江苏省苏州市张家港市沙洲中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性测试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 式子（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式和两角和的正弦公式求解.
【详解】解：，
，
.
故选：B
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标运算列式解出，即可得出的坐标，即可根据向量的模的坐标运算得出答案.
【详解】若，
则，解得，
则，
则，
故选：C.
3. 已知非零向量的夹角余弦值为，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直向量数量积为0，结合数量积的公式求解可得，进而求解即可.
【详解】由题意，，即，，
因为故，则.
故选：A
4. 在中，设，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则求解.
【详解】由题意
.
故选：D.
5. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，解得，故，其中，故.
点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出选项.
6. 已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在区间上具有单调性，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据辅助角公式得出，即可根据对称轴列式得出的值，即可得出，根据已知得出与关于对称中心对称，即可列式得出，即可得出答案.
【详解】，其中，
函数图象的一条对称轴为，
则，解得：，
则，，即，
故，
，且函数在区间上具有单调性，
与关于对称中心对称，
，解得，
则时，，
故选：B.
7. 如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（ ）
A. 9B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用分别表示出，结合已知，可得，然后进行数量积的运算即可得出．
【详解】因为，
所以，
即，解得，
又，
所以，
故选：A．
8. 如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定的关系，即 ，可得，再利用基本不等式求最值即可．
【详解】由条件可得，
∵，
∴，
因为三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，则；
当且仅当，即时取等号，
故的最小值是；
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数的最大值为2
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数图像的一个对称中心为
D. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
【答案】AD
【解析】
【分析】先用三角恒等变换得到，进而求出函数最大值，得到在上单调递减，判断出AB选项，为对称轴，判断C选项；以及平移后的解析式，判断D选项.
【详解】，
所以函数的最大值为2，所以A选项正确．
因函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递减，所以B选项不正确．
当时，，所以为对称轴，所以C选项不正确．
函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，所以D选项正确．
故选：AD．
10. 设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（ ）
A. 若点C在线段AB上，则
B. 若，则
C. 当时，与共线的单位向量是
D. 当时，在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A：根据向量共线分析运算；对B：根据向量垂直运算求解；对C：根据单位向量分析运算；对D：根据投影向量分析运算.
【详解】由题意可得：，
对A：若点C在线段AB上，则，则，
可得，解得或（舍去），故A正确；
对B：由，可得，
解得，故B正确；
对C：当时，则，
与共线的单位向量是，故C错误；
对D：当时，可得，
则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD．
11. 直角中，斜边，为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A. 的取值范围是
B. 点经过的外心
C. 点所在轨迹的长度为2
D. 的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A；若为中点，根据已知有共线，即可判断B、C；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，结合基本不等式求范围判断D.
【详解】由，又斜边，则，则，A正确；
若为中点，则，故，又，
所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的几何意义和运算律判断轨迹，求、.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在四边形中，分别是边的中点，，，，则_______________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用图象，结合向量的线性运算法则确定向量的关系，再结合数量积的性质由条件求.
【详解】因为分别是边的中点，
所以，，
又，，
所以，
所以，
所以，
又，，，
所以，，，
所以，
所以，
故答案为：.
13. 等边△的外接圆的半径为1，M是△的边AC的中点，P是该外接圆上的动点，则的最大值为______________.
【答案】1
【解析】
【分析】设等边的外心为，由题意得到、、三点共线，且，再由，利用数量积的运算求解.
【详解】解：如图，设等边的外心为，又半径为1，且是的边的中点，
、、三点共线，且，
，
，
又，
当时，的最大值为.
故答案为：1
14. 记函数的最小正周期为T，若，且是图象的一个最高点，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】由周期范围求得的范围，由图像最高点求解与值，可得函数解析式，则可求．
【详解】函数的最小正周期为，
则，由，得，，
因为是图象的一个最高点，则
且，则
，取，可得，
所以，
则.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量与的夹角为，且，.
（1）若与共线，求；
（2）求与的夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）可设，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数即可得解；
（2）计算出、的值，利用平面向量的数量积可求得与的夹角的余弦值.
【详解】（1）若与共线，则存在，使得
即，
又因为向量与不共线，所以，解得，所以；
（2），
，
.
16. 如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.
求的值；
判断的值是否为一个常数，并说明理由．
【答案】14；是.
【解析】
【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；
将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；
法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；
设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.
【详解】法1：由已知可得，，
,
的值为一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，
，
故：
解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为 y轴建立直角坐标系，可求，
此时，，
设E点坐标为，
，
常数．
【点睛】本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.
17. 已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值，及取得最大值时取值的集合；
（2）求函数的单调减区间；
（3）设，，为锐角三角形的三个内角，若，，求的值.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由向量和三角函数公式可得，可得最大值和取值集合；
（2）令，解不等式即可得到单调减区间；
（3）由题意以及同角三角函数基本关系可得，再由前面所求可得，代入，计算可得答案.
【小问1详解】
因为向量，，
所以
故当时，函数取最大值为，此时，解得，，
故函数的最大值为，取得最大值时取值的集合为.
【小问2详解】
由（1）知，，令，
解得，所以函数的单调减区间；
【小问3详解】
因为，，为锐角三角形的三个内角，且，
所以，
由，可得，即，
由于，所以，故，解得，
所以，
即
18. 已知向量，函数，．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
小问1详解】
，
当时，，
则；
小问2详解】
∵，
∴，
∴，
则，
令，则，
则，对称轴，
①当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
②当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去），
③当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍），
综上：若的最小值为﹣1，则实数．
小问3详解】
令，得或，
∴方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数m的取值范围是．
19. 如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心.
（1）若，，，求的值；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，若，求的最大值.
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得的值.
（2）设，求得关于的表达式，进而求得的取值范围.
（3）设，，将表示为关于的表达式，求得的取值范围，进而求得的最大值.
【小问1详解】
以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，，
所以.
【小问2详解】
设，，
则，.
，
由于，根据对勾函数的性质可知.
【小问3详解】
；
.
设，，则这两个式子为，
化简得
解得
所以，
设，，
令，
所以由对勾函数的性质得，
所以当时，即点与点重合时，取到最大值.
【点睛】求解平面向量数量积有关问题，有两个求解思路，一个是利用平面向量的基本定理，通过转化的方法来求得数量积；另一个思路是根据图形的特征，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来进行求解.