2024年上海市浦东新区高三下学期高考二模数学试卷含答案

这是一份2024年上海市浦东新区高三下学期高考二模数学试卷含答案，共14页。

1．已知集合，集合，则____________．
2．若复数（是虚数单位），则____________．
3．已知等差数列满足，，则____________．
4．的二项展开式中项的系数为____________．（用数值回答）
5．已知随机变量服从正态分布，若，则____________．
6．已知是奇函数，当时，，则的值是____________．
7．某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门．已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________．
8．已知圆（），圆，若两圆相交，则实数的取值范围为___________．
9．已知，则不等式的解集为____________．
10．如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱．光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心．当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为____________．
11．已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为____________．
12．正三棱锥中，底面边长，侧棱，向量，满足，，则的最大值为____________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分．
13．“”是“直线与直线平行”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．已知，则下列结论不恒成立的是（ ）．
A．B．
C． D．
15．通过随机抽样，我们绘制了如图所示
的某种商品每千克价格（单位：百元）
与该商品消费者年需求量（单位：千
克）的散点图．若去掉图中右下方的
点后，下列说法正确的是（ ）．
A．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D．“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：
= 1 \* GB3 ① 存在，使得为常数列；
= 2 \* GB3 ② 存在，使得为公差不为零的等差数列．
那么（ ）．
A． = 1 \* GB3 ①正确， = 2 \* GB3 ②错误 B． = 1 \* GB3 ①错误， = 2 \* GB3 ②正确
C． = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②都正确 D． = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②都错误
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数，其中．
（1）求在上的解；
（2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面底面，其中∥，，,，点为中点．
证明：∥平面；
求二面角的大小．
19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
某商店随机抽取了当天100名客户的消费金额，并分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若该店当天总共有1350名客户进店消费，试估计其中有多少客户的消费额不少于800元；
（2）若利用分层随机抽样的方法从消费不少于800元的客户中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调查，则抽到的2人中至少有1人的消费金额不少于1000元的概率是多少；
（3）为吸引顾客消费，该商店考虑两种促销方案．
方案一：消费金额每满300元可立减50元，并可叠加使用；
方案二：消费金额每满1000元即可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响．中奖1次当天消费金额可打9折，中奖2次当天消费金额可打6折，中奖3次当天消费金额可打3折．
若两种方案只能选择其中一种，小王准备购买的商品又恰好标价1000元，请帮助他选择合适的促销方案并说明理由．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若椭圆上点满足，求的值；
（2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；
（3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数及其导函数的定义域均为．设，曲线在点处的切线交轴于点．当时，设曲线在点处的切线交轴于点．依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”．
（1）若，是函数关于的“数列”，求的值；
（2）若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比；
（3）若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由．
答案
一、填空题
1．． 2．． 3．． 4. ． 5．． 6．．
7．． 8．． 9．． 10．． 11．． 12．．
二、选择题
13．C 14．B 15．D 16．C
三、解答题
17．【解析】
（1）由题，原式等价于求在上的解.
从而有或，
解得或，
又，所以或.
因此在上的解为、.
（2）由题，
故在时有解
等价于在时有解.
可知, 因而
所以，实数的取值范围是.
18．【解析】
（法一）（1）证明：取中点，连接，
在△中，点为的中点、点为的中点，
所以∥，.
又∥, .
因此∥，.
所以，四边形为平行四边形.
得∥，又平面，而在平面外，
所以，∥平面.
（2）取中点，过作，垂足为，连接
由题，，为的中点，所以.
又平面底面，
平面平面，且平面，
因而平面,故,.
又，故平面.
得.又，
所就是二面角的平面角.
经计算，在△中，；
在△中，，，故
又, 得.
因而，在△中,
所以二面角的大小.
（法二）（1）取中点，
因为，为中点，所以.
又平面底面，
平面平面，平面，
所以.
取中点，显然，.
如图，以点为坐标原点，分别以射线、、为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
由题意得，、，故.
又、、，
故，.
设平面的法向量，则有
不妨取，则，, 即.
经计算得，故.
又在平面外，所以∥平面.
（2）由题（1）知，平面的法向量，平面的法向量，
从而,
因此，二面角的大小为.
19．【解析】
（1）我们利用通过抽样获得的100名客户的样本信息来估计总体的分布情况可得：
人.
（2）当日消费金额在和（单位：元）的人数所占比例为，
所以抽取的人中有2人消费金额在（单位：元），有4人消费金额在（单位：元）.
记“抽到的2人中至少1人消费额不少于1000元”为事件，
则，
所以抽到的2人中至少1人消费金额不少于1000元的概率为.
（3）若选方案一，只需付款元；
若选方案二，设付款金额为元，则可分别取、、、元，其中
，
，
，
，
所以元，
因为，
所以应选择第二种促销方案.
20．【解析】
（1）由题得，，设点，代入椭圆方程，得，
因而.
由，得.
（2）设动点，
则
由题，取得最小值时点恰与点重合，
即函数在处取得最小值，
又，因而，得.
因此，实数的取值范围为.
（3）设，，
由,得，
又点在椭圆上，代入得，
化简得，
又点、在椭圆上，得（*）.
由题，可设直线.
联列直线与椭圆方程，得，得.
故，
因而.
代入（*）式，得,
因而，（等号当且仅当时成立）
即（等号当且仅当时成立）.
所以，的最大值为.
21．【解析】
（1）曲线在点处的切线斜率为，又
故曲线在点处的切线方程为，
令，得.
所以.
（2）由题，在处的切线方程为
令，可得，即.
故，即.
又，故.
因此是以为首项，2为公比的等比数列.
（3）由题，，
故以为切点的切线方程为.
令,可得到.
当时，函数的大致图像如图所示:
因为等价于,
因此，当时，数列严格增；同理，当时，数列严格减.
所以不存在使得是周期数列.
= 2 \* GB3 ② 当时，函数的大致图像如图所示:
令,可得，即.
依此类推，显然可得，…，.
所以，当时，数列为周期数列，且周期.
下证唯一性：
当时，；
因此,数列严格减；
当时，，
所以，
因此数列严格增.
综上,当时，不存在,使得为周期数列；
当时，当且仅当时，函数关于的“数列”为周期数列，且周期.