江苏省扬州市华东师范大学广陵实验初级中学2023-2024学年七年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要想成为同位角，两个角必须有一对边在同一条直线上，依据这一条件分析判断即可．
【详解】A、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角；
C、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角；
D、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角；
D、∠1、∠2的两条边都不在一条直线上，不是同位角；
故选：D
【点睛】本题考查同位角的定义，解题的关键是熟悉三线八角的位置关系．
2. 下列计算结果相等的一组为（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的乘方运算法则进行运算，即可一一判定．
【详解】解：A、，，，故该选项不符合题意；
B、，，，故该选项不符合题意；
C、，，，故该选项不符合题意；
D、，，，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘方运算法则，熟练掌握和运用有理数的乘方运算法则是解决本题的关键．
3. 如图，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. AB//CDB. AD//BCC. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质和平行线的判定定理即可解答
【详解】解：由 与 是 、 被 所截构成的内错角， =
则；不能得出 , ， ．
故选 B ．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，正确识别同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4. 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是 （ ）
A. （a+1）（a-1）=a2-1B. ab+ac+1=a（b+c）+1
C. a2-2a-3=（a-1）（a-3）D. a2-8a+16=（a-4）2
【答案】D
【解析】
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、a2-2a-3=（a+1）（a-3）分解时出现符号错误，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键是理解因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，然后进行正确的因式分解．
5. 若2x+m与x+3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A. ﹣6B. 0C. ﹣2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式展开，合并同类项后，让一次项系数为0即可得．
【详解】解：，
∵与的乘积中不含x的一次项，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应合并同类项后，让这一项的系数为0是解题关键．
6. 若，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 由的取值而定
【答案】C
【解析】
【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再用作差法比较即可．
【详解】，
，
∵
，
，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7. 如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1＋∠2＝130°，则∠B＋∠C＝（ ）

A. 115°B. 130°C. 135 °D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据∠1＋∠2＝130°得出∠AMN＋∠DNM的度数，再由四边形内角和定理得出结论．
【详解】解：∵∠1＋∠2＝130°，
∴∠AMN＋∠DNM＝，
∵∠A＋∠D＋∠AMN＋∠DNM＝360°，∠A＋∠D＋∠B＋∠C＝360°，
∴∠B＋∠C＝∠AMN＋∠DNM＝115°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换，熟知图形的翻折不变性是解答此题的关键．
8. 如图，在中，是中线，点E是中点，且，若的面积是2，则的面积为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，利用得到，再利用点E是中点得到，接着利用是中线得到，然后利用从而得到的值．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵点E是中点，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的_____（选填“稳定性”或“不稳定性”）．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性．
10. 若，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法的逆用得，再把，代入进行计算即可得．
详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，解题的关键是理解题意，掌握同底数幂乘法的逆用．
11. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影都分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为__________.

【答案】540
【解析】
【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为30m,宽为的长方形面积即可．
【详解】由平移可得到图

其中绿化部分的长为，宽为，
所以面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平移，掌握平移的性质是正确解答的前提．
12. 若一个多边形的内角和比五边形的内角和多，则这个多边形的边数为____．
【答案】7
【解析】
【分析】结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
【详解】解：五边形的内角和是，
∴多边形的内角和是，
设这个多边形是n边形，
∴，
解得，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式、一元一次方程的应用．解题的关键是记住内角和的公式．
13. 如果，则x的值为 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据幂的乘方公式进行变形为，得出x的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方公式，解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式．
14. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米．
【答案】120
【解析】
【详解】 解：∵360÷30=12，
∴他需要走12次才会回到原来起点，
即一共走了12×10=120米，
故答案为：120．
15. 如图，直线，将三角尺直角顶点放在直线a上，若，则的度数是______°．
【答案】50
【解析】
【分析】先根据平行线的性质，得出，然后算出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等，是解题的关键．
16. 如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是________．

【答案】8
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】∵点F是的中点，的面积为，
∴．
∵点E是的中点，
∴，．
∴．
∴，
故答案是8．
【点睛】本题主要考查了三角形面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理是等底同高的三角形面积相等．
17. 定义一种新运算，例如，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知直接得出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则，
解得：．
经检验：符合题意，
故答案为：−2．
【点睛】点评：此题主要考查了负整数指数幂的性质以及新运算，正确将原式变形是解题关键．
18. 将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_______．

【答案】30或120##120或30
【解析】
【分析】根据题意得，，（1）如图1，当时，延长交于点P，分两种情况讨论：①在上方时，②在下方时，，列式求解即可；（2）当时，延长交于点I，①在上方时，，②在下方时，，列式求解即可．
【详解】解：由题意得，，，
（1）如图1，当时，延长交于点，

①在上方时，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
（不符合题意，舍去）；
（2）当时，延长交于点I，

①在上方时，，
，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质、旋转的性质，掌握平行线的性质并正确分情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方，同底数幂的除法进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂，同底数幂的乘法、积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中a为最大的负整数．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据整式的运算法则把所给代数式化简，然后把代入计算即可．
【详解】解：
，
∵a为最大的负整数，
∴，
∴原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键．
21. 已知，求代数式．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方的非负性和绝对值的非负性可得，，再利用积的乘方的运算法则即可解答．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵
，
∴当，时，
∴．
【点睛】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性，积的乘方的运算法则，有理数的混合运算法则，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键．
22. 如图，ABC的顶点都在方格纸的格点上，其中每个格子的边长为1个单位长度．
（1）将ABC先向左平移1格，再向上平移4格，在图中画出平移后的；
（2）画出ABC中AC边上的中线BD；
（3）画出ABC中AB边上的高CE；
（4）连接，，则四边形的面积为 ．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）见详解 （4）28
【解析】
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移1格，再向上平移4格得到其对应点，即为首尾顺次连接即可；
（2）根据三角形的中线的概念作图即可；
（3）根据三角形的高的概念作图即可；
（4）分割成2个底为7、高为4的三角形，继而计算即可．
【小问1详解】
解：如图所示，'即为所求．
【小问2详解】
解：如（1）图所示，线段BD即为所求；
【小问3详解】
解：如图所示，线段CE即为所求；
【小问4详解】
解：四边形AA′C′C的面积为2××7×4=28，
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查作图——平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质、三角形的中线和高的概念．
23. 如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD中AD边上的高，求∠ABE的度数．
【答案】56°
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠BAD度数，由AE⊥BE可求出∠AEB=90°，再由三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴
∵是的平分线
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，高的定义及三角形内角和定理，熟练掌握是解题的关键．
24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B，C点平移后的对应点分别是E，F．
（1）画出平移后的；
（2）连接，则这两条线段之间的关系是______；
（3）的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）平行
（3）
【解析】
【分析】（1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移4个格，向上平移1个格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可；
（2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出；
（3）用正方形面积减去3个三角形的面积即可解答．
【小问1详解】
如图，即所作；
【小问2详解】
如图，由平移的性质即可得出．
故答案为：平行；
【小问3详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，在网格中求三角形的面积．利用数形结合的思想是解题关键．
25. 已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．试说明：CD⊥AB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由，利用同位角相等，两直线平行可得ED∥CB，根据平行线的性质和等量代换可得，故推出CD∥FH，再结合已知 易得
【详解】；
理由：，
∴ED∥CB．
∴．
∵∠2=∠3，
，
∴FH∥CD，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26. 如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的面积为________；
（2）观察图（2），请你写出三个代数式之间的等量关系式：________．
（3）根据（2）中的结论，若，则________．
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了．试画一个几何图形，使它的面积能表示．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）画图见解析．
【解析】
【分析】（1）阴影部分的边长为小长方形的长减去宽，即m-n，各角均为直角，可得；
（2）根据大正方形面积等于边长的平方或小正方形面积加4个小长方形面积的两种不同算法，可得等式；
（3）根据（2）中结论，得（x-y）2=（x+y）2-4xy，据此可得答案；
（4）画出长m+2n，宽m+n的长方形即可．
【详解】解：（1）右图可得小正方形的边长为，则它的面积为；
故答案为：
（2）大正方形的边长为，则它的面积为，另外，大正方形的面积可用4个小长方形和1个小正方形表示，即，所以有；
故答案为：
（3）由（2）可知：，将代入该式得
（x-y）2=（x+y）2-4xy=36-4×2.75=25，
∴
故答案为：
（4）答案不唯一
例如：
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
27. 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得：
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）．
【答案】（1）211﹣1
（2）1+3+32+33+34+…+3n=．
【解析】
【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值．
（2）同理即可得到所求式子的值．
【详解】解：（1）设S=1+2+22+23+24+…+210，
将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211，
将下式减去上式得：2S﹣S=211﹣1，即S=211﹣1，
则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1．
（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n，
两边乘以3得：3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1，
下式减去上式得：3S﹣S=3n+1﹣1，即S=，
则1+3+32+33+34+…+3n=．
28. 规定两数之间的一种运算，记作【】；如果，那么【】，例如因为，所以【2，8】=3.
（1）根据上述规定，填空：【4，16】= ，【7，1】= ，【 ，81】=4.
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，【,】=【3，4】，小明给出了如下的证明：
设【,】，所以，即，所以，
即【3，4】，所以【,】=【3，4】，请你尝试运用这种方法解决下列问题：
①证明：【6，45】-【6，9】=【6，5】
②猜想：【,】+【,】=【 ， 】（结果化成最简形式）
【答案】（1）2，0，；（2）①见解析；②.
【解析】
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；
（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；
②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．
【详解】解：（1）因为42=16，所以【4，16】=2．
因为70=1，所以【7，1】=0．
因为(±3)4=81，所以【±3，81】=4．
故答案为2，0，±3；
（2）①证明：设【6，9】=x，【6，5】=y，则6x=9，6y=5，
∴5×9=45=6x•6y=6x+y，
∴【6，45】=x+y，
则：【6，45】=【6，9】+【6，5】，
∴【6，45】-【6，9】=【6，5】；
②∵【3n，4n】=【3，4】，
∴【（x+1）m，（y-1）m】
=【（x+1），（y-1）】，【（x+1）n，（y-2）n】
=【（x+1），（y-2）】，
∴【（x+1）m，（y-1）m】+【（x+1）n，（y-2）n】，
=【（x+1），（y-1）】+【（x+1），（y-2）】，
=【（x+1），（y-1）（y-2）】，
=【（x+1），（y2-3y+2）】．
故答案为（x+1），（y2-3y+2）．
【点睛】本题考查的是新定义的理解和掌握，还考查了同底数幂的乘法以及整式的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．