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湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题原卷版docx、湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1. ,,的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在单位圆中作出1弧度角的正弦线、余弦线、正切线，由图可观察出它们的大小．
【详解】如图所示,作出1弧度角的正弦线､余弦线､正切线分别为,,,由图知,,,且,所以.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数线的应用．三角函数线可能用来求三角函数值，解三角不等式，比较三角函数式的大小等．
2. 若，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出为纯虚数的实数a的值，再判断以“”与“为纯虚数”分别为题设、结论和结论、题设的两个命题真假即可得解.
【详解】因，则为纯虚数，当且仅当， 即或，
于是有为纯虚数，而为纯虚数，
所以“”是“为纯虚数”的充分非必要条件.
故选：A
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据求出，根据求值.
【详解】，，
，
.
故选：B.
4. 如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】以为基底，根据平面向量线性运算即可求解.
【详解】因为，，G为EF的中点，
所以
，
所以，所以.
故选：A
5. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C. 3D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知结合投影向量的概念得出，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B.
6. 如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积.
【详解】连接AC，
在中，，，，
则，
所以，，
因为，所以，
所以，，
所以，
所以，
设该圆的半径为R，则，
所以该圆的面积为．
故选：B．
7. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围.
【详解】设，则，因为，
所以，
又，所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：D
8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范围，最后用基本不等式求最值.
【详解】因为，即，
所以，因为，
所以，由余弦定理，
可得，
再由正弦定理得，
因为，
所以，所以或，
得或（舍去）.因为是锐角三角形，
所以，得，即，
所以，
当且仅当，取等号.
故选:A
【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.
二、多选题
9. 已知函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据图象求出的解析式，进而根据三角函数的图象和性质求解ABD，根据三角函数图象平移法则判断C.
【详解】由图象可知，，，
所以函数最小正周期，所以，
又，即，
所以，所以，
由，得，所以，所以，A选项正确；
当时，，因为函数在上单调递增，
所以在区间上单调递增，B选项正确；
将的图象向左平移个单位，得函数的图象，
其中，不是函数最值，则y轴不是函数图象的对称轴，
所以不是偶函数，C选项错误；
，
所以，D选项正确.
故选：ABD
10. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）．
A. 若，，，则符合条件的有两个
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则的最小值为
D. 若点P在所在平面且，，则点P的轨迹经过的外心．
【答案】CD
【解析】
【分析】利用正弦定理解三角形可判断A选项；利用余弦定理可判断B选项；利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；BC的中点为D，利用平面向量数量积证明，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由正弦定理可得，则，
故不存在，A选项错误；
对于B选项，，由正弦定理得，则，
只能说明C是锐角，另外两个角不一定是锐角，所以B选项错误；
对于C选项，因为，
因为，则，则，
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，故的最小值为，C选项正确；
对于D选项，设线段BC的中点为D，连接PD，
由，可得，所以，，
由，
可得，
所以，
，
即，所以，点P的轨迹经过的外心，D选项正确．
故选：CD．
11. 圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．
A. 的最大值为6B.
C. 恒成立D. 满足点C仅有一个
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断B；根据极化恒等式可判断C；令，得到可判断D.
【详解】由题意，以O为原点，以平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，设，，
对于A，，
∵，∴，∴，
∴的最大值为6，故A正确；
对于B，
∴
∵，∴，∴，故B正确；
对于C，取AB的中点为E，则，故C错误；
对于D，当时，即，解得，
∵，∴或，即符合条件的点C有两个，故D错误．
故选：AB．
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
三、填空题
12. 复数满足，①；②；③复数的虚部为；④是方程在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为_______．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据复数的几何意义计算进而判断①；根据共轭复数的概念判断②；根据复数的实部、虚部概念判断③；将代入方程计算验证即可判断④.
【详解】因为，
则，故选项①正确；
，故选项②错误；
复数的虚部为2，故选项③错误；
因为，
故是方程在复数范围内的一个解，故选项④正确．
故答案为：①④．
13. “丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7:30分， 2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际.由主碑和副碑组成.纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七·二八”这一难忘时刻（如图1）.唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物，高约为16.5，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，纪念碑顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得纪念碑顶部的仰角为15°，则纪念碑的高度约为_____米．
【答案】
【解析】
【分析】由题意只需求出的长，在中运用正弦定理求解即可.
【详解】由题意，为等腰直角三角形，设，则，，
在中，，
在中，，，则，
根据正弦定理，，解得，即为纪念碑高度.
故答案为：
14. 定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记，其中是非零向量、的夹角，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为__________，
【答案】
【解析】
【分析】由向量的新定义结合数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，所以，则，
所以，，
设向量与的夹角为，
因为
，
，
，
则，
故答案为：.
四、解答题
15. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量、的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出，再由，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值；
（2）当时，求出向量的坐标，由题意可知，且与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因向量，，且，
则，，则，可得，
所以，，解得.
【小问2详解】
解：当时，，则，
因为与的夹角为锐角，则，解得，
且与不共线，则，可得，
综上所述，实数的取值范围是.
16. （1）计算；
（2）已知，，，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的乘除运算和的周期性计算即可；
（2）结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得，，然后利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以.
（2）由且，可得，
又由且，可得，
因为，可得，
又因为
.
17. 已知，，，函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，，角A的平分线交BC于D，求AD的长.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律及坐标运算结合三角恒等变换化简函数，再利用函数的周期求得解析式，最后利用结论法求得单调递增区间；
（2）先求出角A，再利用余弦定理求得，最后利用面积分割建立方程求解.
【小问1详解】
因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，
故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
【小问2详解】
由（1）及，即，
又，所以，解得，
因为，，由余弦定理：可得：或（舍）,
又，所以，
所以.
18. 在中，为中点，为的中点，过点作一条直线分别交线段，于点，．
（1）若，，，，求；
（2）求与面积之比的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意求得，再结合数量积的运算律即可求解；
（2）先设，再根据题意求得，再根据平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
依题意可得，，
又，则，
所以，
所以，
所以，
故．
【小问2详解】
设，
由为的中点，为的中点，
则，
又三点共线，则，
所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，即．
19. 如图，半圆O的直径为，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设．
（1）当时，求四边形OACB的周长；
（2）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求．
（3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）中，由余弦定理求出，于是四边形OACB的四条边长都已知，可求周长；
（2）由，得，取等号时，由，由余弦定理求出，再用余弦定理求，可得；
（3）四边形OACB的面积为，表示成关于的函数，结合正弦函数的性质求最大值．
【小问1详解】
中，，，，
由余弦定理得，
即，于是四边形OACB的周长为．
【小问2详解】
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即OC的最大值为6，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
【小问3详解】
在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形OACB的面积为
，
当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为，
所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为．
一、单选题
1. ,,的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
在单位圆中作出1弧度角的正弦线、余弦线、正切线，由图可观察出它们的大小．
【详解】如图所示,作出1弧度角的正弦线､余弦线､正切线分别为,,,由图知,,,且,所以.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数线的应用．三角函数线可能用来求三角函数值，解三角不等式，比较三角函数式的大小等．
2. 若，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出为纯虚数的实数a的值，再判断以“”与“为纯虚数”分别为题设、结论和结论、题设的两个命题真假即可得解.
【详解】因，则为纯虚数，当且仅当， 即或，
于是有为纯虚数，而为纯虚数，
所以“”是“为纯虚数”的充分非必要条件.
故选：A
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据求出，根据求值.
【详解】，，
，
.
故选：B.
4. 如图所示的矩形中，，满足，，G为EF的中点，若，则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】以为基底，根据平面向量线性运算即可求解.
【详解】因为，，G为EF的中点，
所以
，
所以，所以.
故选：A
5. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C. 3D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知结合投影向量的概念得出，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B.
6. 如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且，，，，，则该圆的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直角三角形求出,再利用余弦定理求出,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积.
【详解】连接AC，
在中，，，，
则，
所以，，
因为，所以，
所以，，
所以，
所以，
设该圆的半径为R，则，
所以该圆的面积为．
故选：B．
7. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，，点E，F分别在，上，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围.
【详解】设，则，因为，
所以，
又，所以，所以，
所以的取值范围是.
故选：D
8. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合面积公式，可得出，由余弦定理得出，再用正弦定理化边为角，得出，把所求式子用角表示，并求出角范围，最后用基本不等式求最值.
【详解】因为，即，
所以，因为，
所以，由余弦定理，
可得，
再由正弦定理得，
因为，
所以，所以或，
得或（舍去）.因为是锐角三角形，
所以，得，即，
所以，
当且仅当，取等号.
故选:A
【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.
二、多选题
9. 已知函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）．
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据图象求出的解析式，进而根据三角函数的图象和性质求解ABD，根据三角函数图象平移法则判断C.
【详解】由图象可知，，，
所以函数最小正周期，所以，
又，即，
所以，所以，
由，得，所以，所以，A选项正确；
当时，，因为函数在上单调递增，
所以在区间上单调递增，B选项正确；
将的图象向左平移个单位，得函数的图象，
其中，不是函数最值，则y轴不是函数图象的对称轴，
所以不是偶函数，C选项错误；
，
所以，D选项正确.
故选：ABD
10. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）．
A. 若，，，则符合条件的有两个
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则的最小值为
D. 若点P在所在平面且，，则点P的轨迹经过的外心．
【答案】CD
【解析】
【分析】利用正弦定理解三角形可判断A选项；利用余弦定理可判断B选项；利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；BC的中点为D，利用平面向量数量积证明，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由正弦定理可得，则，
故不存在，A选项错误；
对于B选项，，由正弦定理得，则，
只能说明C是锐角，另外两个角不一定是锐角，所以B选项错误；
对于C选项，因为，
因为，则，则，
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，故的最小值为，C选项正确；
对于D选项，设线段BC的中点为D，连接PD，
由，可得，所以，，
由，
可得，
所以，
，
即，所以，点P的轨迹经过的外心，D选项正确．
故选：CD．
11. 圆O半径为2，弦，点C为圆O上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．
A. 的最大值为6B.
C. 恒成立D. 满足点C仅有一个
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设，分别写出，，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A；先写出的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断B；根据极化恒等式可判断C；令，得到可判断D.
【详解】由题意，以O为原点，以平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，设，，
对于A，，
∵，∴，∴，
∴的最大值为6，故A正确；
对于B，
∴
∵，∴，∴，故B正确；
对于C，取AB的中点为E，则，故C错误；
对于D，当时，即，解得，
∵，∴或，即符合条件的点C有两个，故D错误．
故选：AB．
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
三、填空题
12. 复数满足，①；②；③复数的虚部为；④是方程在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为_______．
【答案】①④
【解析】
【分析】根据复数的几何意义计算进而判断①；根据共轭复数的概念判断②；根据复数的实部、虚部概念判断③；将代入方程计算验证即可判断④.
【详解】因为，
则，故选项①正确；
，故选项②错误；
复数的虚部为2，故选项③错误；
因为，
故是方程在复数范围内的一个解，故选项④正确．
故答案为：①④．
13. “丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7:30分， 2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际.由主碑和副碑组成.纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七·二八”这一难忘时刻（如图1）.唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物，高约为16.5，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，纪念碑顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得纪念碑顶部的仰角为15°，则纪念碑的高度约为_____米．
【答案】
【解析】
【分析】由题意只需求出的长，在中运用正弦定理求解即可.
【详解】由题意，为等腰直角三角形，设，则，，
在中，，
在中，，，则，
根据正弦定理，，解得，即为纪念碑高度.
故答案为：
14. 定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记，其中是非零向量、的夹角，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角的余弦值为__________，
【答案】
【解析】
【分析】由向量的新定义结合数量积的运算律求解即可.
【详解】因为，所以，则，
所以，，
设向量与的夹角为，
因为
，
，
，
则，
故答案为：.
四、解答题
15. 已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量、的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出，再由，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值；
（2）当时，求出向量的坐标，由题意可知，且与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因向量，，且，
则，，则，可得，
所以，，解得.
【小问2详解】
解：当时，，则，
因为与的夹角为锐角，则，解得，
且与不共线，则，可得，
综上所述，实数的取值范围是.
16. （1）计算；
（2）已知，，，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的乘除运算和的周期性计算即可；
（2）结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得，，然后利用两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1）因为，且，
所以，
所以.
（2）由且，可得，
又由且，可得，
因为，可得，
又因为
.
17. 已知，，，函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，，，角A的平分线交BC于D，求AD的长.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律及坐标运算结合三角恒等变换化简函数，再利用函数的周期求得解析式，最后利用结论法求得单调递增区间；
（2）先求出角A，再利用余弦定理求得，最后利用面积分割建立方程求解.
【小问1详解】
因为，，
则，
，
故，
因为最小正周期为，所以，所以，
故，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
【小问2详解】
由（1）及，即，
又，所以，解得，
因为，，由余弦定理：可得：或（舍）,
又，所以，
所以.
18. 在中，为中点，为的中点，过点作一条直线分别交线段，于点，．
（1）若，，，，求；
（2）求与面积之比的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据题意求得，再结合数量积的运算律即可求解；
（2）先设，再根据题意求得，再根据平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可．
【小问1详解】
依题意可得，，
又，则，
所以，
所以，
所以，
故．
【小问2详解】
设，
由为的中点，为的中点，
则，
又三点共线，则，
所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，即．
19. 如图，半圆O的直径为，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．设．
（1）当时，求四边形OACB的周长；
（2）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC的长取最大值时，求．
（3）问：B在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为
【解析】
【分析】（1）中，由余弦定理求出，于是四边形OACB的四条边长都已知，可求周长；
（2）由，得，取等号时，由，由余弦定理求出，再用余弦定理求，可得；
（3）四边形OACB的面积为，表示成关于的函数，结合正弦函数的性质求最大值．
【小问1详解】
中，，，，
由余弦定理得，
即，于是四边形OACB的周长为．
【小问2详解】
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即OC的最大值为6，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
【小问3详解】
在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形OACB的面积为
，
当，即时，四边形OACB的面积取得最大值为，
所以，当B满足时，四边形OACB的面积最大，最大值为．
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