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2024年上海市虹口区高三下学期高考二模数学试卷
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这是一份2024年上海市虹口区高三下学期高考二模数学试卷，共4页。试卷主要包含了本考试分设试卷和答题纸等内容，欢迎下载使用。
2024.4
考生注意：
1.本试卷共4页，21道试卷，满分150分，考试时间120分钟，
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.若，则__________.
2.已知一个球的表面积为，则该球的体积为__________.
3.过抛物线焦点的弦的中点横坐标为2，则弦的长度为__________.
4.已知集合，则__________.
5.已知随机变量，且，则__________.
6.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为__________.
7.已知一个三角形的三边长分别为，则这个三角形外接圆的直径为__________.
8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________.
9.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________.
10.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分，且，则该双曲线的离心率为__________.
11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________.
12.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.
二､多选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被䩧为“数学的天桥”.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
14.设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A.函数是偶函数
B.函数的图像关于直线对称
C.函数在上是严格增函数
D.函数在上的值域为
15.给出下列4个命题：
①若事件和事件互斥，则；
②数据的第70百分位数为10；
③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为-0.7；
④随机变量的分布为，则其数学期望.
其中正确命题的序号为（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A.①②都是假命题 B.①②都是真命题
C.①是假命题，②是真命题 D.①是真命题，②是假命题
三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱柱中，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
（1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量，则.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线为的法向量为，求直线的方程；
（3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.
（1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由；
（2）设函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.质量差（单位：）
54
57
60
63
66
件数（单位：件）
5
21
46
25
3
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考生注意：
1.本试卷共4页，21道试卷，满分150分，考试时间120分钟，
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.若，则__________.
2.已知一个球的表面积为，则该球的体积为__________.
3.过抛物线焦点的弦的中点横坐标为2，则弦的长度为__________.
4.已知集合，则__________.
5.已知随机变量，且，则__________.
6.3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为__________.
7.已知一个三角形的三边长分别为，则这个三角形外接圆的直径为__________.
8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________.
9.已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________.
10.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分，且，则该双曲线的离心率为__________.
11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________.
12.已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________.
二､多选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被䩧为“数学的天桥”.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
14.设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（ ）
A.函数是偶函数
B.函数的图像关于直线对称
C.函数在上是严格增函数
D.函数在上的值域为
15.给出下列4个命题：
①若事件和事件互斥，则；
②数据的第70百分位数为10；
③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为-0.7；
④随机变量的分布为，则其数学期望.
其中正确命题的序号为（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
16.已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题：
①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有.
则下列判断正确的是（ ）
A.①②都是假命题 B.①②都是真命题
C.①是假命题，②是真命题 D.①是真命题，②是假命题
三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知等差数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值.
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱柱中，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
（1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.
（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量，则.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线为的法向量为，求直线的方程；
（3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质.
（1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由；
（2）设函数具有性质，求实数的取值范围；
（3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数.质量差（单位：）
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件数（单位：件）
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