人教版高中物理必修二第5章素养提升课1小船渡河与关联速度问题学案

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素养提升课(一)　小船渡河与关联速度问题1．进一步理解合运动与分运动，掌握运动合成与分解的方法。2．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题。　小船渡河问题1．运动分析：小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动。2．两类常见问题(1)渡河时间问题：①渡河时间t取决于河宽d及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝dv⊥。②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图所示，此时t＝dv船。(2)最短位移问题：①若v水v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝v船v水，最短位移x短＝dcosθ。【典例1】　一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？[思路点拨]　求解小船渡河问题应理清以下问题：(1)船头指向是小船在静水中的速度的方向；(2)小船实际运动的方向是合速度的方向；(3)v水＞v船时，小船不能垂直河岸渡河。[解析]　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示。时间t＝dv2＝1805 s＝36 sv合＝v12+v22＝552 m/s位移为x＝v合t＝905 m。 (2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°。最小位移为xmin＝d＝180 m所用时间t′＝dv合'＝dv2sinβ＝180532 s＝243 s。(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝dv2＝36 s；当水流速度变为6 m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cos α＝v2v1，最小位移为x′min＝dcosα＝v1v2d＝65×180 m＝216 m。[答案]　(1)船头朝垂直于河岸方向　36 s　905 m　(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60°　243 s　180 m　(3)36 s　216 m　研究小船渡河问题的思路(1)研究小船渡河时间→应用v船垂直于河岸的分速度求解，与v水的大小无关。(2)分析小船速度→可画出小船的速度分解图进行分析。(3)研究小船渡河位移→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图。[跟进训练]1．(2022·重庆南开中学高一期末)如图所示，两岸平行的小河，水流速度恒为v＝4 m/s，小船自A处出发，沿航线AB渡河，到达对岸B处。AB与下游河岸的夹角θ＝37°。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则小船在静水中的速度不可能为(　　)A．2.2 m/s　　　　　 B．2.4 m/sC．4 m/s D．6 m/sA　[船的最小速度为v船＝v sin 37°＝4×0.6 m/s＝2.4 m/s，故A不可能，BCD可能。]2．(多选)一快艇从离岸边100 m远的河流中央向岸边行驶。已知快艇在静水中的速度图像如图甲所示；河中各处水流速度相同，且速度图像如图乙所示，则(　　)A．快艇的运动轨迹一定为直线B．快艇的运动轨迹一定为曲线C．快艇最快到达岸边，所用的时间为20 sD．快艇最快到达岸边，经过的位移为100 mBC　[两分运动一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合初速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确；当快艇相对于静水的速度方向垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d＝12at 2，得t＝20 s，位移应大于100 m，选项C正确，D错误。]　关联速度问题1．关联速度关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为关联速度。2．关联速度的思路(1)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。(2)确定合运动的两个效果。用轻绳或可自由转动的轻杆连接的―→效果1：沿绳或杆方向的运动 效果2：垂直绳或杆方向的运动物体的问题相互接触的物体的问题―→效果1：垂直接触面的运动效果2：沿接触面的运动3．常见的速度分解模型把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。【典例2】　如图所示，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为v1和v2，且v1＝v保持不变。(1)求两绳夹角为θ时，物体上升速度v2的大小；(2)在汽车做匀速直线运动的过程中，物体是加速上升还是减速上升？(3)在汽车做匀速直线运动的过程中，绳子对物体的拉力F与物体所受重力mg的大小关系如何？[思路点拨]　解此题要注意两点：(1)汽车运动的速度v1是合速度，可沿绳和垂直于绳分解。(2)物体的速度v2等于绳子的速度。[解析]　(1)根据实际效果可将汽车的运动分解为沿绳方向上的运动和垂直于绳方向上的运动，如图所示，则有v2＝v1sin θ＝v sin θ。(2)当汽车水平向左做匀速直线运动时，角度θ变大，由v2＝v sin θ知，绳的运动速度变大，即物体将加速上升。(3)物体加速上升，即物体所受合外力的方向竖直向上，而物体只受重力和拉力的作用，故拉力F大于物体的重力mg，即F＞mg。[答案]　(1)v sin θ　(2)加速上升　(3)F＞mg[跟进训练]3．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)A．v1＝v2B．v1＝v2cos θC．v1＝v2tan θD．v1＝v2sin θC　[可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cos θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正确。]4．如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为(　　)A．小船做变速运动，vx＝v0cosαB．小船做变速运动，vx＝v0cos αC．小船做匀速直线运动，vx＝v0cosαD．小船做匀速直线运动，vx＝v0cos αA　[小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小。所以小船的速度vx应分解为沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝v0cosα，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，且vx＝v0cosα。]素养提升练(一)　小船渡河与关联速度问题一、选择题1．一小船船头垂直河岸渡河，从出发到河中间划行速度逐渐增大，然后划行速度逐渐减小到达对岸。假设河水流速保持不变，则小船运动的全过程中轨迹可能是下列图中的(　　)A　　 　　　　　　　BC　　 　　　　　　　DC　[水流速保持不变，船的速度先增大，当过河中间后开始减速运动，根据曲线运动的条件，运动轨迹偏向加速度方向，故C正确，A、B、D错误。]2．(2021·辽宁卷)1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则突击队渡河所需的最短时间为(　　)A．75 s　　　　　　　 B．95 sC．100 s D．300 sD　[河宽d＝300 m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度v＝1 m/s，渡河时间最短为tmin＝dv＝3001 s＝300 s，故选项D正确。]3．(2022·上海市延安中学高一期末)某船在静水中的划行速度v1＝4 m/s，要渡过宽为d＝30 m的河，河水的流速v2＝5 m/s，下列说法正确的是(　　)A．该船渡河所用时间至少是6 sB．该船的最短航程为30 mC．河水的流速增大，而渡河的最短时间不变D．该船以最短时间渡河时的位移大小为30 mC　[当船的静水速度与河岸垂直时，渡河时间最小，即为t＝dv1＝7.5 s，A错误；根据平行四边形定则，由于静水速小于水流速，则合速度不可能垂直于河岸，即船不可能垂直到达对岸，那么最短航程大于30 m，B错误；根据运动的等时性原理知河水的流速不影响渡河的时间，即静水速度与河岸垂直时，当河水的流速增大，渡河时间不变，C正确；当静水速度与河岸垂直时，根据平行四边形定则，合速度不可能垂直于河岸，即船不可能垂直到达对岸，那么渡河时的位移大于30 m，D错误。]4．(多选)如图所示，小船速度大小为v1，方向与上游河岸成θ角，从A处过河，正好到达正对岸的B处。现水流速度变大少许，要使小船过河也正好到达正对岸的B处，下列方法中可行的有(　　)A．保持v1不变，同时增大θ角B．保持v1不变，同时减小θ角C．保持θ角不变，增大v1大小D．保持θ角不变，减小v1大小BC　[由题意可知，水流速度增大时，保持航线不变能垂直到达对岸B处，则需满足v1cos θ＝v水，v水增大时可以保持v1不变减小θ角，也可以保持θ角不变增大v1，故B、C选项正确。]5．(2022·合肥一六八中学高一期中)某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定。已知此人过河最短时间为T1；若此人用最短的位移过河，则需时间为T2；已知船在静水中的划行速度大于河水流速。则船的划行速率与水流速率之比为(　　)A．T2 T2 2-T1 2 B．T2T1C．T1 T2 2-T1 2 D．T1T2A　[设河宽为d，船在静水中的速率为v1，河水流速为v2，最短时间过河时，有T1＝dv1，最小位移过河时v合＝v12-v22，则T2＝dv合，联立计算得v1 v2 ＝ T2 T2 2-T1 2，故B、C、D错误，A正确。故选A。]6．(2022·浙江宁波高一期末)如图为某校学生跑操的示意图，跑操队伍宽d＝3 m，某时刻队伍整齐的排头刚到达AB，在A点的体育老师此时准备从队伍前沿经直线匀速到达BC边处某点，且不影响跑操队伍，已知学生跑操的速度v＝2 m/s，B、C之间的距离为L＝4 m，则以下说法正确的是(　　)A．体育老师的速度可能为2 m/sB．体育老师速度方向与AB平行C．体育老师可能在0.5 s到达BC边D．若体育老师要跑到BC边中点D处，其速度大小为3.5 m/sC　[体育老师匀速运动从A到BC边某处，且不影响跑操队伍，则其一方面沿着队伍行进方向的速度vx不能小于2 m/s，另一方面还要有一个垂直于跑操队伍前进方向的速度vy，其实际速度(v师＝vx 2+vy 2)一定大于2 m/s，与AB有一定夹角，故A、B都错误；若体育老师在0.5 s到达BC边，则其垂直于跑操队伍前进方向的速度vy＝dt，代入数据可得vy＝6 m/s，体育老师平行于跑操队伍运动方向的速度vx≥2 m/s，其合速度v师≥210 m/s即可，作为体育老师，是可以实现的，故C正确；若体育老师要跑到BC边中点D处，则运动时间t＝L2vx≤1 s，则其垂直于跑操队伍前进方向的速度vy＝dt≥3 m/s，体育老师平行于跑操队伍运动方向的速度vx≥2 m/s，则合速度v师≥13 m/s，故D错误。]7．如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为(　　)A．v B．vsinθC．v cos θ D．v sin θD　[将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝v sin θ，故D正确。]8．(2022·四川达州高一期末)如图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接活塞A，另一端与曲柄上B点相连，活塞A沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时(　　)A．vA cos θ＝vB B．vB cos θ＝vAC．vA＝vB D．vA sin θ＝vBC　[由速度合成和分解图可得v1＝vB cos θ，则当OB刚好水平，曲柄上B点的速率为vB刚好方向竖直，则有v1＝v′1＝vA cos θ＝vB cos θ，可得vA＝vB，故A、B、D错误，C正确。故选C。]9．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　)A．v sin α B．vsinαC．v cos α D．vcosαC　[将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为v1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为v2)，如图所示。船的速率等于沿绳方向的分速度v1＝v cos α，选项C正确。]10．(2022·山东师大附中期中)如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，细线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动细线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动，当光盘由A位置运动到图中的B位置时，细线与竖直方向的夹角为θ，则此时铁球(　　)A．竖直方向速度大小为v cos θB．竖直方向速度大小为v sin θC．竖直方向速度大小为v tan θD．相对于地面速度大小为vB　[细线与光盘的交点参与两个运动，一是逆着细线的方向运动，二是垂直细线的方向运动，则合运动的速度大小为v，由三角函数关系，则有v线＝v sin θ，而沿细线的速度就是铁球上升的速度大小，故B正确，A、C错误；球相对于地面的速度大小为v′＝v2+vsinθ2，故D错误。]11．如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA＝10 m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB为(　　)A．5 m/s B．533 m/sC．20 m/s D．2033 m/sD　[物体B的运动可分解为沿绳BO方向靠近定滑轮O使绳BO段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO垂直)的运动，故可把物体B的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB∥＝vB cos α，由于绳不可伸长，所以绳OA段伸长的速度等于绳BO段缩短的速度，所以有vB∥＝vA，故vA＝vB cos α，所以vB＝vAcosα＝2033 m/s，选项D正确。]12．(多选)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mgB．小环到达B处时，重物上升的高度为(2－1)dC．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于22D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于2ABD　[小环释放后，其下落速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，而v1＝v cos θ，故v1增大，由此可知小环刚释放时重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，A项正确；小环到达B处时，绳与直杆间的夹角为45°，重物上升的高度h＝(2－1)d，B项正确；如图所示，将小环速度v进行正交分解，v1＝v cos 45°＝22v，所以小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于2，C项错误，D项正确。]二、非选择题13．如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求：(1)小船在静水中的速度v1的大小；(2)河水的流速v2的大小；(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD。[解析]　(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，故有v1＝dtmin＝12060×8 m/s＝0.25 m/s。(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α此时渡河时间为t＝dv1sinα所以sin α＝dv1t＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。[答案]　(1)0.25 m/s　(2)0.15 m/s　(3)72 m