2022-2023学年上海市浦东新区高考数学二模试卷（含答案解析）

2022-2023学年上海市浦东新区高考数学二模试卷

1.  已知集合，，则______ .

2.  若复数z满足是虚数单位，则复数______ .

3.  若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为______ 结果保留

4.  的二项展开式中项的系数为______ .

5.  设随机变量X服从正态分布，且，则______ .

6.  双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为______ .

7.  投掷一颗骰子，记事件，，则______ .

8.  在中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c，若，则______ .

9.  函数在区间上的最小值为______ .

10.  已知，，函数在区间上有唯一的最小值，则的取值范围为______ .

11.  已知边长为2的菱形ABCD中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是______ .

12.  已知，设，，其中k是整数.若对一切，都是区间上的严格增函数.则的取值范围是______ .

13.  已知，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

14.  某种产品的广告支出x与销售额单位：万元之间有如表关系，y与x的线性回归方程为，当广告支出6万元时，随机误差的效应即离差真实值减去预报值为(    )

A.  B.  C.  D.

15.  在空间中，下列命题为真命题的是(    )

A. 若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行
B. 若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直
C. 若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直
D. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直

16.  已知函数，其导函数为，有以下两个命题：
①若为偶函数，则为奇函数；
②若为周期函数，则也为周期函数.
那么(    )

A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题

17.  已知数列是首项为9，公比为的等比数列.
求的值；
设数列的前n项和为，求的最大值，并指出取最大值时n的取值.

18.  如图，三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，，F、H分别为ED、EA的中点.
求证：平面AFC；
求平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值.

19.  为了庆祝党的二十大顺利召开，某学校特举办主题为“重温光辉历史展现坚定信心”的百科知识小测试比赛.比赛分抢答和必答两个环节，两个环节均设置10道题，其中5道人文历史题和5道地理环境题.
在抢答环节，某代表队非常积极，抢到4次答题机会，求该代表队至少抢到1道地理环境题的概率；
在必答环节，每个班级从5道人文历史题和5道地理环境题各选2题，各题答对与否相互独立，每个代表队可以先选择人文历史题，也可以先选择地理环境题开始答题.若中间有一题答错就退出必答环节，仅当第一类问题中2题均答对，才有资格开始第二类问题答题.已知答对1道人文历史题得2分，答对1道地理环境题得3分.假设某代表队答对人文历史题的概率都是，答对地理环境题的概率都是请你为该代表队作出答题顺序的选择，使其得分期望值更大，并说明理由.

20.  椭圆C的方程为，A、B为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，P为椭圆上的动点.
求椭圆的离心率；
若为直角三角形，求的面积；
若Q、R为椭圆上异于P的点，直线PQ、PR均与圆相切，记直线PQ、PR的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点P，使得？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

21.  设P是坐标平面xOy上的一点，曲线是函数的图像.若过点P恰能作曲线的k条切线，则称P是函数的“k度点”.
判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
已知，证明：点是的0度点；
求函数的全体2度点构成的集合.

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，

故答案为：
求解一元二次不等式化简A，再由交集运算的定义得答案．
本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则
故答案为：
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设圆柱底面圆半径为r，根据已知可得，解得，
故底面圆周长为，则圆柱的侧面积为
故答案为：
根据底面积求得底面圆半径以及底面圆周长即可求得圆柱的侧面积．
本题考查圆柱的侧面积公式，属于基础题．
 

4.【答案】270 

【解析】解：由二项式定理可得展开式中含项的系数为
故答案为：
利用二项式定理即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：X服从正态分布，其正态分布曲线关于y轴对称，
由对称性可知
故答案为：
由正态分布曲线的对称性进行求解即可．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
 

6.【答案】2 

【解析】解：双曲线方程为，
双曲线的右焦点F坐标为，
渐近线为，即，
可得焦点F到其渐近线的距离为
故答案为：
由双曲线方程，算出右焦点F为，渐近线为由点到直线的距离公式加以计算，结合双曲线基本量的关系化简，即可求出焦点F到其渐近线的距离．
本题给出双曲线方程，求它的焦点F到渐近线的距离．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
则
故答案为：
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于，
利用正弦定理：，
由于，
故，
所以，故，
所以
故答案为：
直接利用正弦定理和同角三角函数的关系式的变换及二倍角公式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，当且仅当，即时，等号成立，
即函数在区间上的最小值为
故答案为：
利用对数的运算性质化简函数解析式可得，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
由，知，
因为函数y在区间上有唯一的最小值，
所以解得
故答案为：
由辅助角公式化简可得，再结合正弦函数的图象与性质，即可得解．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的图象与性质，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接BD，AC，设BD，AC交于点O，则，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：

，，内切圆的半径为，
，且P，Q点在内切圆上，
设，，，
，
，
，设，
，
时，取最大值，
的最大值为
故答案为：
可连接BD，AC，设BD交AC于点O，可得出，以点O为原点，BD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出，，内切圆的半径为，且设，，从而得出，可设，从而可得出，然后配方即可求出最大值．
本题考查了通过建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的数量积运算，圆的标准方程，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
则方程满足，
因为，
所以，
①当无解时，即，时，对于任意的都有，即恒成立，
所以在上严格增．
②当有解时，即，时，
取，则，，
设的两个根为，，
则，
所以，均为大于0，
所以在，上严格递增，在上严格递减，不满足条件，
综上所述，的取值范围为
故答案为：
根据题意可得，由于若对一切，都是区间上的严格增函数，则方程满足，分两种情况：①当无解时，②当有解时，的取值范围，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

13.【答案】B 

【解析】解：因为时，，所以不成立，即充分性不成立；
时，，成立，即必要性成立；
所以是必要不充分条件．
故选：
分别判断充分性与必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
 

14.【答案】A 

【解析】解：，当时，
当广告支出6万元时，离差为
故选：
由线性回归方程求得时的预报值，再由离差的定义得答案．
本题考查线性回归方程的应用，考查离差的求法，是基础题．
 

15.【答案】D 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行、垂直或相交，A错误；
对于B，若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面可以互相平行，B错误；
对于C，若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线可以与另外一个平面平行，C错误；
对于D，由直线与平面垂直的性质可得：若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确．
故选：
根据题意，由直线与平面平行、垂直的性质分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，注意直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题．
 

16.【答案】D 

【解析】解：对于①，若为偶函数，则不一定为奇函数，如，是偶函数，不是奇函数，①是假命题；
对于②，令，则，为常数，显然不是周期函数，②是假命题．
故选：
对于①，举例，设，，是偶函数，不是奇函数，①为假命题；对于②，举例，设，则，为常数，显然不是周期函数，②为假命题．
本题考查了基本初等函数的求导公式，偶函数和奇函数的定义，周期函数的定义，考查了计算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：已知数列是首项为9，公比为的等比数列，
则数列是以为首项，3为公比的等比数列，
即；
由题意可得，
则，
则，
又，
则当或时，取最大值 

【解析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，然后结合等比数列的前n项和公式求解即可；
由题意可得，然后结合等差数列的前n项和公式求解即可．
本题考查了等比数列及等差数列，重点考查了等比数列及等差数列的前n项和公式，属基础题．
 

18.【答案】解：证明：连接FH，如图所示：

、H分别为ED、EA的中点，
在中，且，
，，，
且，
四边形FHBC是平行四边形，
，
又平面平面AFC，平面AFC，
平面AFC；
三角形EAD与梯形ABCD所在的平面互相垂直，即平面平面ABCD，，
又平面平面，平面EAD，
平面ABCD，
又平面ABCD，则，
则建立以A为原点的空间直角坐标系，如图所示：
，，则，，，，
，，
由得平面EAB的法向量为，
设平面ACF的一个法向量为，
则，取，则，，
平面ACF的一个法向量为，
设平面ACF与平面EAB所成锐二面角为，
，，
故平面ACF与平面EAB所成锐二面角的余弦值为 

【解析】连接FH，由题意得且，结合题意可得且，即四边形FHBC是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
由题意得平面平面ABCD，，可得，建立以A为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
本题考查空间中直线与平面的位置关系和二面角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：从10道题中随机抽取4道题，所有的基本事件的个数为，
将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为A，事件A的对立事件为“某代表队抢到至少1道地理环境题”，
则；
情况一：某代表队先答人文历史题，再答地理环境题，
设该代表队必答环节的得分为X，，2，4，7，10，
，
，
则X的分布列为：

此时得分期望；
情况二：某代表队先答地理环境题，再答人文历史题，
设该代表队必答环节的得分为Y，，3，6，8，10，
，
，
则Y的分布列为：

此时得分期望；
由于，故为了使该代表队必答环节得分期望值更大，该代表队应该先答人文历史题，再答地理环境题． 

【解析】先求出“某代表队没有抢到地理环境题”的概率，再由对立事件即可求出答案；
分别求出某代表队先答人文历史题，再答地理环境题和先答地理环境题，再答人文历史题的数学期望，比较它们大小即可得出答案．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
 

20.【答案】解：由椭圆C的方程为，得标准方程为，
，离心率
设，，
当时，，，，
此时；，
由对称性，不妨设时，且P在第一象限，则，
此时；，
综上，的面积为或
设，则直线PQ的方程为，
由已知，
同理：，
因而，，是方程的两根，所以，
得，由P在第一象限得，
存在位于第一象限的点P，使得，点P的坐标为 

【解析】由已知易求椭圆的离心率；
分，两种情况可求的面积；
设，则直线PQ的方程为，可得，进而可得，可求P的坐标．
本题考查椭圆的几何性质，考查三角形的面积，考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．
 

21.【答案】解：由题意，设，则曲线在点处的切线方程为，
该切线过原点O时，，解得，故原点O是函数的一个1度点；
又因为该切线过点，所以，
设，则，令，得，
所以时，，单调递减；时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，且，
所以无解，点不是函数的1度点；
证明：设，，则曲线在点处的切线方程为，
则该切线过点，当且仅当，
设，，时，，
故在区间上单调递增，
当时，，恒不成立，即点是的一个0度点；
，
对任意，曲线在点处的切线方程为，
故点为函数的一个2度点当且仅当关于t的方程恰有两个不同的实数解，
设，则点为函数的一个2度点，当且仅当有两个不同的零点，
若，则在R上严格增，只有一个零点，不合要求；
若，，令得或，
由或时，，得严格增；当时，，得严格减，
故在时取得极大值，在时取得极小值，
又，，
当时，由零点存在定理，在，，上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求；
故有两个不同零点当且仅当或，
若，同理可得有两个不同零点当且仅当或，
综上，函数的全体2度点构成的集合为或， 

【解析】是的1度点，不是的1度点；
求导得，设，可得出曲线在点处的切线方程为，该切线过点时，，然后设，然后根据导数符号可判断在上单调递增，从而得出方程无解，这样即可得出要证明的结论；
求导得出，设，可得出曲线在处的切线方程为，设点为函数的2度点，从而得出关于t的方程恰有两个不同的实数解，设，则有两个不同的零点，讨论a：时，可得出不合要求；时，，根据可求出的极大值和极小值，并可得出，，然后讨论极大值和极小值和0的关系即可得出函数的2度点构成的集合．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据导数求函数极大值和极小值的方法，函数零点个数的判断方法，考查了计算能力，属于难题．