2024年天津市河西区南开翔宇学校中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2024年天津市河西区南开翔宇学校中考数学一模试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算−3×2−8÷(−2)的结果是( )
A. 2B. −2C. −10D. 7
2.估算2 3× 2−2的值在( )
A. 0到1之间B. 1到2之间C. 2到3之间D. 3到4之间
3.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.华为Mate60系列的上市代表着国产芯片的突破.华为Mate60搭载的芯片麒麟9000S是华为自家研发的，采用了5nm制程工艺，拥有更高的性能和更低的功耗.5nm=0.000000005m，则数字0.000000005用科学记数法表示为( )
A. 5×10−8B. 0.5×10−8C. 5×10−9D. 5×10−10
6.sin30°+tan60°cs45°的值是( )
A. 1+ 32B. 3+ 66C. 1+ 62D. 3 3+ 66
7.计算：9a2−3a−aa−3的结果是( )
A. a+3aB. −a+3aC. a−3aD. −a−3a
8.在反比例函数y=−a2−1x(a为常数)的图象上有A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)三点，若x1A. y19.若x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则x12x22+4x1+4x2的值为( )
A. 4B. −3C. 0D. 1
10.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD相交于点N，连接ON.若AB=11，AC=6，则ON的长为( )
A. 2.5B. 3C. 3.5D. 4
11.如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，则下列说法不一定正确的是( )
A. ∠EAC=∠B
B. △EDC是等腰三角形
C. ∠AED=∠EAC
D. BD2+AD2=ED2
12.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；有下列结论：①降价8元时，数量为36件；②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元；③商场平均每天盈利最多为1250元.正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.有四张背面完全相同正面分别写有数字1，2，3，4的卡片.将其背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率是______．
14.(a3)2÷(a⋅a3)+a2= ______．
15.计算：( 3+ 2)( 3− 2)2= ______．
16.已知直线y=kx+b与y=2x+1平行，且经过点(−3,4)，则b= ______．
17.在等边△ABC中，点F为CB延长线上一点，点D是AC的中点，连接DF交AB于点M，以DF为边向下作等边△DFE，连接CE、ME，若ME⊥DF，BM+BF=6，则CE的长为______．
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心OA长为半径的圆交OB于点C．
(Ⅰ)线段BC的长等于______；
(Ⅱ)若BD切⊙O于点D，P为OA上的动点，当BP+DP取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，P，并简要说明点D，P的位置是如何找到的(不要求证明) ______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.桃园大桥是随州城区第二座景观桥，远远望去，桥身的红色立柱像四根大火炬．如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN.在桥面观测点A处测得某根立柱顶端M的仰角为30°，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15°，向立柱方向走40米到达观测点B处，测得同一根立柱顶端M的仰角为60°.已知点A，B，C，M，N在同一平面内，桥面与水面平行，且MN垂直于桥面．
(1)求大桥立柱在桥面以上的高度MC(结果保留根号)；
(2)求大桥立柱在水面以上的高度MN(结果精确到1米)．
(参考数据：sin15°≈0.26，cs15°≈0.96，tan15°≈0.27， 3≈1.73)
四、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
解不等式组2(x−1)≤3x−1①x+13>x−22+1②，请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得______；
(2)解不等式②，得______；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为______．
21.(本小题8分)
某学校为了解学生某一周参加家务劳动的情况，从各年级共1200名学生中随机抽取了部分学生，对其参加家务劳动的次数进行了统计，绘制出如下的统计图①和图②.根据相关信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
(2)求统计的这组参加家务劳动次数数据的众数、中位数和平均数；
(3)根据统计的这组参加家务劳动次数数据，估计该校学生中这周参加家务劳动次数大于3的学生人数．
22.(本小题8分)
已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为AC上一点，连接BD、BC、DC．
(Ⅰ)如图1，若∠D=28°，求∠P的度数．
(Ⅱ)如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC=5，求CP的长．
23.(本小题8分)
甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，甲车离开A城的距离y1km与甲车离开A城的时间xh的对应关系如图所示，乙车比甲车晚出发12h，以60km/h的速度匀速行驶．
(Ⅰ)填空：
①A、B两城相距______km；
②当0≤x≤2时，甲车的速度为______km/h；
③乙车比甲车晚______h到达B城；
④甲车出发4h时，距离A城______km；
⑤甲，乙两车在行程中相遇时，甲车离开A城的时间为______h；
(Ⅱ)当0≤x≤5<“m“：mathxmlns：dsi=′http：′dsi：zmscale=′150′dsi：_mathzmed=′1′style=′CURSOR：pinter；DISPLAY：inline−blck′>2323时，请直接写出y1关于x的函数解析式．
(Ⅲ)当312≤x≤5时，两车所在位置的距离最多相差多少km？
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标为(5,3).将矩形AOBC绕点B顺时针旋得到矩形DEBF，点O的对应点E恰好落在AC上．将矩形DEBF沿射线EB平移，当点D到达x轴上时，运动停止，设平移的距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S．
(1)求AE的长；
(2)求S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
25.(本小题8分)
如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C；点P是第四象限抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，交x轴于点D，交BC与点E，
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P作PF⊥BC交BC于点F，求EF的最大值及此时点E的坐标；
(3)如图②点Q是线段OC上一点，且CQ=CF，连接QB，OF，点P在运动过程中，是否存在OF+BQ的值最小，若存在，请直接写出OF+BQ的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3×2−8÷(−2)
=−6+4
=−2，
故选：B．
先算乘除，后算加减，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：2 3× 2−2=2 6−2= 24−2，
∵ 16< 24< 25，
∴4< 24<5，
∴2< 24−2<3
∴2 3× 2−2的值在2到3之间，
故选：C．
先根据二次根式的乘法运算法则进行计算，然后利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】C
【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
5.【答案】C
【解析】解：0.000000005=5×10−9，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
6.【答案】B
【解析】解：sin30°+tan60°cs45°
=12+ 33× 22
=12+ 66
=3+ 66．
故选：B．
先用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次根式混合运算法则计算即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：原式=9a(a−3)−aa−3
=9a(a−3)−a2a(a−3)
=9−a2a(a−3)
=(3+a)(3−a)a(a−3)
=−3+aa
=−a+3a，
故选：B．
先把被减数的分母分解因式，然后进行通分，再按照同分母分式相加减，最后把分子分解因式，再进行约分即可．
本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握常见的几种分解因式的方法．
8.【答案】C
【解析】解：∵−a2−1<0，
∴反比例函数y=−a2−1x(a为常数)的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵x1∴y3故选：C．
由−a2−1<0得出反比例函数y=−a2−1x(a为常数)的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，结合x1本题考查了反比例函数的图象与性质，由−a2−1<0得出反比例函数y=−a2−1x(a为常数)的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，
∴x1x2=−2，x1+x2=−1，
∴x_1，
=(x1x2)2+4(x1+x2)，
=(−2)2+4×(−1)，
=4−4，
=0．
故选：C．
根据题意得到x1x2=−2，x1+x2=−1，再将其代入式子x_1的变形式中计算，即可解题．
本题考查了根与系数的关系，牢记x1x2=ca，x1+x2=−ba是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由作图可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，AD=AC，AM为∠BAC的平分线，
∴点O为BC的中点，AD=AC=6，△ACD为等腰三角形，
∴AN为△ACD的中线，
∴点N为CD的中点，
∴ON为△BCD的中位线，
∴ON=12BD．
∵AB=11，
∴BD=AB−AD=5，
∴ON=2.5．
故选：A．
由作图可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，AD=AC，AM为∠BAC的平分线，可知△ACD为等腰三角形，则AN为△ACD的中线，即点N为CD的中点，则ON为△BCD的中位线，根据三角形中位线定理可得答案．
本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】C
【解析】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°．
由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，EC=DC，∠ECD=90°，故A正确，不符合题意；
∴△EDC是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意；
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，DE2=2CD2，
∴AE2+AD2=DE2，
∴AE2+AD2=2CD2，
∵AE=BD，
∴BD2+AD2=2CD2，故D正确，不符合题意；
不能证明∠AED=∠EDC，故C错误，符合题意；
故选：C．
由AC=BC，∠ACB=90°，可得∠ABC=∠BAC=45°，由旋转的性质可知∠EAC=∠B=45°，EC=DC，∠ECD=90°，可判定A正确，B正确；根据∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，可得AE2+AD2=DE2，即可得BD2+AD2=2CD2，判断D正确；不能证明∠AED=∠EDC，可判断C错误．
本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：∵20+8×2=36(件)，
∴降价8元时，每天卖出数量为36件，故①正确；
设商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价x元，
∴(40−x)(20+2x)=1200，
解得x=10或x=20，
∵要尽快减少库存，则x=20．
∴商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②不正确；
设商场平均每天盈利w元，每件衬衫应降价x元，
根据题意得：w=(40−x)(20+2x)=−2x2+60x+800=−2(x−15)2+1250，
∵−2<0，
∴当x=15时，y的最大值为1250，
∴当每件衬衫降价15元时，商场每天获得的最大利润是1250元．故③正确．
故选：C．
根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，得出每件衬衫每降价8元，商场平均每天可多售出16件可判断①；根据每天获得利润=每件的利润×销售量列出方程，根据题意要尽快减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快．据此可判断②；根据每天获得利润=每件的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值可判断③．
本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是列出函数解析式．
13.【答案】16
【解析】解：由题意可得：
一共有12种等可能的结果，抽取的两张卡片上的数字之和等于6的2种，
∴抽取的两张卡片上的数字之和等于6的概率为212=16，
故答案为：16．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两张卡片上的数字之和等于6的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】2a2
【解析】解：(a3)2÷(a⋅a3)+a2
=a6÷a4+a2
=a2+a2
=2a2．
故答案为：2a2．
先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可．
本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
15.【答案】 3− 2
【解析】解：原式=( 3+ 2)×( 3− 2)×( 3− 2)
=(3−2)×( 3− 2)
= 3− 2．
故答案为： 3− 2．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和乘法公式是解决问题的关键．
16.【答案】10
【解析】解：∵直线y=kx+b与y=2x+1平行，
∴k=2，
∴y=2x+b
将点(−3,4)代入得4=2×(−3)+b，解得b=10．
故答案为：10．
根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解．
本题考查的一次函数的解析式以及两直线平行的问题，熟记两直线平行的解析式的k值相等是解题的关键．
17.【答案】8
【解析】解：∵等边△ABC，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
如图，记AB、BC的中点为P、Q，连接DP、DQ，
又∵D是AC的中点，
∴DP、DQ是△ABC的中位线，
∴DP=12BC=12AB=DQ，DP/​/BC，DQ/​/AB，
∴四边形BPDQ是菱形，△CDQ，△APD是等边三角形，
∴DP=BQ=12BC=12AB，DQ=CD，∠QDC=60°，
∵等边△DFE，
∴DF=DE，∠EDF=60°，
∴∠EDF−∠QDE=∠QDC−∠QDE，即∠FDQ=∠EDC，
∵DF=DE，∠FDQ=∠EDC，DQ=CD，
∴△FDQ≌△EDC(SAS)，
∴CE=FQ，
∵等边△DFE，ME⊥DF，
∴FM=DM，
∵DP/​/BC，
∴∠FBM=∠DPM，∠BFM=∠PDM，
又∵FM=DM，
∴△BFM≌△PDM(AAS)，
∴BF=DP=12AB，BM=PM=12BP=14AB，
∵BM+BF=6，
∴12AB+14AB=6，
解得，AB=8，
∴CE=FQ=BF+BQ=8，
故答案为：8．
如图，记AB、BC的中点为P、Q，连接DP、DQ，则DP、DQ是△ABC的中位线，DP=12BC=12AB=DQ，DP/​/BC，DQ/​/AB，证明四边形BPDQ是菱形，△CDQ，△APD是等边三角形，证明△FDQ≌△EDC(SAS)，则CE=FQ，证明△BFM≌△PDM(AAS)，则BF=DP=12AB，BM=PM=12BP=14AB，由BM+BF=6，即12AB+14AB=6，可得AB=8，根据CE=FQ=BF+BQ，计算求解即可．
本题考查了中位线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识．熟练掌握中位线，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】 13−3 以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D′，连接BD′交OA于P，点D，P即为所求．
【解析】解：(Ⅰ)∵OA=3，AB=2，OA⊥AB，
∴OB= OA2+AB2= 32+22= 13，
∴BC=OB−OC=OB−OA= 13−3，
故答案为 13−3；
(Ⅱ)如图，以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D′，连接BD′交OA于P，点D，P即为所求．
在△OBD和△OBA中，
OD=OAOB=OBBD=BA，
∴△OBD≌△OBA(SSS)，
∴∠ODB=∠OAB=90°，OD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线，
由垂径定理可知：D′是D关于OA的对称点，
∴DP=D′P，
当B，P，D′三点共线时，BP+DP=BP+D′P取得最小值，
∵BA是⊙O的切线，题中未指明D与A重合，
∴当D与A重合时，若P也与A重合，则BP+DP=BA也取得最小值．
故答案为：以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D′，连接BD′交OA于P，点D，P即为所求．
(Ⅰ)利用网格根据勾股定理求出OB的长，再用OB−OC即可求解BC的长；
(Ⅱ)以B为圆心，BA为半径画弧交⊙O于D，以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于D′，证明△OBD≌△OBA，得出BD是⊙O的切线，通过垂径定理可得点D，D′关于OA对称，有最短路径，可得当B，P，D′三点共线时，BP+DP=BP+D′P取得最小值，而题中未指明D与A重合，当D与A重合时，若P也与A重合，则BP+DP=BA也取得最小值．
本题主要考查作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理，轴对称−最短路径问题及垂径定理等知识，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
19.【答案】解：(1)∵∠BAM=30°，∠CBM=60°，
∴∠AMB=30°，
∴BM=AB=40(米)，
在Rt△BCM中，MC=BM⋅sin∠CBM=20 3(米)，
答：大桥立柱在桥面以上的高度MC为20 3米；
(2)在Rt△BCM中，BC=12BM=20米，
∴AC=AB+BC=60(米)，
在Rt△ACN中，CN=AC⋅tan∠CAN≈60×0.27≈16.2(米)，
∴MN=MC+NC≈20 3+16.2≈51(米)，
答：大桥立柱在水面以上的高度MN约为51米．
【解析】(1)根据正弦的定义求出MC；
(2)根据正切的定义求出CN，结合图形计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】x≥−1 x<2 −1≤x<2
【解析】解：(1)解不等式①，得x≥−1；
(2)解不等式②，得x<2；
(3)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为−1≤x<2．
故答案为：(1)x≥−1；(2)x<2；(4)−1≤x<2．
(1)解不等式①即可；
(2)解不等式②即可；
(3)把不等式组解集表示在数轴上即可；
(4)写出不等式组解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取公共解集的方法．
21.【答案】解：(1)40，25；
(2)∵在这组数据中，3出现了15次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为3，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是3，有3+32=3，
∴这组数据的中位数为3．
观察条形统计图，x−=1×4+2×8+3×15+4×10+5×340=3，
∴这组数据的平均数是3．
(3)∵在40名学生中，这周参加家务劳动次数大于3的人数比例为25%+7.5%=32.5%，
∴估计该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数比例的为32.5%，于是，有1200×32.5%=390．
∴该校1200名学生中这周参加家务劳动次数大于3的人数约为390人．
【解析】解：(1)由扇形图可知样本中劳动1次的占10%，由条形图可知劳动1次的学生有4人，
所以接受抽样调查的学生人数为4÷10%=40，
由条形图可知劳动4次的学生有10人，故所占比例为10÷40=25%，
故答案为：40，25；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)根据劳动1次的人数及所占百分比可得调查的学生人数，将劳动4次的人数除以总人数可得m的值；
(2)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
(3)将样本中家务劳动4次和5次的学生人数所占比例的和乘以总人数1200即可．
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
22.【答案】(Ⅰ)证明：如图1，连接OC，

∵∠D=28°，
∴∠COP=2×28°=56°，
∵过点P作⊙O的切线，切点为点C，
∴∠OCP=90°，
∴∠P=90°−56°=34°；
(Ⅱ)解：如图2，连接AC，OC，

∵四边形CDBP为平行四边形，
∴∠D=∠CPB，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
由(1)得∠OCP=90°，
∴∠ACB=∠OCP，
∵∠D=∠A=∠CPB，
∴∠D=∠A=∠CPB=∠PCB，
在△ACP中，∠A+∠ACB+∠BCP+∠CPB=180°，
∴∠A+∠BCP+∠CPB=90°，
∴∠A=∠CPB=∠PCB=30°，
∴∠OBC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=5，
∴PC= 3OB=5 3．
【解析】(Ⅰ)利用切线的性质和圆周角定理即可证明；
(Ⅱ)利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合(Ⅰ)的结论，证明△OBC是等边三角形，即可求出结论．
本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确作出辅助线．
23.【答案】360 60 56 6803 52或196
【解析】解：(Ⅰ)①根据图像可以读出距离为360km；
②120÷2=60；
③乙车需要360÷60=6小时，6+12−523=56；
④360−1203×(4−223)+120=6803；
⑤第一次相遇：120÷60+12=52；
第二次相遇：360−1203x+2803=60(x−12)，解得x=196．
(Ⅱ)当0≤x≤2时，y1=60x；
当2当223(Ⅲ)当312≤x≤5时，
由题意，可知甲车在乙车前面，设两车所在位置的距离相差ykm，
则y=(80x−2803)−(60x−30)=20x−1903，
∵20>0，∴y随X的增大而增大，
∴当x=5时，y取得最大值1103．
答：两车所在位置的距商最多相差1103km．
(Ⅰ)根据图表信息，即可求出相应结果．
(Ⅱ)根据图像可知0≤x≤523，被分为三部分，分别是0≤x≤2、2≤x≤223、223≤x≤523，找到对应点求出解析式即可．
(Ⅲ)当312≤x≤5时，设两车所在位置的距离相差km，则y=(80x−2803)−(60x−30)=20x−1903根据x的取值范围确定y的最大值．
本题考查了一次函数图形解决实际问题相关知识，理解数据的实际意义，并能灵活运用是解决问题的关键．
24.【答案】解：(1)∵四边形AOBC是矩形，点C的坐标为(5,3)．
∴∠OBC=∠ACB=90°，AC=OB=5，BC=3，
∵矩形AOBC绕点B顺时针旋得到矩形DEBF，
∴BE=OB=5，
∴CE= BE2−BC2= 52−32=4，
∴AE=AC−CE=1；
(2)分三种情况：
①当0∵∠B′BG=90°−∠EBC=∠BEC，∠BB′G=∠ECB=90°，
∴△BB′G∽△ECB，
∴BB′EC=B′GBC，
即m4=B′G3，
解得：B′G=34m，
∴S=S△B′BG=12BB′×B′G=38m2；
即S=38m2(0②当4由平移性质得：FM=m−4，
∴S=S梯形MBB′F=12(FM+BB′)×B′F=12(m−4+m)×3=3m−6；
即S=3m−6(4③当5∵∠E′BH=90°−∠EBC=∠BEC，∠BE′H=∠ECB=90°，
∴△BE′H∽△ECB，
∴BE′EC=E′HBC，即m−54=E′H3，
解得：E′H=34(m−5)，
∴S△BE′M=12BE′×E′H=12×(m−5)×34(m−5)=38(m−5)2，
∴S=S梯形MBB′F−S△BE′M=3m−6−38(m−5)2=−38m2+274m−1238；
即S=−38m2+274m−1238(5【解析】(1)由矩形的性质得出∠OBC=∠ACB=90°，AC=OB=5，BC=3，由旋转的性质得出BE=OB=5，由勾股定理求出CE= BE2−BC2=4，即可得出答案；
(2)分三种情况①当0②当4③当5本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，坐标与图形变化−平移，坐标与图形变化−旋转，相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及分类讨论等知识；正确画出图形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=14(x+2)(x−4)=12x2−x−4；
(2)由抛物线的表达式知，点C(0,−4)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x−4，
设点E(x,x−4)，则点P(x,12x2−x−4)，
由点B、C的坐标知，∠OCB=45°=∠EPF，
则EF= 22EP= 22(x−4−12x2+x+4)= 22(−12x2+2x)，
∵a=− 22×12<0，
故EF有最大值为 2，
此时，x=2，
则点E(2,−2)；
(3)过点F作FT⊥y轴于点T，如下图，

设点F(x,x−4)，
则FT=TC=x，CF=CQ= 2x，
则OQ=4− 2x，
则BQ= OB2+OQ2= 2× (x−2 2)2+8，
同理可得：OF= x2+(x−4)2= 2× (x−2)2+4，
则BQ+OF= 2×( (x−2 2)2+8+ (x−2)2+4)，
如下图：设点M(2,−2)、点N(2 2,2 2)，K(x,0)，

则MK+NK= (x−2 2)2+8+ (x−2)2+4，
作点M关于x轴的对称点V(2,−2)，
则MK+NK的最小值为：NV= (2 2−2)2+(2 2+2)2=2 6，
故BQ+OF的最小值为2 6× 2=4 3．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由EF= 22EP，即可求解；
(3)求出BQ+OF= 2×( (x−2 2)2+8+ (x−2)2+4)，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理的运用、点的对称性等，有一定的综合性，难度适中．