冀教版11.3 公式法教学设计及反思

这是一份冀教版11.3 公式法教学设计及反思，共8页。

课时目标
1.经历用平方差公式探究分解因式的过程,体会从正反两个方面认识和研究事物的方法,体会逆向思维在数学中的作用.
2.会灵活运用平方差公式分解因式,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力.
学习重点
正确熟练地运用平方差公式进行因式分解.
学习难点
准确理解和掌握公式的结构特征,并灵活运用平方差公式进行因式分解.
课时活动设计
温故
1.请完成下面填空:
121=( ±11 )2,144=( ±12 )2,169=( ±13 )2,
196=( ±14) 2,225=( ±15 )2,256=( ±16 )2,
289=( ±17 )2,324=( ±18 )2,361=( ±19 )2.
2.请用平方差公式计算:
(1)(x+1)(x-1); (2)(3x+2)(3x-2).
解:(1)原式=x2-1; (2)原式=9x2-4.
知新
请同学们看下面多项式应如何分解?并说明理由.
(1)x2-1; (2)9x2-4.
解:(1)原式=x2-12=(x-1)(x+1);
(2)原式=(3x)2-22=(3x-2)(3x+2).
设计意图:根据学生已学的知识,设置问题串,既复习了相关概念又一步一步的引出今天的课题,让学生在温故中得新知,培养学生的自主学习能力.根据分解因式和整式乘法的互逆关系引出公式法.
思考多项式a2-b2如何分解?
设计意图:归纳总结可以利用平方差公式分解因式的多项式的特征:公式左边,①多项式是二项式;②两项都能写成平方的形式;③两项的符号相反.公式的右边是这两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积,满足平方差公式的结构就可以利用平方差公式进行因式分解.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界.
请指出下面各式中的a,b:
(1)25-x2; (2)x2-121y2;
(3)-x24+81y4;(4)-(a+b)2+x6.
解:(1)a=5,b=x;(2)a=x,b=11y;
(3)a=9y2,b=x2;(4)a=x3,b=a+b.
设计意图:进一步认识平方差公式的特点,加深对平方差公式的认识,为应用平方差公式做准备.
例1 把下列各式分解因式:
(1)36-a2; (2)4x2-9y2.
解:(1)原式=62-a2=(6-a)(6+a);
(2)原式=(2x)2-(3y)2=(2x-3y)(2x+3y).
例2 把下列各式分解因式:
(1)a3-16a; (2)2ab3-2ab.
解:(1)原式=a(a2-16)=a(a-4)(a+4);
(2)原式=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).
思考:请同学们想一想,在分解因式时,先考虑提取公因式,还是先考虑平方差公式?
设计意图: 例1学习了应用平方差公式分解因式;例2与提公因式稍加结合,学生尝试独立完成,教师指导,先由学生讨论,激发学生解决问题的积极性,初步感知因式分解的步骤是先观察是否有公因式,若有先提取公因式,再用平方差公式.引导学生对本节课进行梳理、反思,将知识系统化.
回顾与反思
1.我们学习了分解因式的几种方法?
2.两种方法各适合什么特点的多项式?
3.在利用平方差公式分解因式时应注意什么?
设计意图:引导学生对知识进行梳理、反思,将知识系统化.
课堂8分钟.
1.教材第149,150页习题A组第1,3,4题,B组第1题.
2.七彩作业.
第1课时 用平方差公式分解因式
1.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
特点:(1)左边是二项式,两项都能写成平方的形式,且两项的符号相反;
(2)右边是这两个数(式)的和与这两个数(式)的差的积.
2.例1 例2
教学反思



第2课时 用完全平方公式分解因式
课时目标
1.经历用完全平方公式探究分解因式的过程,会用完全平方公式对多项式进行因式分解.
2.会灵活运用完全平方公式和提公因式法分解因式,进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力.
学习重点
逆用完全平方公式进行因式分解.
学习难点
综合运用完全平方公式,提公因式,整体思想进行因式分解.
课时活动设计
复习导入,明确目标
问题1:什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?
解:把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,叫做多项式的因式分解.我们已经学过的因式分解的方法有提公因式法及用平方差公式分解因式.
问题2:把下列各式分解因式:
(1)ax4-ax2; (2)16m4-n4.
解:(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1);
(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2=(4m2+n2)(4m2-n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).
问题3:我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有什么公式?
解:完全平方公式.
问题4:请写出完全平方公式.
解:完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
设计意图:通过复习旧知识,激发学生的学习兴趣,明确学习目标.
新课讲授
1.和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.
这就是说,两个数的平方和,加上(或者减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子,可以把形式是完全平方式的多项式进行因式分解.
2.下列多项式是否为完全平方式?为什么?
(1)x2+6x+9; (2)x2+xy+y2;
(3)25x4-10x2+1; (4)16a2+1.
解:(1)是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方,6x=2·x·3,所以x2+6x+9=(x+3)2;
(2)不是完全平方式.因为第三部分需要是2xy;
(3)是完全平方式.25x4=(5x2)2 ,1=12,10x2=2·5x2·1,所以25x4-10x2+1=(5x2-1)2.
(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.
设计意图:1.根据学生已学过的知识,在判断一个多项式是否为完全平方式上,采取启发式的教学方法,引导学生积极思考问题,从中培养学生的思维品质.
2.让学生初步感知用完全平方公式分解因式的步骤.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,再运用完全平方公式把它进行因式分解.
用完全平方公式分解因式
例1 把下列各式分解因式:
(1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy-4y2.
解:(1)原式=(4x)2+2×4x×3+32=(4x+3)2;
(2)原式=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.
练习1 把下列各式分解因式:
(1)t2+22t+121; (2)m2+14n2-mn.
解:(1)原式=t2+2×t×11+112=(t+11)2;
(2)原式=m2-2×m×12n+12n2=m-12n2.
设计意图:通过例题讲解与练习,加深学生对完全平方公式逆用的理解.体会有时需要先把多项式经过适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.在此过程中培养学生的表达能力和应用能力,学会用数学语言表达现实世界.
提公因式法与公式法的综合应用
例2 把下列各式分解因式:
3ax2+6axy+3ay2.
解:3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
练习2 把下列各式分解因式:
(1)ax2+2a2x+a3; (2)-x2-y2+2xy.
解:(1)ax2+2a2x+a3
=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2;
(2)-x2-y2+2xy
=-(x2-2xy+y2)
=-(x-y)2.
整体思想的应用
例3 (a+b)2-12(a+b)+36.
解:(a+b)2-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2.
练习3 (x+y)2-4(x+y)+4.
解:(x+y)2-4(x+y)+4
=(x+y)2-2·(x+y)·2+22
=(x+y-2)2.
设计意图:例2学法指导,有公因式的先提公因式,然后再逆用完全平方公式进行因式分解;例3学法指导,将a+b看成整体,逆用完全平方公式进行因式分解.
达标检测,回扣目标
1.下列四个多项式中,能因式分解的是( B )
A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y
2.多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是( B )
A.4xy(x-y)-x3 B.-x(x-2y)2
C.x(4xy-4y2-x2) D.-x(-4xy+4y2+x2)
3.因式分解3x2-6x+3.
解:3x2-6x+3=3(x2-2x+1)=3(x-1)2.
4.因式分解a2-4a(b+c)+4(b+c)2.
解:a2-4a(b+c)+4(b+c)2
=a2-2·a·[2(b+c)]+[2(b+c)]2
=[a-2(b+c)]2
=(a-2b-2c)2.
设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.
回顾与反思
因式分解的一般步骤是什么?
因式分解的一般步骤:
一提:提公因式
1.提系数:系数是整数时,提系数的最大公约数;
系数是负数时提负数;
系数是分数时提分数.
保证剩余的第一项系数是正的、整的.
2.提字母:提相同的字母,且相同字母的指数取次数最低的.
二套:套公式
平方差公式,完全平方公式的逆用.
三检查:
是否可以合并同类项;是否可以继续分解.
设计意图:在大量的活动经验基础上,学生基本能掌握因式分解的基本方法.亲身感受到了若有公因式先提公因式,再利用公式法分解因式的便捷.系统归纳本章所学的因式分解方法以及注意事项.
课堂8分钟.
1.教材第152页习题A组第1,2,3,4题,B组第2题.
2.七彩作业.
第2课时 用完全平方公式分解因式
a2+2ab+b2=(a+b)2.
a2-2ab+b2=(a-b)2.
因式分解的一般步骤.
例1 例2 例3
教学反思