四川省成都市石室中学2023-2024学年高三数学（理）上学期10月月考试题（Word版附答案）

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届十月月考

数学试题（理）

（总分：150分，时间：120分钟 ）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．若，则复数在复平面上对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知命题，使，命题关于直线对称，下面结论正确的是　　

A．命题“”是真命题 B．命题“”是假命题 

C．命题“”是真命题 D．命题“”是假命题

4．已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则 

A．1或     B．2或 C．2或    D．或

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是　　

A．  B．  C． D．

6．已知函数，设，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

7．函数的图象大致为　　

A．B．C．D．

8．已知向量，，则的值是　　

A． B． C． D．

9．2025年四川省新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是　　

A． B． C． D．

10．已知动圆M恒过点，且与直线相切，设圆心M的轨迹方程曲线，直线与曲线交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则　　

A． B． C． D．

11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13．若为偶函数，则实数              .

14. 圆与圆的公共弦长为              .

15．已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，平面底面，，则三棱锥的外接球的表面积为               .

16．已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率               .

三、解答题（本题共6道小题，共70分）

17．（本小题满分12分）

设为数列的前项和，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，，求数列的前项和．

18．（本小题满分12分）

为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作．为做好全省的迎检工作，成都市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试，并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图．

（1）估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数近似服从正态分布，其中近似为样本平均，近似为样本方差．

①求；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间，的人数为，试求．附：参考数据：，

若随机变量服从正态分布，则，，．

19．（本小题满分12分）

如图，在几何体中，平面四边形是菱形，平面平面，，且，，．

（1）证明：

（2）若二面角是直二面角，求直线与直线所成角的余弦值．

 20．（本小题满分12分）

动圆C与圆M：外切，与圆N：内切.

（1）求动圆C的圆心C的的轨迹方程；

（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.

21．（本小题满分12分）

已知函数和函数.

（1）求函数的极值；

（2）设集合，(b为常数).

①证明：存在实数b，使得集合中有且仅有3个元素；

②设，，求证：.

选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（本小题满分10分）

已知点在曲线上．

（1）求动点的轨迹C的直角坐标方程；

（2）过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．（本小题满分10分）

已知任意，都有.

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届十月月考

数学试题（理 ）参考答案

1．已知集合，，则　　

A． B． C． D．

解：已知集合，，

则由集合的运算和集合的关系可得：，正确；故选：．

2．若，则复数在复平面上对应的点在　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

解：，则复数

．

对应点，在第一象限．故选：．

3.已知命题，使，命题关于直线对称，下面结论正确的是　　

A．命题“”是真命题 B．命题“”是假命题 

C．命题“”是真命题              D．命题“”是假命题

解：命题，使，为真命题，为假命题

命题为假命题，则非为真命题

：命题“”为假命题为真命题

：“”为假命题：“”假命题故选：．

4．已知等比数列的前项和为，且数列成等差数列，则　　

A．1或 B．2或 C．2或 D．或

解：设等比数列 的公比为，由，，成等差数列可得，，

即，化简得，解得 或，

当时，，当 时，．故选：．

5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是　　

A． B． C． D．

该几何体是棱长分别为2，2，1的长方体中的三棱锥，

其中：，

该几何体的表面积为：．

故选：．

6．已知函数，设，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

解：的定义域为，函数为偶函数，所以在上为增函数，

所以，

因为，所以，即，

因为在上为增函数，且，所以，

因为，所以，所以，

所以，所以，故选：．

7．函数的图象大致为　　

A．B．C．D．

解：函数是非奇非偶函数，排除、，函数的零点是，当时，（e），排除选项．故选：．

8．已知向量，，则的值是　　

A． B． C． D．

，

．故选：．

9．2025年四川省新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程都没有偏好，则他们选六科中恰有四科相同的概率是　　

A． B． C． D．

答案：B   

10．已知动圆M恒过点，且与直线相切，设圆心M的轨迹方程曲线，直线与曲线交于，两点（点在轴上方），与直线交于点，若，则　　

A．  B． C．   D．

解：如图所示，抛物线．，解得．

联立，化为：．，解得，

则．故选：．

11．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

在中，由余弦定理得，且的面积，

由，得，化简得，

又，，联立得，

解得或（舍去），

所以，

因为为锐角三角形，所以，，所以，

所以，所以，所以，

设，其中，所以，

由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，

当时，；当时，；当时，；

所以，即的取值范围是．故选：C.

12．已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（    ）

A． B． ，C． D．

由题设，的定义域为，且，

∴当时，，即递减；当时，，即递增.

∴，又在上逐渐变小时逐渐趋近于0，当时且随趋向于0，趋向无穷大.

∴的图象如下：

∵的定义域为，由可得：在上必有两个不等的实根(假设)且，

∴令，要使的3个实根，则、，即，可得.∴由知：，，

∴.故选：B.

一、   选择题

二、   填空题

13.1 ;    14. ;   15. ;  16. .

三、   解答题

17．解：（1）由，得，

两式相减得，                              ………………..3分

当时，，则，                         ………………..4分

所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以；………………..6分

（2）

，                                              ………………..7分

的前项和为

………………..12分

（分组求和中，求对一个数列和，单独给2分）

18．（1）解：（1）由题意得，，

所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；………………..6分

（2）①由（1）可知，，

则

②由①可知1名学生的体重位于，的概率为0.819，    ………………..8分

依题意，服从二项分布，即，，

则            ………………..12分

19．证明：（1），，      ………………..1分

平面平面，面平面，，

                                             ………………..3分

             ………………..5分

解：（2）设与的交点为，

由（1）得，

分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，  ……………..6分

平面，，

，，

，．

设，，

由题设得，0，，，0，，，，，，

设，，是平面的法向量，

则，取，得，

设是平面的一个法向量，

则，取，得，1，….  .8分

二面角是直二面角，

，解得，                              ………………..10分

，

直线AE与直线FC所成角的余弦值为………………..12分

20．（1）设动圆的半径为，由题可知，，从而

，所以圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，轨迹方程为  ………………..4分

（2）由可知平分，直线的斜率互为相反数，即，...........………………..6分

设， 

由得，，即有，

...........………………..7分

而，则，

即

...............................................8分

于是    

，.

化简得：，..................................9分

且又因为在椭圆上，即，即，，

从而，，

又因为不在直线上，则有，即，

所以为定值，且.         .....................................12分

（若答案正确，没有过程，给答案分2分）

21.（1）因为，则，

当时，；当时，；

则在上单调递增，在上单调递减，

可知有极大值；无极小值          ........................3分

（2）令

因为，则

在上单调递增，在上单调递减，且，，

在上单调递增，在上单调递减，且，，

所以在上单调递减，因为，，所以存在唯一的，使得，........................5分

令

则由图像可知，有两个解，不妨记为，有两个解，不妨记为，从而，故存在实数，使得集合中有且仅有3个元素；

得证            ........................7分

（3）此时，且，

因为，则，即，  ........................8分

因为，，且在上单调递增，

所以，可得， ........................9分

又因为，则，即，......................10分

且，，在上单调递减，

所以，则，........................11分

所以，即，

又因为，且，故........................12分

22.（1）由题意，曲线的参数方程为，为参数，

则，

再设，则，为参数，........................2分

消去参数，得到，

故点M的轨迹C的方程为．.......................5分

（若没有限制范围，扣1分）

（2）设的参数方程为（t为参数），且，

代入曲线C的方程得，......................7分

设A，B两点对应得参数分别为，，则，

所以，则，

即直线l的斜率为．.....................10分

23.（1）由题意记，.....................2分

所以在上单调递减，在上单调递增.

因此的最小值，.....................4分

由题可知，所以实数的取值范围是....................5分

（2）由（1）知,且均为正数，

所以，

由基本不等式，，，