专题21 概率与统计的综合运用（13大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题21概率与统计的综合运用
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157110944" 01 求概率及随机变量的分布列与期望 PAGEREF _Tc157110944 \h 2
\l "_Tc157110945" 02 超几何分布与二项分布 PAGEREF _Tc157110945 \h 5
\l "_Tc157110946" 03 概率与其它知识的交汇问题 PAGEREF _Tc157110946 \h 8
\l "_Tc157110947" 04 期望与方差的实际应用 PAGEREF _Tc157110947 \h 12
\l "_Tc157110948" 05 正态分布与标准正态分布 PAGEREF _Tc157110948 \h 15
\l "_Tc157110949" 06 统计图表及数字特征 PAGEREF _Tc157110949 \h 19
\l "_Tc157110950" 07 线性回归与非线性回归分析 PAGEREF _Tc157110950 \h 23
\l "_Tc157110951" 08 独立性检验 PAGEREF _Tc157110951 \h 28
\l "_Tc157110952" 09 与体育比赛规则有关的概率问题 PAGEREF _Tc157110952 \h 32
\l "_Tc157110953" 10 决策型问题 PAGEREF _Tc157110953 \h 35
\l "_Tc157110954" 11 递推型概率命题 PAGEREF _Tc157110954 \h 39
\l "_Tc157110955" 12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 PAGEREF _Tc157110955 \h 44
\l "_Tc157110956" 13 高等背景下的概统问题 PAGEREF _Tc157110956 \h 47
01 求概率及随机变量的分布列与期望
1．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望．
【解析】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，
所以甲学校获得冠军的概率为：；
（2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
的期望．
2．（2024·河南·统考模拟预测）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
(2)记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
【解析】（1）记“取出的个小球上的数字两两不同”为事件，
先确定个不同数字的小球，有种方法，
然后每种小球各取个，有种取法，
所以.
（2）由题意可知，的可取值为，
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以；
当时，分为两种情况：只有一个数字为的小球、有两个数字为的小球，
所以，
所以的分布列为：
所以.
3．（2024·全国·模拟预测）某科研所计划招聘两名科研人员，共有4人报名应聘．科研所组织了专业能力、创新意识和写作水平三场测试，每场测试满分100分，每名选手在三场测试中的得分分别按和计入总分，按总分排序，若总分相同，则依次按专业能力、创新意识和写作水平的得分从高到低排序，前两名录取．下表是4名应聘者的三场测试成绩：
(1)该科研所应招聘哪两名选手？并说明你的理由．
(2)该科研所要求新招聘的两名科研人员上岗前参加线上培训．已知专业能力、创新意识和写作水平各有两个线上报告，培训者需从每个项目的两个报告中选择一个学习，记新招聘的两名科研人员参加学习的相同报告的数目为，求的概率分布列和数学期望．
【解析】（1）4名选手的总分，结果如下：
选手1得分（分），
选手2得分（分），
选手3得分（分），
选手4得分（分）．
因为，且选手1的专业能力测试成绩高于选手3，
所以应录取选手4和1．
（2）的可能取值为0，1，2，3，
其中，，
，．
所以的概率分布列为：
所以．
4．（2024·全国·模拟预测）班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5个成语中随机抽取3个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中3个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为，甲不会比划的成语，乙无法猜对．
(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；
(2)设甲乙配合猜对成语个数为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】（1）甲乙配合猜对2个成语，则需要抽中2个或3个甲会比划的成语，
记事件A为甲乙配合猜对2个成语，可得，
所以甲乙配合猜对2个成语的概率为．
（2）由题意，随机变量可能的取值为，
可得，
，
，
．
所以的分布列为
数学期望．
02 超几何分布与二项分布
5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．
(1)现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望．
(2)现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当时，事件A发生的概率最大，求的值．
【解析】（1）由题可得：，，，，
可得：每次捉到红鲤鱼的概率为．
易知，；；
；．
分布列如表所示：
所以．
（2）每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为，则捉到黑鲤鱼的概率为．
所以，其中且，
令，则，解得或，
故在上，为增函数，在上，为减函数，
所以．
又因为且，
而当时，，当时，，
所以，所以，
综上所述：事件A发生的概率最大时.
6．（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响.
(1)分别求小张，小王答对题目数的分布列；
(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求的取值范围.
【解析】（1）设小张答对的题目数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为1，2，3，4.
有，，
，，
故小张答对的题目数的分布列为
设小王答对的题目数为，可知随机变量服从二项分布，的取值分别为0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
.
故小王答对的题目数的分布列为
（2）由（1）可知，
而，所以，
若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数，
则，即，可得.
7．（2024·广东肇庆·统考一模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为.
(1)当时，求
(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计.为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数的最小值.
【解析】（1）由已知，
所以
；
（2）由已知，所以，
若，则，即，
即.
由切比雪夫不等式，
要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在与之间，则，
解得，所以估计信号发射次数的最小值为1250；
综上， ，估计信号发射次数的最小值为1250.
03 概率与其它知识的交汇问题
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，三棱锥的外接球半径.

(1)求三棱锥的侧面积的最大值；
(2)若在底面上，有一个小球由顶点处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为；当球在顶点处时，滚向顶点的概率为，滚向顶点的概率为.若小球滚动3次，记球滚到顶点处的次数为，求数学期望的值.
【解析】（1）因为三条侧棱，，两两垂直，且，，，且三棱锥的外接球半径，
则以、、为长、宽、高的长方体的体对角线为外接球的直径，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以三棱锥的侧面积，当且仅当时取等号，
即三棱锥的侧面积的最大值为.
（2）依题意的可能取值为、、，
则，，
，
所以.
9．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为，沿正方体的侧棱爬行的概率为．
(1)若蚂蚁爬行次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；
(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点出现的次数为，求的分布列与数学期望．
【解析】（1）记蚂蚁爬行次在底面的概率为，则它前一步只有两种情况：在下底面或在上底面，
结合题意易得，，
是等比数列，首项为，公比为，
（2）结合题意易得：，
当时，蚂蚁第3次、第5次都在处，
当时，蚂蚁第3次在处或第5次在处，
设蚂蚁第3次在处的概率为，
设蚂蚁第5次在处的概率为，
设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，
设蚂蚁不过点且第3次在的概率为，由对称性知，，
，又，
得，
，
，
的分布列为：
的数学期望.
10．（2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．
(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以表示这2人中使用AI作业的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“”表示该使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）
【解析】（1）在两所学校被调查的200名学生中，
对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人．
该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为
（2）依题意，，1，2，且，
，，
所以的分布列为：
故
（3）由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
04 期望与方差的实际应用
11．（2024·北京西城·高三统考期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）
【解析】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.
（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，
所以的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
所以.
（3），证明如下：
，
，
所以.
，
，
所以.
数据：，，，，，，，，
对应的平均数为
所以
所以.
12．（2024·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
(1)已知，，证明：，；
(2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据．
（ⅰ）请用和分别代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值．
【解析】（1）由题可知（，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布，
则，，
，
，
所以，.
（2）（ⅰ）由（1）可知，
则的均值，的方差，
所以，解得或，
由题意可知：，则，
所以，；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，则，
则，
由题意可知：，
解得，且，则，
所以的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值为15.
13．（2024·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲､乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为.甲､乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
(1)分别求甲､乙两名学生恰好答对2个问题的概率；
(2)设甲答对的题数为，乙答对的题数为，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
【解析】（1）由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为，
乙恰好答对2个问题的概率为.
（2）的可能取值为1，2，3，
则；；.
所以，.
易知~，
所以，.
因为且，
甲的平均水平更好，也比乙更稳定.
所以选择学生甲.
05 正态分布与标准正态分布
14．（2024·全国·模拟预测）某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和分位数．
(2)若所有学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数．
(3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为，求的分布列及数学期望．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
【解析】（1）样本平均数．
因为前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，
设分位数为，则，解得．
（2）因为学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中，，
所以，
所以，
所以估计能参加复赛的人数为．
（3）所有可能的取值为0，30，40，60，70，100，
，，
，，
，，
所以的分布列为
，
所以的数学期望为55．
15．（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
计算得：.
(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，
则.
参考数据：.
【解析】（1）样本均值，
样本方差
.
（2）①由题意可得，树干直径（单位：近似服从正态分布.
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是，所以.
②若树干直径近似服从正态分布，
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是，则.
此时事件发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值.
事件是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
16．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．
（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；
（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量，令，则．当时，对于任意实数，记．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值．
①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？
【解析】（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布，
则，
，
（2）①由于（1）中二项分布的n值增大，
故可以认为随机变量X服从二项分布，
由（1）可得，，
可得，则，
则，
由标准正态分布性质可得，，
故，
故，
在晚自习时间阅览室座位不够用的概率为；
②查表可得，，则，
即，
又，
故座位数至少要1016个，
，
故阅览室座位至少需要添加22个．
06 统计图表及数字特征
17．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
．
（Ⅲ）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为，且丙投出过三人成绩中的最大值，
在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
18．（2024·江西·高三校联考阶段练习）某学校即将迎来建校80周年，为了增进学生爱校、荣校意识，团委组织学生开展“迎校庆、知校史”的知识竞赛活动，共有100名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情况，将100名同学的竞赛成绩按，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)用样本估计总体，求图中a的值及此次知识竞赛成绩的分位数；
(2)现从竞赛成绩在的学生中以分层抽样的方式抽取15人进行培训，经过一轮培训后再选取2人担任主持人工作，求在至少1人来自分数段的条件下，另外1人来自分数段的概率.
【解析】（1）由图可知，，解得，
又，，
所以此次知识竞赛成绩的分位数位于区间，设为x，
则，解得，所以此次知识竞赛成绩的分位数为.
（2）从竞赛成绩在的学生中以分层抽样的方式抽取15人，
其中竞赛成绩在分数段，，的人数分别为，
，，
则至少有1人来自分数段的情况共有种，
选取2人中1人来自分数段，另外1人来自分数段的情况有种，
故在至少1人来自分数段的条件下，另外1人来自分数段的概率为.
19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.

(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
【解析】（1）由，
得.
（2）平均数为.
设中位数为，
质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7，
所以，，
且，
解得.
故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
（3）由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6，
所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个.
又抽样比为，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个.
记这3个一等品为，2个二等品为，
则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点，
其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种.
根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.
20．（2024·全国·高三期末）武汉外国语学校预筹办“六十周年校庆”庆典活动，需要对参与校庆活动的志愿者进行选拔性面试.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的第70百分位数（结果精确到0.1）；
(3)在第二，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
【解析】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，
即，解得.
（2）因为前两组频率之和为，前三组频率之和为，
所以第70百分位数在第三组，且为；
（3）第二、第五两组志愿者分别有人，人，
故按分层抽样抽得第二组人数5人，分别设为，第五组抽得1人，设为，
这6人中选出2人，所有的情况有
，
共有15种情况，其中选出的两人来自同一组有10种情况，
故选出的两人来自同一组的概率.
07 线性回归与非线性回归分析
21．（2024·吉林·东北师大附中校考模拟预测）2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y（单位亿）的数据如下表：
(1)求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；
(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值.
附注：参考数据：，，，，.参考公式：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【解析】（1）由参考数据计算得
所以，
因为，所以线性相关性不强.
（2）五组数据的均值分别为，
，
关于的线性回归方程为
令，则，
因此，在没有疫情情况下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估计值为亿.
22．（2024·全国·高三专题练习）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：
参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．
【解析】（1）
解:因为，所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以所求回归方程为.
（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
，
，
.
所以随机变量X的分布列为
.
23．（2024·全国·模拟预测）近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚重的民族文化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票，相应的价格x与购买人数y的数据如下表．
经数据分析、描点绘图，发现价格x与购买人数y近似满足关系式，即，对上述数据进行初步处理，其中，，，2，…，6．
附：①可能用到的数据：，，，．
②对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，．
(1)根据所给数据，求关于x的回归方程．
(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意一款的可能性相等．若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【解析】（1）散点集中在一条直线附近，
设回归直线方程为，，，
则，，
所以回归直线方程为．
因为，，所以，则，，所以．
综上，y关于x的回归方程为．
（2）由题意知B，C，D，E为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，
X的可能取值为1，2，3，且，，．
X的分布列如下．
．
08 独立性检验
24．（2024·湖北武汉·高三统考期末）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：
(1)依据的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？
(2)为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.
附：
其中.
【解析】（1）零假设数学考试中准确率与运算速度无关，
，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即数学考试中准确率与运算速度无关
（2）记“甲在3人一组”为事件，
则需从除甲以外的9人中任选2人与甲形成一组，
再从剩下7人中任选3人形成一组，最后4人形成一组，
所以，
记“甲在3人一组，且乙在4人一组”为事件，
则需从除甲、乙以外的8人中任选2人与甲形成一组，
再从剩下6人中任选3人与乙形成一组，最后3人形成一组，
所以，
由条件概率公式，则，
即甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率为
25．（2024·陕西榆林·校考模拟预测）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每年灭绝一种，兽类平均每年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取名进行调查，得到统计数据如下表：
(1)根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？
(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取人，共抽取次.记被抽取的人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
参考公式：，其中.
附：
【解析】（1）零假设为保护动物意识的强弱与性别无关联.
由题意，，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为保护动物意识的强弱与性别有关联.
（2）由题意可知：在女性的市民中抽到人，
抽中“保护动物意识强”的女性市民的概率为，
所以的所有可能取值为、、、、，由题意可知，，
，，
，，
，
所以的分布列为
所以.
26．（2024·全国·高三专题练习）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的2×2列联表：
(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？
(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率，求X的分布列和数学期望．
参考公式及数据：，其中．
【解析】（1）由题意得，抽取的100人年龄在50周岁及以下的有60人，则年龄在50周岁以上的有40人，补全的2×2列联表如下：
零假设为：全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关．
则．
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联；
（2）由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，
则，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以X的分布列为：
因为，所以数学期望．
09 与体育比赛规则有关的概率问题
27．（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．
(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为，求预测正确的人数X的分布列和期望；
(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，求．
【解析】（1）因为，，X可能的取值为0，1，2，3，
，，
故X的分布列为：
故．
（2）第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，易得，，
则当时，第次传球之前球在梅西脚下的概率为，第次传球之前球不在梅西脚下的概率为，
故，即，
又因为，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，．
28．（2024·江苏·高三统考期末）2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列期望；
(2)现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；
（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以获得冠军的概率.
【解析】（1）根据题意门将每次扑中点球的概率，
的可能取值为，且，
；
所以的概率分布为
数学期望.
（2）（i）甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球，并获得冠军，
则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为.
（ii）点球在第7轮结束，且乙队以获胜，
所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队胜甲队
当前5轮两队为时，
乙队胜出的概率为
当前5轮两队为时，
乙队胜出的概率为，
因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为.
29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为（）.
(1)若比赛采用五局三胜制，且，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
(2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说明理由.
【解析】（1）设表示甲在第一局失利，表示甲获得了比赛胜利，
则.
（2）在五局三胜制中甲获胜的概率为：
.
在三局两胜制中甲获胜的概率为：
.
于是.
当时，，故采用5局3胜制下甲获胜的概率更大.
10 决策型问题
30．（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，
则，
，
所以的分布列为：
（2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，80，100，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
31．（2024·全国·模拟预测）已知4只白鼠中有2只患病，患病白鼠的血液检验呈阳性，不患病的呈阴性.
(1)若随机逐个进行抽检，直至能确定所有患病白鼠为止，求抽检次数的期望；
(2)若随机地将白鼠平均分成A，B两组，首先对A组2只白鼠的血液进行一次混检，若呈阴性，则可确定B组2只白鼠患病；若呈阳性，再对B组2只白鼠的血液进行一次混检.若B组混检呈阴性，则可确定A组2只白鼠患病；若B组混检也呈阳性，则只需在A，B两组中各随机检验1只白鼠的血液，便可分辨出所有患病白鼠.求检验总次数的期望，并比较上述两种检测方案哪个更便捷.
【解析】（1）由题意知，可取2，3.
表示前两次抽出的全是患病白鼠或全是未患病白鼠，表示前两次恰好抽出1只患病白鼠和1只未患病白鼠.
，
，
所以.
（2）由题意知，可取.
表示B组中2只白鼠均患病，.
表示组中2只白鼠均患病，.
表示两组中的白鼠均为1只患病，另1只未患病，，
所以.
因为，所以，所以第一种方案更便捷.
32．（2024·云南·高三校联考阶段练习）新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常采用10人一组做核酸检测（俗称混检），某地在核酸检测中发现某一组中有1人核酸检测呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：
方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.
方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.把采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.
(1)求X的数学期望；
(2)如果每次检测的费用相同，以检测费用的期望作为决策依据，应选择方案甲与方案乙哪一种？
【解析】（1）X可取1，2，…，8，9，
则，，2，…，8，
，
所以.
（2）把采用方案乙，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为Y，
则Y可取2，3，4，5.
，
，
，
，
则.
设每次检测的费用均为，
则方案甲的平均费用为，
方案乙的平均费用为，
因为，所以应选择方案乙.
33．（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）某学校拟开展了一次趣味运动比赛，比赛由若干个传统项目和新增项目组成，每位运动员共需参加3个运动项目.对于每一个传统项目，若没有完成，得0分；若完成了，得30分.对于新增项目，若没有完成，得0分；若只完成了1个，得40分，若完成了2个，得90分.最后得分越多者，获得的奖金越多.现有两种参赛方案供运动员选择：
【方案一】只参加3个传统项目；
【方案二】参加1个传统项目和2个新增项目；
假设运动员能完成每个传统项目的概率均为，能完成每个新增项目的概率均为，且运动员参加的每个项目是否能完成相互独立.
(1)若运动员选择方案一，设最后得分为X，求X的分布与期望；
(2)若以最后得分的数学期望为依据，运动员应选择哪个参赛方案?说明你的理由.
【解析】（1）由题意得，30，60，90，且.
所以，，
，，
故，
所以.
（2）设选择方案二的最终得分为Y，则，30，40，70，90，120.
由独立性可得，，
，，
，，
所以，
因为，
所以应选择方案一.
11 递推型概率命题
34．（2024·贵州贵阳·高三统考期末）有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行．
(1)求从第2个盒子中取到红球的概率；
(2)求从第个盒子中取到红球的概率；
(3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：．
【解析】（1）记“从第个盒子中取到红球”为事件，
此时，，
则；
（2）因为
，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
此时，
即，
当时，，符合题意，
综上，从第个盒子中取到红球的概率为；
（3）证明：易知的所有可能取值为1，2，
此时，，
则的分布列为：
所以，由于，
故．
35．（2024·全国·模拟预测）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【解析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，
又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
36．（2024·山东德州·高三统考期末）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．
(1)设表示事件“在第天，王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．
①求；
②用表示；
(2)依据值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召．
【解析】（1）设硬币正面向上的枚数为，则，
，
；
①
；
②设表示第天选择骑自行车出行，表示第天选择骑自行车出行，
则
，
综上，．
（2）由（1）可知：，又
是以为首项，以为公比的等比数列，
，即，
，
王先生每天骑自行车的概率大于开车的概率，王先生的这种随机选择出行方式积极响应了市政府的号召．
37．（2024·全国·模拟预测）网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求．
【解析】（1）设运动员第2天进行有氧训练为事件M，第2天进行无氧训练为事件N，
则，，
所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数，可知，
则，，
，，
所以的分布列为
所以．
（2）依题意可得，即（，且）．
则（，且），且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以．
12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式
38．（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）2023年第31届大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挑战自我，突破极限，以拼搏的姿态，展竞技之美，攀体育高峰．最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178放奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，引发了大学生积极进行体育锻炼的热情．已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
假设甲､乙上午､下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．
(1)已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为，请将表格内容补充完整；（写出计算过程）
(2)记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，求的分布列和数学期望；
(3)已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．
【解析】（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件为“甲下午选择足球”，
设甲一天中假炼情况为（足球，羽毛球）的天数为，
则，解得，
所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为．
（2）由题意知，甲上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为；
乙上午､下午选择同一种球的概率为，选择两种球的概率为．
记为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数差，则的所有可能取值为，
．
，
，
所以的分布列为
所以．
（3）记事件为“上午室外温度在20度以下”，事件为“甲上午打羽毛球”，
由题意知，
.
故若某天上午甲去打羽毛球，则这一天上午室外温度在20度以下的概率为．
39．（2024·全国·高三专题练习）ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
【解析】（1）易知的所有可能取值为
此时，，，
所以的分布列为：
则.
（2）（i）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
记“输入的问题有语法错误”为事件B，
记“ChatGPT的回答被采纳”为事件C，
则，，，.
.
（ii）若ChatGPT的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为
.
40．（2024·全国·模拟预测）盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球．不放回．
(1)若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．记摸出的红球个数为．求随机变量的分布列和数学期望．
(2)若盒中有4个红球和4个白球，盒中在2个红球和2个白球．现甲、乙、丙三人依次从号盒中摸出一个球并放入号盒，然后丁从号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．
【解析】（1）可取0，1，2.且：，，.
所以的分布列为：
则：.
（2）设事件“丁取到红球”，事件“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.
当甲、乙、丙三人取得1个白球，则丁取到红球的概率为；
当甲、乙、丙三人取得2个白球，则丁取到红球的概率为；
当甲、乙、丙三人取得3个白球，则丁取到红球的概率为；
当甲、乙、丙三人取得3个红球，则丁取到红球的概率为；
则所求概率为：.
13 高等背景下的概统问题
41．（2024·江苏南京·高三期末）设（X，Y）是一个二维离散型随机变量，其所有可能取值为（ai，bj），其中i，j∈N*.记pij=P（X=ai，Y=bj）是随机变量（X，Y）的联合分布列.与一维的情形相似，二维分布列可以如下形式表示：
现将3张卡片等可能地放入A，B两盒，记A盒中的卡片数为X，B盒中的卡片数为Y，求（X，Y）的联合分布列.
【解析】由题意，的所有可能取值为，
且，
所以的联合分布列为：
42．（2024·江苏常州·校考一模）设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；
现有个球等可能的放入编号为的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为，落入第2号盒子中的球的个数为．
(1)当时，求的联合分布列，并写成分布表的形式；
(2)设且，求的值．
（参考公式：若，则）
【解析】（1）若，的取值为0，1，2，的取值为0，1，2，
则，
，
，，
，，
，
故的联合分布列为
（2）当时，，
故
所以，由二项分布的期望公式可得．
43．（2024·江苏南京·模拟预测）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢(，)局，谁便赢得全部奖金元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每场比赛相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．
(1)规定如果出现无人先赢局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金．若，，，，求．
(2)记事件为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当，，时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率，并判断当时，事件是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.06，则称该随机事件为小概率事件．
【解析】（1）设比赛再继续进行局甲赢得全部奖金，则，2．第一场比赛
第二场比赛
第三场比赛
甲学校获胜概率
0.5
0.4
0.8
乙学校获胜概率
0.5
0.6
0.2
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
项目
选手1
选手2
选手3
选手4
专业能力/分
85
80
82
84
创新意识/分
80
80
85
82
写作水平/分
86
85
86
88
0
1
2
3
0
1
2
3
X
0
1
2
3
X
1
2
3
4
P
Y
0
1
2
3
4
P
0
1
2
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
0
1
2
P
跑步软件一
跑步软件二
跑步软件三
跑步软件四
中学生
80
60
40
20
大学生
30
20
20
10

0
30
40
60
70
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
28.7
27.2
31.5
35.8
24.3
33.5
36.3
26.7
28.9
27.4
25.2
34.5
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224
年度
2016—2017
2017—2018
2018—2019
2019—2020
2020—2021
2021—2022
年度代号t
1
2
3
4
5
6
旅游人次y
1.7
1.97
2.24
0.94
2.54
3.15
1 750
0.37
0.55
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒/题)
910
800
600
440
300
240
210
X
3
4
5
P
旅游线路
奇山秀水游
古村落游
慢生活游
亲子游
采摘游
舌尖之旅
套票型号
A
B
C
D
E
F
价格x/元
39
49
58
67
77
86
X
1
2
3
P
项目
速度快
速度慢
合计
准确率高
10
22
32
准确率低
11
17
28
合计
21
39
60
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
保护动物意识强
保护动物意识弱
合计
男性
女性
合计
不满意
满意
总计
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
总计
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
不满意
满意
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
0
20
100
0.2
0.32
0.48
1
2
0
1
2
P
0
1
2
3
体育锻炼目的情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
10天
乙
10天
10天
5天
25天
体育锻炼项目的情况（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天
15天
5天
10天
10天
10天
5天
25天
0
1
2
3
P
0
1
2
（X，Y）
b1
b2
…
a1
p11
p12
…
a2
p21
p22
…
…
…
…
…
3
2
1
0
3
2
1
0