C．D．
4. 已知函数在处取得极小值21，则
A．4B．3C．D．
在等比数列中，公比，前87项和，则
A．B．60C．80D．160
6. 用分期付款的方式购买一件电器，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，则购买这件电器实际支付
A．1105元B．1255元C．1305元D．1405元
设数列的前项之积为，满足（），则
A．B．C．D．
8. 已知且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 定义在区间[－5，3]上的函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是
A．函数的最小值是
B．在区间上单调
C．是函数的极值点
D．曲线在附近比在附近上升得更缓慢
10. 已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是
是等比数列
是等差数列
“”是“为递减数列”的充要条件
“”是“为递减数列”的充要条件
某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按0”，令，其中，且，以下说法正确的是
A．若，则第2号同学同意自己作为班干部候选人
B．若，则第1号同学和第3号同学都同意第2号同学当选
C．同意第1号同学当选的人数为
D．同时同意第1，2号同学当选的人数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等比数列中中，若，则公比 .
13. 在数列中，，，若，则 .
14. 某工件是底面半径为2，母线为4的圆锥，现将该工件通过切削，加工成一个长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则新工件体积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若,恒成立，求的取值范围.
16．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点E是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17.（本小题满分15分）
已知数列的前n项和为，且，.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18．（本小题满分17分）
已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
（1）证明：曲线C为双曲线的一支；
（2）已知点，不经过点的直线与曲线C交于A,B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
19．（本小题满分17分）
在（）个不同数的排列中，若时有（即前面某数大于后面某数），则称与构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．例如，三个数的排列中，因为，，称 7与3，7与4均构成逆序，而，3与4不构成逆序，于是排列的逆序数为2．
记排列的逆序数为．
（1）求，，，并写出的表达式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，证明．成都石室中学2023-2024学年度下期高2025届四月月考数学答案
一、选择题：ACBD CBCD
二、选择题：9. BD10. ACD11. AD
三、填空题
12. 1或-213. 5 14.
14.【解析】 由三视图可知，原工件为圆锥，要使长方体新工件的体积最大，则长方体底面为正方形，过圆锥的顶点作轴截面如图，则AB为底面正方形的对角线，设长方体底面边长为a，高为h，则， ()，长方体体积为，求导得，，故函数在上是增函数，在上是减函数，故当时，V取得最大值，为.
四、解答题.
15．【解析】（1），，
故切线为：5分
(2) 的零点为：8分
所以，，最大值为12分
所以13分
16．【解析】（1）因为直三棱柱中,，
故,所以两两垂直，分别以的方向为轴，轴，轴的
正方向建立如图所示的空间直角坐标系2分
，，点是棱的中点，
所以，
所以
，
所以，
设平面法向量为，则，
令，则，，所以平面的法向量．4分
设平面法向量为，则，
令，则，所以平面的法向量．7分
由于，故，
因此平面平面；10分
（2）由（1）知平面的法向量．
设直线与平面所成的角为，，
则，14分
所以直线与平面所成角的正弦值为．15分
17.【解析】（1）令可得，.2分
当时，，从而，
即，4分
则当时，6分
经检验，当时，符合上式，7分
从而，8分
（2）由（1）可知，，9分
从而10分
当时，，11分
当时，
两式相减：13分
整理得：，
故15分
18．【解析】（1）如图，设圆的圆心为，半径为，
由题可得圆半径为3，圆半径为1，则，，
所以，3分
由双曲线定义可知，的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支5分
又,，,，所以动圆的圆心的轨迹方程为，，
即曲线的方程为．7分
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意直线与曲线有两个交点，则，
设,，,，其中，，
由韦达定理得：，，10分
又点，所以,，,，
因为，所以，
则
，13分
即，解得舍去），15分
当，直线的方程为，，
故直线恒过点,．17分
19．【解析】（1）由已知得，，，
．4分
（2）当，时，
注意到，6分
所以，7分
于是
；8分
所以，10分
（3）易知，，
于是，12分
令，则，
于是
，（1）
从而，（2）15分
于是，（1）（2）两式相加得
，
所以，
综上，．17分
-4
-3
1
4
单调递减
极小
单调递增
单调递减