人教版高中物理必修二第7章素养提升课4天体运动三类典型问题学案

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素养提升课(四)　天体运动三类典型问题1．知道同步卫星、近地卫星、赤道上物体的运动特点，并会对描述它们运动的物理量进行比较。2．理解人造卫星的发射过程，知道变轨问题的分析方法。3．理解双星问题的特点，并会解决相关问题。　同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量比较1．相同点：都以地心为圆心做匀速圆周运动。2．不同点：(1)轨道半径。近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近＝r物。(2)运行周期。同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。由T＝2πr3Gm地可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T近＜T同＝T物。(3)向心加速度。由Gm地mr2＝man知，同步卫星的向心加速度小于近地卫星的向心加速度。由an＝rω2＝r2πT2知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，即a近＞a同＞a物。(4)向心力。同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，即Gm地mr2＝mv2r；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，即Gm地mr2≠mv2r。【典例1】　北斗卫星导航系统第三颗组网卫星(简称“三号卫星”)的工作轨道为地球同步轨道，设地球半径为R，“三号卫星”的离地高度为h，则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和“三号卫星”的有关物理量，下列说法中正确的是(　　)A．近地卫星与“三号卫星”的周期之比为T2T3＝RR+h3B．近地卫星与“三号卫星”的角速度之比为ω2ω3＝R+hR2C．赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为v1v3＝R+hRD．赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为a1a3＝R+hR2A　[“三号卫星”为同步卫星，故其周期与地球自转周期相同，根据v＝ωr可知赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为v1v3＝RR+h，故C错误；根据an＝ω2r可知赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为a1a3＝RR+h，故D错误；由万有引力提供向心力可得GMmr2＝m4π2T2r＝mω2r解得T＝2πr3GM，ω＝GMr3，所以近地卫星与“三号卫星”的周期和角速度之比分别为T2T3＝RR+h3，ω2ω3＝R+h3R3，故A正确，B错误。]　同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动比较技巧(1)同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝man。由上式比较各运动参量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大。(2)同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度和周期，由圆周运动的规律v＝ωr，an＝ω2r，比较同步卫星和赤道上物体的线速度大小和向心加速度大小。(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动时，往往借助同步卫星这一纽带。[跟进训练]1．如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。三颗卫星质量相同，线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则(　　)A．ωA＝ωC<ωB　　　　 B．TA＝TCaBA　[同步卫星周期与地球自转周期相同，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及an＝ω2r得vC>vA，aC>aA，同步卫星和近地卫星，根据GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r＝man，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC。故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vAv1>v4>v3CD　[卫星在椭圆形转移轨道的近地点P时做离心运动，所受的万有引力小于所需要的向心力，即GMmr12v1；同理，由于卫星在转移轨道上Q点做离心运动，可知v3v4，综上所述可知D正确；由开普勒第三定律a3T2＝k(k为常量)得T1v3，根据开普勒第二定律知，卫星距地球较近时运行速度较大，A、B错误；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律，可知卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，C错误；卫星在Q点从轨道1变轨到轨道2，做离心运动，速度增大，故D正确。]4．(2022·福建南平高一期末)如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是(　　)A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大C．c加速可以追上同一轨道上的b，b减速可以等候同一轨道上的cD．b、c向心加速度相等，且大于a的向心加速度B　[人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，根据万有引力提供向心力，有GMmr2＝mv2r＝man，解得卫星线速度v＝GMr，由题图可知，ra＜rb＝rc，则b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度，故A错误；由v＝GMr知，a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大，故B正确；c加速要做离心运动，不可以追上同一轨道上的b；b减速要做向心运动，不可以等候同一轨道上的c，故C错误；由向心加速度an＝GMr2知，b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度，故D错误。]　双星及多星问题1．双星系统的特点(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供(如图)，即Gm1m2L2＝m1ω12r1＝m2ω22r2。(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。2．多星系统在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。【典例3】　(多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)A．太阳的轨道半径为R＝m1m1+m2LB．木星的轨道半径为r＝m2m1LC．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πLLGm1+m2D．若认为木星绕太阳为中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πLLGm1CD　[双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有Gm1m2L2＝m14π2T2R，对木星有Gm1m2L2＝m24π2T2r，其中L＝R＋r，联立解得R＝m2m1+m2L，r＝m1m1+m2L，T＝2πLLGm1+m2，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有Gm1m2L2＝m24π2T2L，解得T＝2πLLGm1，故D正确。]　求解双星问题的思路(1)两个星球之间的万有引力为它们做匀速圆周运动提供向心力。(2)两个星球的角速度和周期都相同。(3)两个星球做匀速圆周运动时圆心为同一点。(4)两个星球的轨道半径之和等于它们中心之间的距离。[跟进训练]5．我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图所示)。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S1的质量为(　　)A．4π2r2r-r1GT2 B．4π2r3GT2C．4π2r13GT2 D．4π2r2r1GT2A　[双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有Gm1m2r2＝m24π2T2(r－r1)，解得m1＝4π2r2r-r1GT2，A正确。]6．我国的“天眼”是世界上最大的射电望远镜，通过“天眼”观测到的某三星系统可理想化为如下模型：如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，引力常量为G，则(　　)A．甲星所受合外力为5GM24R2B．甲星的线速度为5GM2RC．甲星的周期2πRR5GMD．甲星的向心加速度为5GM22R2A　[甲星同时受到乙星和丙星的引力作用，故甲星所受合外力为F合＝GM2R2＋GM22R2＝5GM24R2，A正确；设甲星做匀速圆周运动的线速度为v，周期为T，向心加速度为an，根据牛顿第二定律有5GM24R2＝Man＝Mv2R＝M4π2T2R，解得an＝5GM4R2，v＝5GM4R，T＝4πRR5GM，B、C、D错误。]素养提升练(四)　天体运动三类典型问题一、选择题1．某宇宙飞船在月球上空以速度v绕月球做圆周运动。如图所示，为了使飞船安全地落在月球上的B点，在轨道A点点燃火箭发动机做短时间的发动，向外喷射高温燃气，喷气的方向为(　　)A．与v的方向相反　　　　 B．与v的方向一致C．垂直v的方向向右 D．垂直v的方向向左B　[要使飞船降落，必须使飞船减速，所以喷气方向应该与v方向相同，产生阻力，B正确。]2．我国将在轨运行的“天和”核心舱与“神舟十五号”飞船对接。假设“天和”核心舱与“神舟十五号”飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与核心舱的对接，下列措施可行的是(　　)A．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后飞船加速追上核心舱实现对接B．使飞船与核心舱在同一轨道上运行，然后核心舱减速等待飞船实现对接C．飞船先在比核心舱半径小的轨道上加速，加速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比核心舱半径小的轨道上减速，减速后逐渐靠近核心舱，两者速度接近时实现对接C　[若使飞船与核心舱在同一轨道上运行，飞船加速会进入较高的轨道，核心舱减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，A、B错误；要想实现对接，可使飞船在比核心舱半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的核心舱轨道，逐渐靠近核心舱后，两者速度接近时实现对接，C正确，D错误。]3．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2D　[赤道上物体随地球自转的向心力为万有引力与支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力为同步卫星所在处的万有引力，故有F1F3，加速度：a11)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为(　　) A．k2-14 B．k+12 C．k2-18 D．2k2-14 A　[设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有Gm2l2＝m4π2T理论2·l2，解得T理论＝πl2lGm；设黑洞的质量为m′，同理有Gm2l2＋Gmm'l22＝m4π2T观测2·l2，解得T观测＝πl2lGm+4m'，又因为T理论＝kT观测，联立解得m'm＝k2-14，故A正确，B、C、D错误。] 8．《天问》是战国时期诗人屈原创作的一首长诗，全诗问天、问地、问自然，表现了古人对传统的质疑和对真理的探索精神。我国火星探测器“天问一号”成功发射，屈原的“天问”梦想成为现实。图中虚线为“天问一号”的“地”“火”转移轨道，下列说法正确的是(　　) A．“天问一号”的最小发射速度为7.9 km/s B．“天问一号”由虚线轨道进入火星轨道需要点火加速 C．“天问一号”在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变大 D．“天问一号”从地球飞到火星轨道的时间大于火星公转周期的一半 B　[“天问一号”要离开地球到达火星，所以“天问一号”的发射速度要大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度，故A错误；“天问一号”由虚线轨道进入火星轨道，需点火加速做离心运动，故B正确；由开普勒第二定律知，“天问一号”在由地球到火星轨道的虚线轨道上线速度逐渐变小，故C错误；“天问一号”的椭圆轨道半长轴小于火星轨道半径，由开普勒第三定律可知，“天问一号”从地球飞到火星轨道的时间小于火星公转周期的一半，故D错误。] 9．(多选)经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，则可知(　　) A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2 B．m1做圆周运动的半径为25L C．m1、m2做圆周运动的角速度之比为1∶1 D．m2做圆周运动的半径为25L BC　[双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期，根据ω＝2πT可知，角速度ω相同，对m1有Gm1m2L2＝m1r1ω2，对m2有Gm1m2L2＝m2r2ω2，可得m1r1＝m2r2，则有r1r2＝m2m1＝23，又因为r1＋r2＝L，所以有r1＝25L，r2＝35L，又v＝rω，所以线速度之比为v1v2＝r1r2＝23，故B、C正确。] 10．(多选)如图所示，地球球心为O，半径为R，地球表面的重力加速度为g。一宇宙飞船绕地球无动力飞行且沿椭圆轨道运动，轨道上P点距地心最远，距离为3R。为研究方便，假设地球不自转且忽略空气阻力，则(　　) A．飞船经过P点的加速度一定是g9 B．飞船经过P点的速度一定是gR3 C．飞船经过P点的速度小于gR3 D．飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要制动减速 AC　[在地球表面重力加速度与万有引力加速度相等，根据牛顿第二定律有GMmR2＝mg，所以在地球表面有g＝GMR2，在P点根据牛顿第二定律有GMm3R2＝maP，联立解得aP＝g9，故A正确；在椭圆轨道上飞船从P点开始将做近心运动，此时满足飞船受到的万有引力大于飞船在P点所需向心力，即GMm3R2＞mvP23R，则vP＜gR3，故B错误，C正确；飞船经过P点时，若变轨到半径为3R的圆周上，需要点火加速，故D错误。] 11．天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件。假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小，若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是(　　) A．这两个黑洞运行的线速度大小始终相等 B．这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等 C．36倍太阳质量的黑洞和29倍太阳质量的黑洞运行的线速度大小之比为36∶29 D．随着两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小 D　[设大小两个黑洞做圆周运动的半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，由题意知，m1ω2r1＝m2ω2r2，解得r1r2＝m2m1＝2936，这两个黑洞做圆周运动的角速度相等，由v＝ωr知线速度大小不相等，故A错误；由an＝rω2知向心加速度大小不相等，故B错误；由v＝ωr知大小两黑洞运行的线速度大小之比为29∶36，故C错误；设两个黑洞间距为L，随着两个黑洞的间距缓慢减小，黑洞做匀速圆周运动的半径也在减小，根据万有引力提供向心力，对质量为m1的黑洞有Gm1m2L2＝m12πT2r1，对质量为m2的黑洞有Gm1m2L2＝m22πT2r2，r1＋r2＝L，解得T＝2πL3Gm1+m2，其中L为两个黑洞的间距，因m1、m2不变，L减小，所以周期减小，故D正确。] 二、非选择题 12．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星球中心距离为R，其运动周期为T，求两星球的总质量。 [解析]　设两星球质量分别为m1和m2，做圆周运动的半径分别为r1和R－r1，则由万有引力提供向心力得 4π2m1T2r1＝Gm1m2R2 ① 4π2m2T2(R－r1)＝Gm1m2R2 ② 由①②可得m1r1＝m2(R－r1) ③ 则m2r1＝m1+m2R ④ 由①④得m2r1＝4π2R2GT2＝m1+m2R 所以m1＋m2＝4π2R3GT2。 [答案]　4π2R3GT2 13．如图所示为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于P点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道，探测器距火星表面的高度为h，P、S两点分别是椭圆轨道的近火星点和远火星点，P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，S、Q间距离为H。探测器在轨道Ⅲ上绕火星做周期为T的匀速圆周运动，火星半径为R，引力常量为G。求： (1)火星的质量及火星表面的重力加速度； (2)火星的第一宇宙速度； (3)探测器在轨道Ⅱ上的运动周期。 [解析]　(1)探测器在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 GMmR+h2＝mR+h2πT2 解得M＝4π2R+h3GT2 根据黄金代换公式，即GM＝gR2 解得g＝4π2R+h3R2T2。 (2)设质量为m′的物体在火星附近做圆周运动，由万有引力提供向心力，即 GMm'R2＝m′v2R，解得v＝2πR+hTR+hR。 (3)根据开普勒第三定律得R+h+H23T'2＝R+h3T2 探测器在轨道Ⅱ上的运动周期 T′＝R+h+H2TR+hR+h+H2R+h。 [答案]　(1)4π2R+h3GT2　4π2R+h3R2T2　(2)2πR+hTR+hR　(3)R+h+H2TR+hR+h+H2R+h