辽宁省本溪县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教B版必修第一册，必修第二册，必修第三册第七章~第八章第1节．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 零向量没有方向B. 共线向量一定是相等向量
C. 若向量同向，且，则D. 单位向量的模都相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量、零向量、单位向量及共线向量的定义，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，由零向量的定义知，零向量方向任意，所以选项A错误，
对于选项B，当共线向量方向相反时，它们肯定不是相等向量，所以选项B错误，
对于选项C，向量不能比较大小，所以选项C错误，
对于选项D，单位向量的模长均为1个单位长，所以选项D正确，
故选：D.
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由诱导公式直接化简求得结果即可.
【详解】解：．
故选：B
3. 某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下（单位：分）：
则这组数据的分位数为（ ）
A. 91B. 90C. 89.5D. 89
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用30百分位数的定义直接求解.
【详解】依题意，，所以这组数据的分位数为从小到大排列的第5个数据89.
故选：D
4. 设函数若对，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分段函数在上单调递减可得关于的不等式组，进而可得的取值范围.
【详解】因为函数对，且，都有，
可得是上的减函数，
所以有解得.
故选：A.
5. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】因，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
6. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，再得到伸缩变换后的解析式.
【详解】将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象；
再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得．
故选：B．
7. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交以原点为圆心的单位圆于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，根据角的范围，可知.然后根据三角函数的定义得出角的三角函数值.进而根据两角差的余弦公式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，解得.
因为锐角，则，所以.
根据三角函数的定义可得，，，
所以.
故选：C.
8. 已知内有一点满足，则向量与的夹角为（ ）
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角
【答案】B
【解析】
【分析】把条件转化为，再根据向量的运算法则逐步计算即可求解.
【详解】由条件得，则，
所以，
所以，
则，即，
所以，则，
所以向量与的夹角为．
故选：．
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知为偶函数，则和的可能取值分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据偶函数的定义建立方程，求得值，逐项判断即可.
【详解】因为为偶函数，
所以，
则，
所以为任意实数，
,B，C选项符合题意．
故选：．
10. 在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可.
详解】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD.

11. 下列命题正确的是（ ）
A. 任意两个向量和，有
B.
C. 任意两个向量和，有
D. 若向量满足，且与同向，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法则判断A；利用数量积判断B；利用向量减法法则判断C；利用向量的概念判断D.
【详解】对于A，向量加法的三角形法则知，，A正确；
对于B，由向量的数量积公式知，，B正确；
对于C，由向量减法的运算性质得，C错误；
对于D，向量不能比大小，D错误．
故选：AB
12. 设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D.H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.
【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，当时，由C可知，，故D不正确.
故选：AB
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用诱导公式求解.
【详解】解：因为，
所以．
故答案为：
14. 已知幂函数图象过点，则的值为_____________.
【答案】1
【解析】
【分析】设幂函数，将点的坐标代入该函数的解析式，利用指数幂的运算求出实数的值，然后利用指数幂和对数的运算性质计算出的值.
【详解】设幂函数，则，即，得，，
则，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查对数的计算，同时也考查了指数的运算，解题的关键就是利用题中条件求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.
15. 刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行､每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则这三个数中仅有1个奇数的概率是__________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】根据题意列出样本空间及所求事件的样本点集合，利用古典概型概率计算公式进行计算即可.
【详解】试验“随机抽取和为15的三个数”的样本空间
，
，
记“和为15的三个数中仅有1个奇数”，
则
故．
故答案为：.
16. 在中，已知向量与满足，且，则角__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解.
【详解】设角的平分线交于，因为，故，即，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
设，（如图所示），，因为，
故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上.
因为，故，故.
综上，为等腰直角三角形且，所以.
故答案为：

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角函数定义求得，然后弦切互化即可求解；
（2）先用诱导公式化简式子，再利用三角函数定义求出，代入即可得解.
【小问1详解】
根据三角函数的定义，得，
所以.
小问2详解】
原式，
又，
故原式.
18. 已知函数.
（1）求图象的对称轴方程；
（2）求在区间上的单调区间.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）代入正弦函数的对称轴公式，即可求解；
（2）首先求的范围，再根据正弦函数的单调性，即可求解.
【小问1详解】
函数，令，
得，
所以图象的对称轴方程为；
【小问2详解】
当，，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即在区间上函数单调递增，
当，得，即在区间上函数单调递减，
当，得，即在区间上函数单调递增，
所以函数在区间上的单调增区间是和和，
单调递减区间是和.
19. 已知函数．
（1）判断奇偶性，并用定义证明；
（2）判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明．
【答案】（1）是偶函数，证明见解析
（2）在区间在上单调递减，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解.
【小问1详解】
函数是偶函数.
证明如下：
由函数，可得其定义域为，关于原点对称，
且，即，
所以是定义域上的偶函数.
【小问2详解】
函数在区间在上单调递减.
证明如下：
设，
则
．
因为，可得，
所以，即，
所以在区间上单调递减函数.
20. 已知向量．
（1）若，求实数的值；
（2）若向量满足且，求向量的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据的坐标，得到的坐标，再由求解；
（2）设，由，求解．
【小问1详解】
解：由，
得，
所以，
由，得，
解得．
【小问2详解】
设，
所以，
，
由，得，
所以，①
由，得，所以，则，②
由①②得，
故．
21. 已知，是函数（，，）的两个零点，的最小值为，且．
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数性质和周期公式可求得，再由可得，结合即可求出的解析式；
（2）利用整体代换法可求得，根据余弦函数单调性即可求得在上的值域为.
【小问1详解】
设的最小正周期为，
因为，是函数的两个零点，的最小值为，
所以，．
由得，
因为，所以，，
由，可得，
解得，
所以．
【小问2详解】
当时，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，
即在上的值域为．
22. 如图，在梯形中，，，，点分别为线段，上的三等分点，点是线段上的一点.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）直线分别交线段于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求的值.
【答案】（1）16 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解，
（2）根据模长公式即可求解，
（3）根据三点共线共线即可求解.
【小问1详解】
设，，
，
，即．
【小问2详解】
，
．
【小问3详解】
连接三点共线，，
为的中点，
．
设，则．
设．
在中，，
，
解得，
．
8
1
6
3
5
7
4
9
2