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高中人教版 (2019)3 万有引力理论的成就精品综合训练题
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这是一份高中人教版 (2019)3 万有引力理论的成就精品综合训练题，文件包含73万有引力理论的成就专题训练原卷版docx、73万有引力理论的成就专题训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
一．预言彗星的回归，发现未知天体（共4小题）
二．根据已知量计算出天体的质量（共8小题）
三．计算中心天体的质量和密度（共8小题）
四．已知近地表运行周期求密度（共3小题）
五．已知地月/卫系统常识可以求出的物理量（共6小题）
六．不同纬度的重力加速度（共4小题）
七．其他是球表面的重力加速度（共8小题）
八．在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g´（共5小题）
九．天体自转对自身结构及表面g的影响（共4小题）
十．不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度（共5小题）
一．预言彗星的回归，发现未知天体（共4小题）
1．天王星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，下列关于天王星的说法中正确的是（ ）
A．天王星绕太阳运动的线速度大小保持不变
B．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现的海王星
C．近日点处线速度小于远日点处线速度
D．天王星和月球椭圆轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值相同
【答案】B
【详解】AC．天王星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，根据开普勒第二定律可知，近日点处线速度大于远日点处线速度，故AC错误；
B．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现的海王星，故B正确；
D．天王星和月球不是绕同一中心天体转动，所以天王星和月球椭圆轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值不相同，故D错误。
故选B。
2．下列说法中正确的是（ ）
A．亚里士多德否定了托勒密提出的地心说，提出了日心说
B．卡文迪什利用扭秤装置，第一次比较准确地测定了万有引力常量
C．天王星是通过计算发现的新天体，被人们称为“笔尖下发现的行星”
D．已知月地距离约为地球半径60倍，要检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，只需验证地球吸引月球的加速度大小约为地球吸引苹果的加速度大小的
【答案】B
【详解】A．哥白尼否定了托勒密提出的地心说，提出日心说，故A错误；
B．卡文迪什利用扭秤装置，第一次比较准确地测定了万有引力常量，故B正确；
C．海王星是通过计算发现的新天体，被人们称为“笔尖下发现的行星”，故C错误；
D．已知月地距离约为地球半径60倍，要检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，只需验证地球吸引月球的加速度大小约为地球吸引苹果的加速度大小的，故D错误。
故选B。
3．（多选）在物理学规律的发现过程中许多科学家做出了重要的贡献，下列说法中符合史实的是（ ）
A．牛顿发现了行星运动规律
B．卡文迪许在实验室中测出了万有引力常量
C．胡克和哈雷对万有引力定律的发现做出了贡献
D．科学家通过万有引力定律计算预言了天王星的存在，后来被证实，因此天王星被称为“笔尖下发现的行星”
【答案】BC
【详解】A．开普勒发现了行星运动规律，A错误；
B．卡文迪许在实验室中测出了万有引力常量，B正确；
C．胡克和哈雷对万有引力定律的发现做出了贡献，C正确；
D．科学家通过万有引力定律计算预言了海王星的存在，后来被证实，因此海王星被称为“笔尖下发现的行星”，D错误。
故选BC。
4．发现未知天体
（1）海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星—— 。
（2）其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
【答案】海王星
【详解】（1）[1]海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
二．根据已知量计算出天体的质量（共8小题）
5．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其周期为T。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，忽略行星自转的影响。这颗行星的质量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在行星表面，有
解得
设行星质量为，半径为，卫星质量为，有
联立，解得
故选A。
6．2022年12月5日，“神舟十五”采用自主快速交会对接模式成功对接于空间站。若空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，已知引力常量G，则由下列物理量可以计算出地球质量的是（ ）
A．空间站的质量和绕地球运行的半径
B．空间站的质量和绕地球运行的周期
C．空间站绕地球运行的角速度和周期
D．空间站绕地球运行的线速度和角速度
【答案】D
【详解】D．已知空间站绕地球运行的线速度v 和角速度ω，可得空间站绕地球运行的半径为r＝，空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得
解得
故D正确；
AB．根据万有引力提供向心力
可得
与空间站的质量无关，只知道空间站绕地球运行的半径或只知道周期，求不出地球的质量，故AB错误；
C．根据角速度和周期的关系，根据万有引力提供向心力
可得
不知道空间站绕地球运行的半径，求不出地球的质量，故C错误。
故选D。
7．行星绕恒星运动的轨道半径不同，周期就不同，行星表面单位面积单位时间接受到的辐射能量也不同。如图所示为火星和地球环绕太阳运动的示意图。设火星绕太阳做圆周运动的周期为T1，地球绕太阳做圆周运动的周期为T2。在直射时，火星表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为E1，地球表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为E2。假定太阳的能量辐射各向均匀，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】将行星绕太阳运动简化为圆周运动，由万有引力提供向心力，对火星有
火星表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为
将行星绕太阳运动简化为圆周运动，由万有引力提供向心力，对地球有
地球表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为
解得
故选A。
8．（多选）假设“天问一号”探测器在环绕火星轨道上做匀速圆周运动时，探测到它恰好与火星表面某一山脉相对静止，测得相邻两次看到日出的时间间隔为T，探测器仪表上显示的绕行速度为v，已知引力常量为G，则（ ）
A．火星的质量为B．火星的质量为
C．探测器的轨道半径为D．火星的平均密度为
【答案】AC
【详解】ABC．由于探测器恰好与火星表面某一山脉相对静止，且相邻两次看到日出的时间间隔为T，可知探测器做匀速圆周运动的周期为T，根据
解得
，
故AC正确，B错误；
D．由于火星的半径不确定，则不能求出火星的平均密度，故D错误。
故选AC。
9．（多选）已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，距离地球表面高度为h的人造卫星的线速度大小为v、周期为T，引力常量为G，若不考虑地球自转，则地球质量的表达式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】A．由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有
故可得
A正确；
CD．由万有引力提供卫星绕地球运动的向心力，有
可得
D正确、C错误；
B．由
，
联立得
B错误。
故选AD。
10．有一宇宙飞船到了某行星附近（该行星没有自转运动），以速度v绕行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则该行星的半径为 ；该行星的质量为 。
【答案】
【详解】[1]根据
解得
[2]根据
解得
11．如图所示，月球探测器登月前，要从椭圆环月轨道Ⅰ转移至近月圆轨道Ⅱ、已知月球半径为R，椭圆轨道Ⅰ上的近月点P与远月点Q之间的距离为4R，探测器在近月圆轨道Ⅱ上的运行周期为T，万有引力常量为G。求：
（1）月球的质量M；
（2）探测器在椭圆轨道Ⅰ上的运行周期T'。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设探测器质量为m，探测器在近月圆轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
解得
（2）椭圆轨道Ⅰ的半长轴为
根据开普勒第三定律得
解得
12．“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v
（2）火星的质量M
（3）火星表面的重力加速度的大小g
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小
（2）根据
可得火星的质量
（3）根据
可得火星表面的重力加速度的大小
三．计算中心天体的质量和密度（共8小题）
13．如图所示，“嫦娥五号”、“天问一号”探测器分别在近月、近火星轨道运行，“嫦娥五号”探测器的运行周期为，“天问一号”探测器的运行周期为。假设月球、火星均可视为质量分布均匀的球体，则月球、火星的密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由万有引力提供向心力有
由密度公式
联立解得月球、火星的密度之比
故选D。
14．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课正式开讲，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课，若梦天实验舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其轨道半径约为地球半径的倍。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则根据以上已知信息不可求得的物理量是（ ）
A．地球的密度B．漂浮在实验舱中的宇航员所受地球的引力
C．实验舱绕地球运动的线速度大小D．实验舱绕地球运动的向心加速度大小
【答案】B
【详解】A.由于忽略地球自转的影响，所以在地表，有
得
则地球的平均密度约为
联立可得
故A错误；
B.漂浮在空间站中的宇航员所受地球的引力
由于m未知，不能求出漂浮在实验舱中的宇航员所受地球的引力。故B正确；
C.根据匀速圆周运动的规律，可知
同时有
解得
故C错误；
D.根据万有引力提供向心力，有
则空间站绕地球运动的向心加速度大小为
故D错误；
故选B。
15．假设宇宙是一团球形的密度均匀的物质，其各物理量均具有球对称性（即只与球的半径有关）。宇宙球对称地向外膨胀，半径为r的位置具有速度。不难发现，宇宙膨胀的过程中，其平均密度必然下降。若假设该宇宙球在膨胀过程中密度均匀（即球内各处密度相等），则应该有，其中H是一个可变化但与r无关的系数，那么的值应为（ ）
[提示：若是某一物理量，则对时间的导数为]
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】设t=0时刻，半径为r1宇宙球内质量为M1，半径在r1~r2之间的质量为M2，由于各处的密度相等，则
①
在经过极短时间△t后，各处的密度仍相等，则
②
整理②式可得
③
将①代入③忽略去二阶小量和三阶小量
整理得
r1、r2大小无关，若等式恒成立，则
故选A。
16．（多选）美国著名文学家马克·吐温曾满怀激情地说“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获”。假设在某星球赤道位置采得一矿石，称得其质量为，体积为，重力为。已知该星球可视为匀质球体，自转周期为。下列说法正确的是（ ）
A．矿石受到星球的万有引力大小为
B．赤道处的向心加速度大小可能等于
C．若已知引力常量G，可推知星球的半径
D．若已知引力常量G，可推知星球的质量
【答案】BCD
【详解】A．由于星球自转，万有引力提供向心力和重力；在赤道处重力小于万有引力，即矿石受到星球的万有引力大于，故A错误；
B．赤道处的重力大小可能等于向心力的大小，即可能有
可得赤道处的向心加速度大小为
故B正确；
C．根据
，，，
可知
即可解得R，故C正确；
D．由
，
可得
将R代入可得M，故D正确。
故选BCD。
17．（多选）当地球位于太阳和火星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“火星冲日”。现认为地球和火星在同一平面上、沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星半径约为地球半径的，质量约为地球质量的，火星的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，。下列说法正确的是（ ）
A．火星冲日时间间隔约为2.1年
B．火星与地球公转轨道半径之比约为2:3
C．火星与地球表面重力加速度之比约为2:9
D．火星与地球密度之比约为8:9
【答案】AD
【详解】A．火星冲日时，地球与火星相距最近，因此到下一次相距最近时，两者运行角度差一整个圆周角，所以可得
解得
A正确；
B．根据开普勒第三定律可得
可解得火星与地球公转轨道半径之比约为3：2，B错误；
C．在星球表面，根据万有引力提供重力可得
解得
因此代入数据可解得火星与地球表面重力加速度之比约为4：9，C错误；
D．由密度公式
可得因此可解得火星与地球密度之比约为8：9，D正确。
故选AD。
18．已知绕中心天体做匀速圆周运动的星体的轨道半径r，运动周期为T，万有引力恒量为 G。
（1）若中心天体的半径为R，则其平均密度ρ=
（2） 已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R'，如果不考虑地球自转的影响，用以上各量表示地球的平均密度为
【答案】
【详解】（1）[1]根据牛顿第二定律得
根据密度公式
解得
（2）[2]根据黄金代换式
根据密度公式得
解得
19．若某行星上一昼夜的时间是 2h。在该行星的赤道处用弹簧秤测量一物体的重力时发现其读数是在两极时测量读数的，已知引力常量 则由以上数据可以估算出此行星的平均密度为 kg/m³。（保留一位有效数字、使用科学记数法，球体的体积为
【答案】
【详解】物体在行星赤道上时，由于随行星的自转而做匀速圆周运动，因而需要向心力。此向心力来源于行星对它的万有引力，是引力的一个分力，引力的另一个分力就是物体的重力。
物体在赤道上时其重力
物体在两极时，其所受力就是行星对它的万有引力，即
由题意知
可得
所以行星的密度
20．如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。太阳系内某探测器距离该恒星很远，可看作相对于恒星静止。由于P的遮挡，该探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化（和已知），此周期与P的公转周期相同。已知引力常量为G，求：
（1）P公转的周期；
（2）恒星Q的质量。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由图可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为
则P的公转周期为
（2）由万有引力提供向心力可得
解得质量为
四．已知近地表运行周期求密度（共3小题）
21．如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为。则星球的平均密度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为
，
由开普勒第三定律得
整理得
星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得
星球质量的表达式为
联立得
故选A。
22．中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设近地卫星的质量为，火星的质量为，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有
可得
可得火星的密度为
将
代入上式可得
又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有
解得
因此火星的密度为
故ACD正确，B错误。
此题选择错误选项，故选Ｂ。
23．（多选）太空探测器来到某未知星球，贴着该星球表面做圆周运动，周期为T；在离星球表面高度为h的轨道上做圆周运动，运行周期为8T，引力常量为G，则（ ）
A．该星球的密度为B．该星球的密度为
C．该星球的半径为3hD．该星球的半径为
【答案】AD
【详解】AB．设星球的半径为R，则
解得
故A正确，B错误；
CD．由
解得
故C错误，D正确。
故选AD。
五．已知地月/卫系统常识可以求出的物理量（共6小题）
24．1970年4月24日，第一颗人造卫星东方红一号在酒泉卫星发射中心成功发射。由长征一号运载火箭送入椭圆轨道。若该卫星运行轨道与地面的最近距离为，最远距离为。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，根据以上信息不可求出的物理量有（ ）
A．地球的质量
B．月球表面的重力加速度
C．月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径
D．东方红一号绕地球运动的周期
【答案】B
【详解】A.根据地球表面物体重力等于万有引力得
得地球质量
A可求，故A错误；
B.因为月球质量未知，月球的半径也未知，所以月球表面的重力加速度无法求出，B不可求；故B正确；
C.由于月球绕地球做匀速圆周运动，故
故可以求出月球的轨道半径r，C可求，故C错误；
D.根据开普勒第三定律
其中
代入可求得东方红一号的周期，D可求，故D错误。
故选B。
25．某位同学在媒体上看到一篇报道称：“地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”，此时火星和地球间距约为8220万千米，平均780天才会出现一次。他根据所学高中物理知识，设火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示，已知地球的公转周期为365天，引力常量。 根据以上信息，他无法估算出下列哪个物理量（ ）
A．太阳的质量B．火星的质量
C．火星绕太阳运动的轨道半径D．火星绕太阳运动的公转周期
【答案】B
【详解】根据题目条件，地球与火星两次相遇的时间间隔t为780天，则有
已知地球的公转周期 T地为 365天，则可求出火星绕太阳运动的公转周期。已知火星和地球间距 r₁约为8220万千米，利用万有引力提供向心力公式
可求出太阳的质量M太及火星绕太阳运动的轨道半径r火，无法计算火星的质量。
故选B。
26．2022年11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船自主快速交会对接于天和核心舱前向端口，中国空间站首次形成“三舱三船”组合体，达到当前设计的最大构型。中国空间站在离地面高度的圆轨道，做周期为分钟的圆周运动，地球半径为，引力常量。由上述资料不能估算出（ ）
A．地球的质量B．地球的平均密度
C．空间站的质量D．地球表面的重力加速度
【答案】C
【详解】设地球质量为M，空间站质量为m，根据万有引力提供向心力有
解得
则地球的平均密度
设地球表面的物体质量为，根据万有引力与重力近似相等有
解得
由题分析可知空间站离地面的高度h、周期T，地球的半径R都已知，则可估算出地球的质量、平均密度和地球表面的重力加速度，但不能估算空间站的质量。
故选C。
27．（多选）太阳质量为，地球质量为，地球绕太阳公转的周期为，万有引力常量为，地球公转半径为，地球表面重力加速度为．则以下计算式中正确的是（ ）
A．地球公转所需的向心力为B．地球公转半径
C．地球公转的角速度D．地球公转的向心加速度
【答案】BD
【详解】A．表示地球表面重力加速度，所以不能表示地球公转所需的向心力，A错误；
B．根据牛顿第二定律得
解得
B正确；
C．根据牛顿第二定律得
解得
C错误；
D．根据牛顿第二定律得
解得
D正确。
故选BD。
28．小程同学设想人类若想在月球定居，需要不断地把地球上相关物品搬运到月球上。经过长时间搬运后，地球质量M地逐渐减小，月球质量m月逐渐增加，但M地> m月，不计搬运过程中质量的损失。假设地球与月球均可视为质量均匀球体，月球绕地球转动的轨道半径不变，它们之间的万有引力将 ，月球的线速度将 。（均选填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】 变大 变小
【详解】[1]令地球与月球质量和值为A，根据
可知，当地球质量减小，而M地> m月，地球与月球之间的万有引力将变大。
[2]根据
解得
地球质量减小，则月球的线速度将变小。
29．设定月球绕地球做匀速圆周运动，周期为T，已知月球质量为m，地球质量为M，引力常量为G。
（1）求月球中心到地心的距离；
（2）某卫星运行到地、月间某位置时，该卫星所受地、月引力恰好平衡，求该位置到月球中心的距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设月球中心到地心的距离为R，由
得
（2）设该位置到月球中心的距离为r，卫星质量为，由题知
解得
代入得
六．不同纬度的重力加速度（共4小题）
30．一半径为R、质量分布均匀的球形行星绕其自转轴匀速转动。若质量为m的物体在该行星两极时的重力为G0，在该行星赤道上的重力为，设行星自转的角速度为ω，则下列表达式正确的是（ ）
A．ω＝B．ω＝
C．ω＝D．ω＝
【答案】A
【详解】在两极上
G＝G0
在该行星赤道上时，万有引力、重力、向心力满足关系
＝G0＋mω2R
解得
ω＝
故选A。
31．天文研究发现，木星是太阳系中最大的行星，其质量是太阳系中其他行星质量总和的倍，其直径约为地球直径的10倍，质量约为地球质量的300倍，公转的轨道半径约为5个天文单位（地球与太阳的距离为1个天文单位），若木星和地球公转的轨道均视为圆轨道，下列说法错误的是（ ）
A．木星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的3倍
B．木星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的倍
C．木星的密度约为地球密度的
D．木星公转的周期约为年
【答案】B
【详解】A．根据
得
因为木星与地球质量之比为，半径之比为，则代入数据得
故A正确；
B．根据
得
由木星与地球质量之比为300，半径之比为10，则代入数据解得木星与地球第一宇宙速度之比为
故B错误；
C．根据
得
已知表面重力加速度之比为，半径之比为10，代入数据解得木星与地球密度之比为
故C正确；
D．根据
得
得
代入数据解得木星公转的周期约为
年
故D正确。
据题意选择错误选项，故选B。
32．（多选）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力公式可知
P、Q距球心的距离相等，故P、Q受地球引力大小相等，A正确；
BC．P、Q做圆周运动的轨道圆心在地轴上，做同轴转动，且它们的运动半径，根据向心力的公式可知
又，则
B错误，C正确；
D．物体的重力是万有引力的一个人力，赤道处最小，两极处最大，D错误。
故选AC。
33．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同：若地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体。求：
（1）地球半径R；
（2）若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，求此时地球自转周期T'。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在地球表面两极
在赤道处，由牛顿第二定律可得
解得
（2）赤道上的物体恰好能飘起来，物体受到的万有引力恰好提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得
七．其他是球表面的重力加速度（共8小题）
34．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（ ）
A．0.2gB．0.4gC．2.0gD．2.5g
【答案】B
【详解】根据万有引力与重力的关系
可得
则
火星表面的重力加速度约为
故选B。
35．若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）
A．1014B．1010C．108D．1012
【答案】D
【详解】在黑洞表面有
根据题意有
解得
即该黑洞表面重力加速度的数量级为1012。
故选D。
36．今年的学校运动会，高三（3）班的小明参加跳高比赛，成绩为1.50m，若将他跳高的上升运动视为竖直上抛运动，如果小明以与在地球上相同的初速度在月球上起跳，已知月球的半径大约是地球半径的，质量是地球质量的，忽略月球的自转影响，则小明能达到的最大高度大约为（ ）
A．1mB．4mC．8mD．16m
【答案】C
【详解】设地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，黄金代换式
已知月球的半径是地球半径的，质量是地球质量的，则月球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的，即g，运动员以初速度在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出运动员可跳起的最大高度
由于月球表面的重力加速度是g，运动员以相同的初速度在月球上起跳时，可跳起的最大高度
只有选项C接近。
故选C。
37．（多选）某星球的质量约为地球的，半径约为地球的。设其质量分布均匀且不考虑自转，地球表面重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的有（ ）
A．该星球表面的重力加速度约为20m/s2
B．该星球表面的重力加速度约为2m/s2
C．在地球表面重100N的物体，在该星球表面重约200N
D．在地球表面重100N的物体，在该星球表面重约20N
【答案】BD
【详解】由万有引力公式可得
则该星球的重力加速度
在地球表面重力
G=mg=100N
在该星球表面
G'=mg'=20N
故选BD。
38．（多选）2020年7月23日，“天问一号”探测器成功发射，开启了探测火星之旅。截至2022年4月，“天问一号”已依次完成了“绕、落、巡”三大目标。假设地球近地卫星的周期与火星近火卫最的周期比值为p，地球半径与火星半径的比值为q。则下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在“绕”的过程中，处于非平衡状态
B．“天问一号”在“落”的过程中，始终处于失重状态
C．地球质量与火星质量之比为
D．地球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为q： p2
【答案】AD
【详解】A．“天问一号"在“绕”的过程中，受到了火星的万有引力作用，处于非平衡状态，故A正确；
B．“天问一号"在“落”的最后阶段，发动机提供了反向的推力使其减速，最终平稳降落，所以并不是始终处于失重状态，故B错误；
C．地球质量与火星质量之比为
故C错误；
D．地球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为
故D正确。
故选AD。
39．一个身高大约为1.8米的宇航员在月球表面进行落体实验，宇航员从头顶处释放了一个小球，测出小球的落地时间为1.5秒，宇航员据此估算出月球的重力加速度为 m/s2（结果保留两位有效数字），宇航员估算月球表面重力加速度时忽略的因素是 。
【答案】 1.6 地球和其他星球对月球的影响，忽略月球自转
【详解】[1]根据位移公式有
解得
[2]宇航员估算月球表面重力加速度时忽略的因素是忽略地球和其他星球对月球的影响，忽略月球自转。
40．2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。已知火星质量为M，半径为R，万有引力常量为G。若着陆巡视器停在火星表面在离地面高h处以水平初速度v0弹射出一个小物体，落在火星地面上。求：
（1）火星表面重力加速度大小g；
（2）小物体落地点距抛出点的水平距离x。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在火星表面万有引力产生的加速度是重力加速度，假设在火星表面有一个质量为m的物体，则有
解得
（2）设小物体经过时间t落到火星表面，则有
解得
41．2013年12月2日“嫦娥三号”成功发射，使我国的登月计划的实现又近了一步．我们已经知道月球表面的重力加速度约为地球表面的六分之一，假设将来我国一名质量为的宇航员登上月球．（地球表面的重力加速度）
（1）求这名宇航员在月球上的重力大小。（保留三位有效数字）
（2）假设这名宇航员在地球上最多能举起的物体，那么该宇航员在月球上最多能举起多大质量的物体？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意知月球表面重力加速度为，故这名宇航员在月球上的重力大小为
（2）这名宇航员在地球上最多能举起的物体，则他的举力就为
设该宇航员在月球上最多能举起质量的物体，根据二力平衡条件得
解得
八．在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g´（共5小题）
42．一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为2kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为15N，已知地球半径为R，则此时火箭离地球表面的距离为（地球表面处的重力加速度g取10 m/s2）（ ）
A．0.5RB．RC．2RD．3R
【答案】B
【详解】在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得
FN－mg′＝ma
解得
g＇=2.5 m/s2
在地球表面上有
在地球表面一定高度有
联立得
r＝2R
故选B。
43．假设地球是一半径为，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。忽略地球自转的影响，距离地球球心为处的重力加速度大小为，下列关于关系描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设地球的密度为，当时，有
可得
当时，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为的部位，受到地球的万有引力是半径等于的球体在其表面产生的万有引力，则有
当后，有
故选B。
44．（多选）设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1 = F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为；假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．F4 = 0D．
【答案】AC
【详解】AB．设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力
由于在赤道处，弹簧测力计的读数为，则
F1−F2 = mω2∙R
由于球体的体积公式为，所以半径以内的部分的质量为
物体在处受到的万有引力
物体需要的向心力
所以在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为
故A正确、B错误；
CD．第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧秤的示数为0，故C正确、D错误。
故选AC。
45．2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接。11月3日，梦天实验舱与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h，地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，组合体轨道处的重力加速度为 ，地球的平均密度可表示为 。
【答案】
【详解】[1]根据万有引力提供向心力有
根据万有引力与重力的关系有
联立可得组合体轨道处的重力加速度为
[2]地球的平均密度为
46．设想从地球赤道平面内架设一垂直于地面延伸到太空的电梯，电梯的箱体可以将人从地面运送到地球同步轨道的空间站。已知地球表面两极处的重力加速度为，地球自转周期为，地球半径为，万有引力常量为。求
（1）同步轨道空间站距地面的高度；
（2）太空电梯的箱体停在距地面高处时，箱体对质量为的乘客的作用力。
【答案】（1）；（2），方向为背离地心
【详解】（1）由万有引力提供向心力
在地球表面两极处有
联立可得，同步轨道空间站距地面的高度为
（2）太空电梯的箱体停在距地面高处时，乘客受到的万有引力为
太空电梯的箱体停在距地面高处时，乘客所需要的向心力为
所以，箱体对质量为的乘客的作用力为
方向为背离地心。
九．天体自转对自身结构及表面g的影响（共4小题）
47．如图所示，地球可视为质量分布均匀的球体，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径认为约等于地球半径）。已知a随地球一起做圆周运动的周期约为b周期的16倍，则地球赤道上和两极处的重力加速度之比约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，设两极处的重力加速度为，则有
对卫星有
设赤道上的重力加速度为，对卫星有
整理可得
故选D。
48．若在未来的一次人类深空探测中，航天员乘飞船来到X星球，航天员在该星球上测得极地的重力加速度为，赤道上的重力加速度为，飞船在X星球表面近地绕行时的速度为v，则X星球的自转周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设X星球的半径为R，在极地有
在赤道有
飞船在X星球表面近地绕行时有
解得
故选A。
49．（多选）已知地球半径为R，自转周期为T，卫星近地面环绕速度为，在南极点附近，从距地面高h处的位置，以某初速度水平抛出一物体，经时间t后物体落回地面，h远小于R，物体的运动可看作平抛运动。地球赤道上的重力加速度可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】AC．在南极点附近，根据动力学公式
地球赤道上的物体的加速度
地球赤道上的重力加速度可表示为
故A错误，C正确；
BD．在赤道位置有
可得
故B错误，D正确。
故选CD。
50．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。
【答案】（1），0.98；（2）
【详解】（1）在北极，物体受到的重力等于地球的引力。则
在北极上空高出地面h处测量
则
当时
（2）在赤道，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小等于弹簧秤示数）与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
得
十．不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度（共5小题）
51．已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，将地球视为质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，则地球质量等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】地球表面重力与万有引力相等有
可得地球质量为
故选A。
52．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。火星探测器着陆火星时，就可以用下面方法测量的火星的半径：先让飞船在火星引力的作用下在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，记下环绕一周所用的时间T，然后回到火星表面，从高h处自由落下一个小球，记录小球下落的时间t，由此可测得火星的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为飞船在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时，满足
又在天体表面满足
又由自由落体运动规律得
联立解得
故选D。
53．（多选）我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。如图所示，卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为；月球绕地球公转的周期为，公转轨道半径为r；地球半径为，月球半径为，忽略地球、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量G已知。下列说法正确的是（ ）
A．月球质量
B．地球表面重力加速度
C．绕月卫星的发射速度远大于地球的第二宇宙速度
D．“月地检验”的目的是为了说明地球对月球的引力与太阳对地球的引力是同一种性质的力
【答案】AB
【详解】A．对月球的极地卫星
解得月球质量
选项A正确；
B．月球绕地球运动时
对地球表面的物体
地球表面重力加速度
选项B正确；
C．绕月卫星没有脱离地球的引力，则其发射速度小于地球的第二宇宙速度，选项C错误；
D．月-地检验说明地球对地面物体的引力和地球对月球的引力是同一种性质的力，选项D错误。
故选AB。
54．“天问一号”是中国行星探测器名称，该名称源于屈原长诗《天问》，表达了中华民族对真理追求的坚韧与执着，体现了对自然和宇宙空间探索的文化传承，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境假设“天问一号”着陆火星前在贴近火星表面的轨道（可认为其轨道半径等于火星半径）上做匀速圆周运动，用秒表测得其绕行一周所用时间为t1；着陆火星后在距离火星表面h高度处，无初速释放一小球，经时间t2小球落地，引力常量为G。
（1）根据以上实验信息可以确定火星表面的重力加速度大小为 ；
（2）由此可以估算出火星半径大小为 ；火星密度约为 。（用所测物理量的符号表示）
【答案】
【详解】（1）[1]设火星表面重力加速度为g，则无初速释放一小球，小球做自由落体运动，根据
解得
（2）[2]天问一号绕火星近地飞行的周期为，天问一号在火星表面运行过程，设火星的半径为R，据万有引力提供向心力可得
又因为
解得
[3]因为火星体积为
则火星的密度为
联立解得火星密度为
55．如图所示，地球半径为R，O为球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的中点．设想在地球内部挖掉一以B为圆心，半径为的球，忽略地球自转影响，将地球视为质量分布均匀的球体．则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为？
【答案】
【详解】挖前，质量为m的物体在A点受到的重力
挖去后质量为的球体后在A点受到的重力
其中
联立各式解得
火星-Mars
火星的小档案
直径d=6779km
质量M=6.4171×1023kg
表面的重力加速度g0=3.7m/s2
近地卫星的周期T=3.4h
一．预言彗星的回归，发现未知天体（共4小题）
二．根据已知量计算出天体的质量（共8小题）
三．计算中心天体的质量和密度（共8小题）
四．已知近地表运行周期求密度（共3小题）
五．已知地月/卫系统常识可以求出的物理量（共6小题）
六．不同纬度的重力加速度（共4小题）
七．其他是球表面的重力加速度（共8小题）
八．在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g´（共5小题）
九．天体自转对自身结构及表面g的影响（共4小题）
十．不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度（共5小题）
一．预言彗星的回归，发现未知天体（共4小题）
1．天王星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，下列关于天王星的说法中正确的是（ ）
A．天王星绕太阳运动的线速度大小保持不变
B．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现的海王星
C．近日点处线速度小于远日点处线速度
D．天王星和月球椭圆轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值相同
【答案】B
【详解】AC．天王星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，根据开普勒第二定律可知，近日点处线速度大于远日点处线速度，故AC错误；
B．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现的海王星，故B正确；
D．天王星和月球不是绕同一中心天体转动，所以天王星和月球椭圆轨道半长轴的三次方与公转周期二次方的比值不相同，故D错误。
故选B。
2．下列说法中正确的是（ ）
A．亚里士多德否定了托勒密提出的地心说，提出了日心说
B．卡文迪什利用扭秤装置，第一次比较准确地测定了万有引力常量
C．天王星是通过计算发现的新天体，被人们称为“笔尖下发现的行星”
D．已知月地距离约为地球半径60倍，要检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，只需验证地球吸引月球的加速度大小约为地球吸引苹果的加速度大小的
【答案】B
【详解】A．哥白尼否定了托勒密提出的地心说，提出日心说，故A错误；
B．卡文迪什利用扭秤装置，第一次比较准确地测定了万有引力常量，故B正确；
C．海王星是通过计算发现的新天体，被人们称为“笔尖下发现的行星”，故C错误；
D．已知月地距离约为地球半径60倍，要检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，只需验证地球吸引月球的加速度大小约为地球吸引苹果的加速度大小的，故D错误。
故选B。
3．（多选）在物理学规律的发现过程中许多科学家做出了重要的贡献，下列说法中符合史实的是（ ）
A．牛顿发现了行星运动规律
B．卡文迪许在实验室中测出了万有引力常量
C．胡克和哈雷对万有引力定律的发现做出了贡献
D．科学家通过万有引力定律计算预言了天王星的存在，后来被证实，因此天王星被称为“笔尖下发现的行星”
【答案】BC
【详解】A．开普勒发现了行星运动规律，A错误；
B．卡文迪许在实验室中测出了万有引力常量，B正确；
C．胡克和哈雷对万有引力定律的发现做出了贡献，C正确；
D．科学家通过万有引力定律计算预言了海王星的存在，后来被证实，因此海王星被称为“笔尖下发现的行星”，D错误。
故选BC。
4．发现未知天体
（1）海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星—— 。
（2）其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。
【答案】海王星
【详解】（1）[1]海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
二．根据已知量计算出天体的质量（共8小题）
5．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其周期为T。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F，已知引力常量为G，忽略行星自转的影响。这颗行星的质量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在行星表面，有
解得
设行星质量为，半径为，卫星质量为，有
联立，解得
故选A。
6．2022年12月5日，“神舟十五”采用自主快速交会对接模式成功对接于空间站。若空间站绕地球的运动可视为匀速圆周运动，已知引力常量G，则由下列物理量可以计算出地球质量的是（ ）
A．空间站的质量和绕地球运行的半径
B．空间站的质量和绕地球运行的周期
C．空间站绕地球运行的角速度和周期
D．空间站绕地球运行的线速度和角速度
【答案】D
【详解】D．已知空间站绕地球运行的线速度v 和角速度ω，可得空间站绕地球运行的半径为r＝，空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得
解得
故D正确；
AB．根据万有引力提供向心力
可得
与空间站的质量无关，只知道空间站绕地球运行的半径或只知道周期，求不出地球的质量，故AB错误；
C．根据角速度和周期的关系，根据万有引力提供向心力
可得
不知道空间站绕地球运行的半径，求不出地球的质量，故C错误。
故选D。
7．行星绕恒星运动的轨道半径不同，周期就不同，行星表面单位面积单位时间接受到的辐射能量也不同。如图所示为火星和地球环绕太阳运动的示意图。设火星绕太阳做圆周运动的周期为T1，地球绕太阳做圆周运动的周期为T2。在直射时，火星表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为E1，地球表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为E2。假定太阳的能量辐射各向均匀，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】将行星绕太阳运动简化为圆周运动，由万有引力提供向心力，对火星有
火星表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为
将行星绕太阳运动简化为圆周运动，由万有引力提供向心力，对地球有
地球表面单位面积单位时间接受到的辐射能量为
解得
故选A。
8．（多选）假设“天问一号”探测器在环绕火星轨道上做匀速圆周运动时，探测到它恰好与火星表面某一山脉相对静止，测得相邻两次看到日出的时间间隔为T，探测器仪表上显示的绕行速度为v，已知引力常量为G，则（ ）
A．火星的质量为B．火星的质量为
C．探测器的轨道半径为D．火星的平均密度为
【答案】AC
【详解】ABC．由于探测器恰好与火星表面某一山脉相对静止，且相邻两次看到日出的时间间隔为T，可知探测器做匀速圆周运动的周期为T，根据
解得
，
故AC正确，B错误；
D．由于火星的半径不确定，则不能求出火星的平均密度，故D错误。
故选AC。
9．（多选）已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，距离地球表面高度为h的人造卫星的线速度大小为v、周期为T，引力常量为G，若不考虑地球自转，则地球质量的表达式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】A．由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有
故可得
A正确；
CD．由万有引力提供卫星绕地球运动的向心力，有
可得
D正确、C错误；
B．由
，
联立得
B错误。
故选AD。
10．有一宇宙飞船到了某行星附近（该行星没有自转运动），以速度v绕行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则该行星的半径为 ；该行星的质量为 。
【答案】
【详解】[1]根据
解得
[2]根据
解得
11．如图所示，月球探测器登月前，要从椭圆环月轨道Ⅰ转移至近月圆轨道Ⅱ、已知月球半径为R，椭圆轨道Ⅰ上的近月点P与远月点Q之间的距离为4R，探测器在近月圆轨道Ⅱ上的运行周期为T，万有引力常量为G。求：
（1）月球的质量M；
（2）探测器在椭圆轨道Ⅰ上的运行周期T'。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设探测器质量为m，探测器在近月圆轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
解得
（2）椭圆轨道Ⅰ的半长轴为
根据开普勒第三定律得
解得
12．“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r。已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转
（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v
（2）火星的质量M
（3）火星表面的重力加速度的大小g
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小
（2）根据
可得火星的质量
（3）根据
可得火星表面的重力加速度的大小
三．计算中心天体的质量和密度（共8小题）
13．如图所示，“嫦娥五号”、“天问一号”探测器分别在近月、近火星轨道运行，“嫦娥五号”探测器的运行周期为，“天问一号”探测器的运行周期为。假设月球、火星均可视为质量分布均匀的球体，则月球、火星的密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由万有引力提供向心力有
由密度公式
联立解得月球、火星的密度之比
故选D。
14．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课正式开讲，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课，若梦天实验舱绕地球的运动可视为匀速圆周运动，其轨道半径约为地球半径的倍。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则根据以上已知信息不可求得的物理量是（ ）
A．地球的密度B．漂浮在实验舱中的宇航员所受地球的引力
C．实验舱绕地球运动的线速度大小D．实验舱绕地球运动的向心加速度大小
【答案】B
【详解】A.由于忽略地球自转的影响，所以在地表，有
得
则地球的平均密度约为
联立可得
故A错误；
B.漂浮在空间站中的宇航员所受地球的引力
由于m未知，不能求出漂浮在实验舱中的宇航员所受地球的引力。故B正确；
C.根据匀速圆周运动的规律，可知
同时有
解得
故C错误；
D.根据万有引力提供向心力，有
则空间站绕地球运动的向心加速度大小为
故D错误；
故选B。
15．假设宇宙是一团球形的密度均匀的物质，其各物理量均具有球对称性（即只与球的半径有关）。宇宙球对称地向外膨胀，半径为r的位置具有速度。不难发现，宇宙膨胀的过程中，其平均密度必然下降。若假设该宇宙球在膨胀过程中密度均匀（即球内各处密度相等），则应该有，其中H是一个可变化但与r无关的系数，那么的值应为（ ）
[提示：若是某一物理量，则对时间的导数为]
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】设t=0时刻，半径为r1宇宙球内质量为M1，半径在r1~r2之间的质量为M2，由于各处的密度相等，则
①
在经过极短时间△t后，各处的密度仍相等，则
②
整理②式可得
③
将①代入③忽略去二阶小量和三阶小量
整理得
r1、r2大小无关，若等式恒成立，则
故选A。
16．（多选）美国著名文学家马克·吐温曾满怀激情地说“科学真是迷人，根据零星的事实，增添一点猜想，竟能获得那么多收获”。假设在某星球赤道位置采得一矿石，称得其质量为，体积为，重力为。已知该星球可视为匀质球体，自转周期为。下列说法正确的是（ ）
A．矿石受到星球的万有引力大小为
B．赤道处的向心加速度大小可能等于
C．若已知引力常量G，可推知星球的半径
D．若已知引力常量G，可推知星球的质量
【答案】BCD
【详解】A．由于星球自转，万有引力提供向心力和重力；在赤道处重力小于万有引力，即矿石受到星球的万有引力大于，故A错误；
B．赤道处的重力大小可能等于向心力的大小，即可能有
可得赤道处的向心加速度大小为
故B正确；
C．根据
，，，
可知
即可解得R，故C正确；
D．由
，
可得
将R代入可得M，故D正确。
故选BCD。
17．（多选）当地球位于太阳和火星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“火星冲日”。现认为地球和火星在同一平面上、沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星半径约为地球半径的，质量约为地球质量的，火星的公转周期约为地球公转周期的1.9倍，。下列说法正确的是（ ）
A．火星冲日时间间隔约为2.1年
B．火星与地球公转轨道半径之比约为2:3
C．火星与地球表面重力加速度之比约为2:9
D．火星与地球密度之比约为8:9
【答案】AD
【详解】A．火星冲日时，地球与火星相距最近，因此到下一次相距最近时，两者运行角度差一整个圆周角，所以可得
解得
A正确；
B．根据开普勒第三定律可得
可解得火星与地球公转轨道半径之比约为3：2，B错误；
C．在星球表面，根据万有引力提供重力可得
解得
因此代入数据可解得火星与地球表面重力加速度之比约为4：9，C错误；
D．由密度公式
可得因此可解得火星与地球密度之比约为8：9，D正确。
故选AD。
18．已知绕中心天体做匀速圆周运动的星体的轨道半径r，运动周期为T，万有引力恒量为 G。
（1）若中心天体的半径为R，则其平均密度ρ=
（2） 已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R'，如果不考虑地球自转的影响，用以上各量表示地球的平均密度为
【答案】
【详解】（1）[1]根据牛顿第二定律得
根据密度公式
解得
（2）[2]根据黄金代换式
根据密度公式得
解得
19．若某行星上一昼夜的时间是 2h。在该行星的赤道处用弹簧秤测量一物体的重力时发现其读数是在两极时测量读数的，已知引力常量 则由以上数据可以估算出此行星的平均密度为 kg/m³。（保留一位有效数字、使用科学记数法，球体的体积为
【答案】
【详解】物体在行星赤道上时，由于随行星的自转而做匀速圆周运动，因而需要向心力。此向心力来源于行星对它的万有引力，是引力的一个分力，引力的另一个分力就是物体的重力。
物体在赤道上时其重力
物体在两极时，其所受力就是行星对它的万有引力，即
由题意知
可得
所以行星的密度
20．如图甲所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做半径为r的匀速圆周运动。太阳系内某探测器距离该恒星很远，可看作相对于恒星静止。由于P的遮挡，该探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化（和已知），此周期与P的公转周期相同。已知引力常量为G，求：
（1）P公转的周期；
（2）恒星Q的质量。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由图可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为
则P的公转周期为
（2）由万有引力提供向心力可得
解得质量为
四．已知近地表运行周期求密度（共3小题）
21．如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为。则星球的平均密度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为
，
由开普勒第三定律得
整理得
星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得
星球质量的表达式为
联立得
故选A。
22．中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的公式错误的是（引力常量G已知，忽略火星自转的影响）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设近地卫星的质量为，火星的质量为，对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有
可得
可得火星的密度为
将
代入上式可得
又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有
解得
因此火星的密度为
故ACD正确，B错误。
此题选择错误选项，故选Ｂ。
23．（多选）太空探测器来到某未知星球，贴着该星球表面做圆周运动，周期为T；在离星球表面高度为h的轨道上做圆周运动，运行周期为8T，引力常量为G，则（ ）
A．该星球的密度为B．该星球的密度为
C．该星球的半径为3hD．该星球的半径为
【答案】AD
【详解】AB．设星球的半径为R，则
解得
故A正确，B错误；
CD．由
解得
故C错误，D正确。
故选AD。
五．已知地月/卫系统常识可以求出的物理量（共6小题）
24．1970年4月24日，第一颗人造卫星东方红一号在酒泉卫星发射中心成功发射。由长征一号运载火箭送入椭圆轨道。若该卫星运行轨道与地面的最近距离为，最远距离为。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，根据以上信息不可求出的物理量有（ ）
A．地球的质量
B．月球表面的重力加速度
C．月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径
D．东方红一号绕地球运动的周期
【答案】B
【详解】A.根据地球表面物体重力等于万有引力得
得地球质量
A可求，故A错误；
B.因为月球质量未知，月球的半径也未知，所以月球表面的重力加速度无法求出，B不可求；故B正确；
C.由于月球绕地球做匀速圆周运动，故
故可以求出月球的轨道半径r，C可求，故C错误；
D.根据开普勒第三定律
其中
代入可求得东方红一号的周期，D可求，故D错误。
故选B。
25．某位同学在媒体上看到一篇报道称：“地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”，此时火星和地球间距约为8220万千米，平均780天才会出现一次。他根据所学高中物理知识，设火星和地球在同一平面内沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示，已知地球的公转周期为365天，引力常量。 根据以上信息，他无法估算出下列哪个物理量（ ）
A．太阳的质量B．火星的质量
C．火星绕太阳运动的轨道半径D．火星绕太阳运动的公转周期
【答案】B
【详解】根据题目条件，地球与火星两次相遇的时间间隔t为780天，则有
已知地球的公转周期 T地为 365天，则可求出火星绕太阳运动的公转周期。已知火星和地球间距 r₁约为8220万千米，利用万有引力提供向心力公式
可求出太阳的质量M太及火星绕太阳运动的轨道半径r火，无法计算火星的质量。
故选B。
26．2022年11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船自主快速交会对接于天和核心舱前向端口，中国空间站首次形成“三舱三船”组合体，达到当前设计的最大构型。中国空间站在离地面高度的圆轨道，做周期为分钟的圆周运动，地球半径为，引力常量。由上述资料不能估算出（ ）
A．地球的质量B．地球的平均密度
C．空间站的质量D．地球表面的重力加速度
【答案】C
【详解】设地球质量为M，空间站质量为m，根据万有引力提供向心力有
解得
则地球的平均密度
设地球表面的物体质量为，根据万有引力与重力近似相等有
解得
由题分析可知空间站离地面的高度h、周期T，地球的半径R都已知，则可估算出地球的质量、平均密度和地球表面的重力加速度，但不能估算空间站的质量。
故选C。
27．（多选）太阳质量为，地球质量为，地球绕太阳公转的周期为，万有引力常量为，地球公转半径为，地球表面重力加速度为．则以下计算式中正确的是（ ）
A．地球公转所需的向心力为B．地球公转半径
C．地球公转的角速度D．地球公转的向心加速度
【答案】BD
【详解】A．表示地球表面重力加速度，所以不能表示地球公转所需的向心力，A错误；
B．根据牛顿第二定律得
解得
B正确；
C．根据牛顿第二定律得
解得
C错误；
D．根据牛顿第二定律得
解得
D正确。
故选BD。
28．小程同学设想人类若想在月球定居，需要不断地把地球上相关物品搬运到月球上。经过长时间搬运后，地球质量M地逐渐减小，月球质量m月逐渐增加，但M地> m月，不计搬运过程中质量的损失。假设地球与月球均可视为质量均匀球体，月球绕地球转动的轨道半径不变，它们之间的万有引力将 ，月球的线速度将 。（均选填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】 变大 变小
【详解】[1]令地球与月球质量和值为A，根据
可知，当地球质量减小，而M地> m月，地球与月球之间的万有引力将变大。
[2]根据
解得
地球质量减小，则月球的线速度将变小。
29．设定月球绕地球做匀速圆周运动，周期为T，已知月球质量为m，地球质量为M，引力常量为G。
（1）求月球中心到地心的距离；
（2）某卫星运行到地、月间某位置时，该卫星所受地、月引力恰好平衡，求该位置到月球中心的距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设月球中心到地心的距离为R，由
得
（2）设该位置到月球中心的距离为r，卫星质量为，由题知
解得
代入得
六．不同纬度的重力加速度（共4小题）
30．一半径为R、质量分布均匀的球形行星绕其自转轴匀速转动。若质量为m的物体在该行星两极时的重力为G0，在该行星赤道上的重力为，设行星自转的角速度为ω，则下列表达式正确的是（ ）
A．ω＝B．ω＝
C．ω＝D．ω＝
【答案】A
【详解】在两极上
G＝G0
在该行星赤道上时，万有引力、重力、向心力满足关系
＝G0＋mω2R
解得
ω＝
故选A。
31．天文研究发现，木星是太阳系中最大的行星，其质量是太阳系中其他行星质量总和的倍，其直径约为地球直径的10倍，质量约为地球质量的300倍，公转的轨道半径约为5个天文单位（地球与太阳的距离为1个天文单位），若木星和地球公转的轨道均视为圆轨道，下列说法错误的是（ ）
A．木星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的3倍
B．木星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的倍
C．木星的密度约为地球密度的
D．木星公转的周期约为年
【答案】B
【详解】A．根据
得
因为木星与地球质量之比为，半径之比为，则代入数据得
故A正确；
B．根据
得
由木星与地球质量之比为300，半径之比为10，则代入数据解得木星与地球第一宇宙速度之比为
故B错误；
C．根据
得
已知表面重力加速度之比为，半径之比为10，代入数据解得木星与地球密度之比为
故C正确；
D．根据
得
得
代入数据解得木星公转的周期约为
年
故D正确。
据题意选择错误选项，故选B。
32．（多选）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．P、Q受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力公式可知
P、Q距球心的距离相等，故P、Q受地球引力大小相等，A正确；
BC．P、Q做圆周运动的轨道圆心在地轴上，做同轴转动，且它们的运动半径，根据向心力的公式可知
又，则
B错误，C正确；
D．物体的重力是万有引力的一个人力，赤道处最小，两极处最大，D错误。
故选AC。
33．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同：若地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体。求：
（1）地球半径R；
（2）若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，求此时地球自转周期T'。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在地球表面两极
在赤道处，由牛顿第二定律可得
解得
（2）赤道上的物体恰好能飘起来，物体受到的万有引力恰好提供向心力，由牛顿第二定律可得
解得
七．其他是球表面的重力加速度（共8小题）
34．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（ ）
A．0.2gB．0.4gC．2.0gD．2.5g
【答案】B
【详解】根据万有引力与重力的关系
可得
则
火星表面的重力加速度约为
故选B。
35．若某黑洞的半径约45km，质量和半径的关系满足（其中为光速，为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ）
A．1014B．1010C．108D．1012
【答案】D
【详解】在黑洞表面有
根据题意有
解得
即该黑洞表面重力加速度的数量级为1012。
故选D。
36．今年的学校运动会，高三（3）班的小明参加跳高比赛，成绩为1.50m，若将他跳高的上升运动视为竖直上抛运动，如果小明以与在地球上相同的初速度在月球上起跳，已知月球的半径大约是地球半径的，质量是地球质量的，忽略月球的自转影响，则小明能达到的最大高度大约为（ ）
A．1mB．4mC．8mD．16m
【答案】C
【详解】设地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，黄金代换式
已知月球的半径是地球半径的，质量是地球质量的，则月球表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的，即g，运动员以初速度在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出运动员可跳起的最大高度
由于月球表面的重力加速度是g，运动员以相同的初速度在月球上起跳时，可跳起的最大高度
只有选项C接近。
故选C。
37．（多选）某星球的质量约为地球的，半径约为地球的。设其质量分布均匀且不考虑自转，地球表面重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的有（ ）
A．该星球表面的重力加速度约为20m/s2
B．该星球表面的重力加速度约为2m/s2
C．在地球表面重100N的物体，在该星球表面重约200N
D．在地球表面重100N的物体，在该星球表面重约20N
【答案】BD
【详解】由万有引力公式可得
则该星球的重力加速度
在地球表面重力
G=mg=100N
在该星球表面
G'=mg'=20N
故选BD。
38．（多选）2020年7月23日，“天问一号”探测器成功发射，开启了探测火星之旅。截至2022年4月，“天问一号”已依次完成了“绕、落、巡”三大目标。假设地球近地卫星的周期与火星近火卫最的周期比值为p，地球半径与火星半径的比值为q。则下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在“绕”的过程中，处于非平衡状态
B．“天问一号”在“落”的过程中，始终处于失重状态
C．地球质量与火星质量之比为
D．地球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为q： p2
【答案】AD
【详解】A．“天问一号"在“绕”的过程中，受到了火星的万有引力作用，处于非平衡状态，故A正确；
B．“天问一号"在“落”的最后阶段，发动机提供了反向的推力使其减速，最终平稳降落，所以并不是始终处于失重状态，故B错误；
C．地球质量与火星质量之比为
故C错误；
D．地球表面的重力加速度与火星表面的重力加速度之比为
故D正确。
故选AD。
39．一个身高大约为1.8米的宇航员在月球表面进行落体实验，宇航员从头顶处释放了一个小球，测出小球的落地时间为1.5秒，宇航员据此估算出月球的重力加速度为 m/s2（结果保留两位有效数字），宇航员估算月球表面重力加速度时忽略的因素是 。
【答案】 1.6 地球和其他星球对月球的影响，忽略月球自转
【详解】[1]根据位移公式有
解得
[2]宇航员估算月球表面重力加速度时忽略的因素是忽略地球和其他星球对月球的影响，忽略月球自转。
40．2021年5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，中国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。已知火星质量为M，半径为R，万有引力常量为G。若着陆巡视器停在火星表面在离地面高h处以水平初速度v0弹射出一个小物体，落在火星地面上。求：
（1）火星表面重力加速度大小g；
（2）小物体落地点距抛出点的水平距离x。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）在火星表面万有引力产生的加速度是重力加速度，假设在火星表面有一个质量为m的物体，则有
解得
（2）设小物体经过时间t落到火星表面，则有
解得
41．2013年12月2日“嫦娥三号”成功发射，使我国的登月计划的实现又近了一步．我们已经知道月球表面的重力加速度约为地球表面的六分之一，假设将来我国一名质量为的宇航员登上月球．（地球表面的重力加速度）
（1）求这名宇航员在月球上的重力大小。（保留三位有效数字）
（2）假设这名宇航员在地球上最多能举起的物体，那么该宇航员在月球上最多能举起多大质量的物体？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意知月球表面重力加速度为，故这名宇航员在月球上的重力大小为
（2）这名宇航员在地球上最多能举起的物体，则他的举力就为
设该宇航员在月球上最多能举起质量的物体，根据二力平衡条件得
解得
八．在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g´（共5小题）
42．一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为2kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为15N，已知地球半径为R，则此时火箭离地球表面的距离为（地球表面处的重力加速度g取10 m/s2）（ ）
A．0.5RB．RC．2RD．3R
【答案】B
【详解】在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得
FN－mg′＝ma
解得
g＇=2.5 m/s2
在地球表面上有
在地球表面一定高度有
联立得
r＝2R
故选B。
43．假设地球是一半径为，质量分布均匀的球体。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。忽略地球自转的影响，距离地球球心为处的重力加速度大小为，下列关于关系描述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设地球的密度为，当时，有
可得
当时，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为的部位，受到地球的万有引力是半径等于的球体在其表面产生的万有引力，则有
当后，有
故选B。
44．（多选）设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1 = F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为；假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．F4 = 0D．
【答案】AC
【详解】AB．设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力
由于在赤道处，弹簧测力计的读数为，则
F1−F2 = mω2∙R
由于球体的体积公式为，所以半径以内的部分的质量为
物体在处受到的万有引力
物体需要的向心力
所以在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为
故A正确、B错误；
CD．第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧秤的示数为0，故C正确、D错误。
故选AC。
45．2022年11月1日，梦天实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接。11月3日，梦天实验舱与天和核心舱、问天实验舱形成新的空间站“T”字基本构型组合体。已知组合体的运行轨道距地面高度为h，地球视为理想球体且半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，组合体轨道处的重力加速度为 ，地球的平均密度可表示为 。
【答案】
【详解】[1]根据万有引力提供向心力有
根据万有引力与重力的关系有
联立可得组合体轨道处的重力加速度为
[2]地球的平均密度为
46．设想从地球赤道平面内架设一垂直于地面延伸到太空的电梯，电梯的箱体可以将人从地面运送到地球同步轨道的空间站。已知地球表面两极处的重力加速度为，地球自转周期为，地球半径为，万有引力常量为。求
（1）同步轨道空间站距地面的高度；
（2）太空电梯的箱体停在距地面高处时，箱体对质量为的乘客的作用力。
【答案】（1）；（2），方向为背离地心
【详解】（1）由万有引力提供向心力
在地球表面两极处有
联立可得，同步轨道空间站距地面的高度为
（2）太空电梯的箱体停在距地面高处时，乘客受到的万有引力为
太空电梯的箱体停在距地面高处时，乘客所需要的向心力为
所以，箱体对质量为的乘客的作用力为
方向为背离地心。
九．天体自转对自身结构及表面g的影响（共4小题）
47．如图所示，地球可视为质量分布均匀的球体，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径认为约等于地球半径）。已知a随地球一起做圆周运动的周期约为b周期的16倍，则地球赤道上和两极处的重力加速度之比约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，设两极处的重力加速度为，则有
对卫星有
设赤道上的重力加速度为，对卫星有
整理可得
故选D。
48．若在未来的一次人类深空探测中，航天员乘飞船来到X星球，航天员在该星球上测得极地的重力加速度为，赤道上的重力加速度为，飞船在X星球表面近地绕行时的速度为v，则X星球的自转周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设X星球的半径为R，在极地有
在赤道有
飞船在X星球表面近地绕行时有
解得
故选A。
49．（多选）已知地球半径为R，自转周期为T，卫星近地面环绕速度为，在南极点附近，从距地面高h处的位置，以某初速度水平抛出一物体，经时间t后物体落回地面，h远小于R，物体的运动可看作平抛运动。地球赤道上的重力加速度可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】AC．在南极点附近，根据动力学公式
地球赤道上的物体的加速度
地球赤道上的重力加速度可表示为
故A错误，C正确；
BD．在赤道位置有
可得
故B错误，D正确。
故选CD。
50．用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。
【答案】（1），0.98；（2）
【详解】（1）在北极，物体受到的重力等于地球的引力。则
在北极上空高出地面h处测量
则
当时
（2）在赤道，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小等于弹簧秤示数）与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
得
十．不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度（共5小题）
51．已知地球半径为R，万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，将地球视为质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，则地球质量等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】地球表面重力与万有引力相等有
可得地球质量为
故选A。
52．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功。火星探测器着陆火星时，就可以用下面方法测量的火星的半径：先让飞船在火星引力的作用下在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动，记下环绕一周所用的时间T，然后回到火星表面，从高h处自由落下一个小球，记录小球下落的时间t，由此可测得火星的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为飞船在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时，满足
又在天体表面满足
又由自由落体运动规律得
联立解得
故选D。
53．（多选）我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。如图所示，卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为；月球绕地球公转的周期为，公转轨道半径为r；地球半径为，月球半径为，忽略地球、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力常量G已知。下列说法正确的是（ ）
A．月球质量
B．地球表面重力加速度
C．绕月卫星的发射速度远大于地球的第二宇宙速度
D．“月地检验”的目的是为了说明地球对月球的引力与太阳对地球的引力是同一种性质的力
【答案】AB
【详解】A．对月球的极地卫星
解得月球质量
选项A正确；
B．月球绕地球运动时
对地球表面的物体
地球表面重力加速度
选项B正确；
C．绕月卫星没有脱离地球的引力，则其发射速度小于地球的第二宇宙速度，选项C错误；
D．月-地检验说明地球对地面物体的引力和地球对月球的引力是同一种性质的力，选项D错误。
故选AB。
54．“天问一号”是中国行星探测器名称，该名称源于屈原长诗《天问》，表达了中华民族对真理追求的坚韧与执着，体现了对自然和宇宙空间探索的文化传承，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境假设“天问一号”着陆火星前在贴近火星表面的轨道（可认为其轨道半径等于火星半径）上做匀速圆周运动，用秒表测得其绕行一周所用时间为t1；着陆火星后在距离火星表面h高度处，无初速释放一小球，经时间t2小球落地，引力常量为G。
（1）根据以上实验信息可以确定火星表面的重力加速度大小为 ；
（2）由此可以估算出火星半径大小为 ；火星密度约为 。（用所测物理量的符号表示）
【答案】
【详解】（1）[1]设火星表面重力加速度为g，则无初速释放一小球，小球做自由落体运动，根据
解得
（2）[2]天问一号绕火星近地飞行的周期为，天问一号在火星表面运行过程，设火星的半径为R，据万有引力提供向心力可得
又因为
解得
[3]因为火星体积为
则火星的密度为
联立解得火星密度为
55．如图所示，地球半径为R，O为球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线间的中点．设想在地球内部挖掉一以B为圆心，半径为的球，忽略地球自转影响，将地球视为质量分布均匀的球体．则挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为？
【答案】
【详解】挖前，质量为m的物体在A点受到的重力
挖去后质量为的球体后在A点受到的重力
其中
联立各式解得
火星-Mars
火星的小档案
直径d=6779km
质量M=6.4171×1023kg
表面的重力加速度g0=3.7m/s2
近地卫星的周期T=3.4h
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