2024年上海市虹口区高三下学期高考二模数学试卷含答案

这是一份2024年上海市虹口区高三下学期高考二模数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了 4， 本考试分设试卷和答题纸，016和0等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1. 本试卷共4页，21道试卷，满分150分，考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的
相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．若 则cs2 x = _______.
2．已知一个球的表面积为36 ，则该球的体积为_______.
3．过抛物线焦点的弦AB的中点横坐标为2，则弦AB的长度为_________.
4．已知集合
5．已知随机变量X～B(50，p)，且E [X ] ＝20，则D [X ] = _______.
6． 3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为________.
7．已知一个三角形的三边长分别为2,3,4, 则这个三角形外接圆的直径为________.
8. 已知等比数列是严格减数列，其前项和为若成等差数列，则=_________.
9．已知平面向量满足若平面向量满足则的最大值为_________.
图1
图2
10．从某个角度观察篮球（如图1）可以得到
一个对称的平面图形（如图2），篮球的外
轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐
标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆
的交点将圆的周长8等分，且
（第10题图）
则该双曲线的离心率为_________.
11．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，
且若AB=AA1= 2, 点M为棱CC1的中点，点P
在A1B上，则线段P A，PM的长度和的最小值为________.
12．已知关于的不等式对任
意均成立，则实数的取值范围为________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．欧拉公式eiθ=csθ+i sinθ把自然对数的底数e,虚数单位i，三角函数csθ和sinθ联系在一起,被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则 （ ）
A. B. C. D.
14．设，将函数的图像沿x轴向右平移个单位，得到函数的图像，则 （ ）
A. 函数y =是偶函数
B. 函数y =的图像关于直线对称
C. 函数y =在上是严格增函数
D. 函数y =在上的值域为
15．给出下列4个命题：
① 若事件A和事件B互斥，则
② 数据2,3,6,7，8, 10,11,13的第70百分位数为10 ；
= 3 \* GB3 ③ 已知y关于x的回归方程为，则样本点的离差为；
= 4 \* GB3 ④ 随机变量X的分布为则其数学期望1.6.
其中正确命题的序号为 （ ）
A．① ② B．① = 3 \* GB3 ③ C．② = 3 \* GB3 ③ D．② = 4 \* GB3 ④
16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是 （ ）
A. ① ②都是假命题 B. ① ②都是真命题
C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列前项和为且，若，求正整数的最小值．
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
如图，在三棱柱中，为
的中点，
（1）求证：平面；
（2）若平面点P在棱上，且
平面, 求直线CP与平面所成角的正弦值．
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
(1) 求样本质量差的平均数；假设零件的质量差X ～，其中，用作为的近似值，求的值；
(2) 已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.
若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.
现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量X～，则 ，
， .
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的焦距为点P( 0, 1)在椭圆上，动直线 l 与椭圆相交于不同的两点A, B, 且直线PA, PB的斜率之积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的法向量为求直线l的方程；
(3)是否存在直线 l ,使得为直角三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若函数满足：对任意都有，则称函数具有性质.
（1）设分别判断与是否具有性质？并说明理由；
（2）设 若函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）已知函数具有性质 且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.
参考答案和评分标准 2024年4月
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分 ）
1． 2．36π 3.6 4． 5．12 6. 144
7. 8．3 9. 10． 11． 12.
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. A 14. D 15. C 16. B
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
解：(1)设等差数列的公差为，则由条件，得，…… 3分
解得，，故． …… 6分
（2）由（1）可得，则 …… 8分
所以故数列是以为首项、8为公差的等差数列，
故 ……11分
因为，所以，所以，
所以或．因为为正整数，所以的最小值是10． ……14分
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
证：（1）连接B与CB1底相交于点E，因四边形为平行
四边形，所以点E是B的中点. ……2分
又因为的中点，故为的中位线，从而
……4分
故由，得
平面. ……6分
解：(2)由条件知两两垂直，故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系;则相关点的坐标为：
…… 8分
设点则
从而由得
所以点 …… 10分
设平面的一个法向量为则
即
取得 …… 12分
设直线CP与平面所成的角为 则
…… 14分
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
解：（1）由条件得：样本平均数为…… 2分
由得：
……4分
……6分
（2）（i）设A=“随机抽取该企业生产的一个零件，该零件为废品”，“随机抽取的一个零件为第1条生产线生产”， “随机抽取一件零件为第2条生产线生产”.
则由题意可知 ……8分
于是由全概率公式，得
即从该企业抽取的零件为废品的概率为0.015. ……11分
（ii）由条件概率公式, 抽取的零件为废品，其来自第1生产线的概率为：
. ……14分
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
解：（1）由条件知 ………2分
所以 于是椭圆的方程为 ………4分
（2）由条件知：直线PA的斜率为，方程为
则由得， 所以从而 ………6分
由于，所以直线PB的方程为同理可得
所以直线l的斜率为， ………8分
从而直线l的方程为 即 ……10分
（3）假设存在满足条件的直线l，并设直线PA的方程为则由得 所以． ………12分
由于，所以直线PB的方程为同理可得
故直线l的斜率为
当为直角三角形时，只有可能 于是
若，由可得
若，由可得
因此，直线l的斜率为 ………18分
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
解：（1）不具有性质.理由：取，有.…2分
具有性质.理由：对任意，，有
. ……4分
（2）函数具有性质，故对，，都有，而是奇函数，故，即是严格增函数，恒成立.
……7分
若，则，解得；
若，则恒成立；
若，则，解得.
综合上述，实数a的取值范围为 ……10分
证明：（3）因函数的定义域为,要证明是奇函数，只要证明：对任意实数即可.
对任意实数设则由具有性质知：当时，
= 1 \* GB3 ① ……12分设当时，由 = 1 \* GB3 ①得
= 2 \* GB3 ② ……14分
当时，由 = 1 \* GB3 ①得
= 3 \* GB3 ③
于是由曲线的连续性，函数在上存在零点即
= 4 \* GB3 ④ ……16分
由函数在上严格增，知：函数在上严格增；所以由 = 2 \* GB3 ②知由 = 3 \* GB3 ③知故
故由 = 4 \* GB3 ④得：即对任意对任意实数均有；
因此，函数是奇函数. ……18分
另证：（3）由具有性质，知：当时，当时，
由零点存在定理知，即. ……12分
下面用反证法证明是奇函数.
假设存在使得，不妨设，则由在上严格增，知.
若，则构造函数，
，
，
由零点存在定理知，存在使得, ……14分
即；而在上严格增，同样由单调性知
，
从而有，与具有性质矛盾.……16分
若，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾.
综合上述，存在使得的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数. ……18分
质量差（单位：）
54
57
60
63
66
件 数（单位：件）
5
21
46
25
3