专题05 分类打靶函数应用与函数模型（练习）-2024年高考数学二轮复习练习（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题05 分类打靶函数应用与函数模型
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc153435479" 01 二次函数与幂模型 PAGEREF _Tc153435479 \h 1
\l "_Tc153435480" 02 分段函数模型 PAGEREF _Tc153435480 \h 4
\l "_Tc153435481" 03 对勾函数模型 PAGEREF _Tc153435481 \h 11
\l "_Tc153435482" 04 指数函数模型 PAGEREF _Tc153435482 \h 15
\l "_Tc153435483" 05 对数函数模型 PAGEREF _Tc153435483 \h 17
\l "_Tc153435484" 06 函数模型的选择 PAGEREF _Tc153435484 \h 20
01 二次函数与幂模型
1．（2023·河北·校联考模拟预测）劳动实践是大学生学习知识､锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会､回报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x件时，售价为s元/件，且满足，每天的成本合计为元，请你帮他计算日产量为
件时，获得的日利润最大，最大利润为 万元.
【答案】 200 7.94
【解析】由题意易得日利润，
故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，
故答案为：200，7.94.
2．（2023·北京海淀·高三校考阶段练习）科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”，即一种能完全吸收照在其表面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率与该黑体的绝对温度的次方成正比，即，为玻尔兹曼常数．而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，为纵坐标，以为横坐标，则能够近似得到 （曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式 ．
【答案】 射线 为纵坐标，以为横坐标.
【解析】（1）因为，为玻尔兹曼常数．为纵坐标，以为横坐标，因为，所以，所以曲线是一条射线；
（2）由于曲线的形状类似，根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：为纵坐标，以为横坐标，故答案为：为纵坐标，以为横坐标.
故答案为：（1）射线；（2）为纵坐标，以为横坐标.
3．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
A．6升B．8升C．10升D．12升
【答案】
【解析】由表格得到从5月1日到15日，该车加了48升的汽油，这段时间行驶的路程为35600千米千米千米，所以该车每100千米平均耗油量（升．
故选：．
4．（2023·河南平顶山·高三校联考阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为12cm，宽为10cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是 cm．
【答案】
【解析】由题意得长方形纸片的面积为，不妨设折痕将纸片分成两部分的面积分别为，，且，则，．
如图，其中，
当折痕MN为图（1）所示的三角形一边时，
设，，则，解得，
则，
令，，则，，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，，故，
故．
当折痕MN为图（2）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
当折痕MN为图（3）所示的梯形一边时，
设，，则，解得，
则，，
根据二次函数的性质可知，，则．
综上所述，折痕长度的取值范围为．
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）某单位计划建一矩形场地，现有总长度为100 m的可作为围墙的材料，则场地的面积S(单位：m2)与场地的长x(单位：m)的函数关系式为 ．
【答案】
【解析】由于场地的长为，则宽为，由题意得S=．易知，，所以自变量的取值范围为．故所求函数的关系式为．
故答案为：
02 分段函数模型
6．（2017•上海）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【解析】（1），
前4个月共投放单车为，
前4个月共损失单车为，
该地区第4个月底的共享单车的保有量为．
（2）令，显然时恒成立，
当时，有，解得，
第42个月底，保有量达到最大．
当，为公差为等差数列，而为等差为1的等差数列，
到第42个月底，单车保有量为．
．
，
第42个月底单车保有量超过了容纳量．
7．（2018•上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为
（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【解析】解；（1）由题意知，当时，
，
即，
解得或，
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当时，
；
当时，
；
；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数所占比为时，人均通勤时间最少．
8．（2023·江苏苏州·高三统考期末）已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】取线段的中点，连接、，
因为、为等边三角形，为的中点，则，，
，、平面，平面，
因为平面，所以，平面与平面平行或重合，
且，
取的中点，连接，则，
且，故.
①当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则；
②当时，；
③当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则.
综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象.
故选：C.
9．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量（）与时间（）成正比（）；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到（）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作
A．30B．40C．60D．90
【答案】C
【解析】计算函数解析式，取，计算得到答案.根据图像：函数过点，故，
当时，取，解得小时分钟.
故选：.
10．（2023·广东深圳·高三统考期末）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元B．800万元
C．875万元D．900万元
【答案】C
【解析】该企业每年利润为
当时，
在时，取得最大值；
当时，
（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；
由，可得该企业每年利润的最大值为.
故选：C
11．（2023·北京西城·高三统考期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时B．6小时C．7小时D．8小时
【答案】C
【解析】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
共计7个小时.
故选:C
12．（2023·山东临沂·高三统考期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
若某户居民上月交纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，
当时，，
当时，，
当时，.
故若某户居民上月交纳的水费为66元，则用水量在内，令，解得.
故选：C.
03 对勾函数模型
13．（2014•湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆小时）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米秒）、平均车长（单位：米）的值有关，其公式为．
（Ⅰ）如果不限定车型，，则最大车流量为 辆小时；
（Ⅱ）如果限定车型，，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆小时．
【答案】1900，100
【解析】（Ⅰ），
，当时取最小值，
，
故最大车流量为：1900辆小时；
（Ⅱ），
，
，
（辆小时）
故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆小时．
故答案为：1900，100
14．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．，的大小无法确定
【答案】C
【解析】由题意得，，，
则，
，
所以．
故选：C．
15．（2023·辽宁大连·高一大连八中校考期中）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周､第二周的猪肉价格分别为a元/斤､b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲､乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的大小无法确定
【答案】C
【解析】甲购买猪肉的平均单价为：，
乙购买猪肉的平均单价为：，
显然，
且，
当且仅当时取“=”，
因为两次购买的单价不同，即，
所以，
即乙的购买方式平均单价较大.
故选：C.
16．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【答案】C
【解析】设米,，
则种植花卉区域的面积．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即当米，米时，
种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,
故选：C
17．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】由题意可得：该设备年平均费用，
∵，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该设备年平均费用最少时的年限为9.
故选：C.
18．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（ ）
A．40万件B．50万件C．60万件D．80万件
【答案】D
【解析】由题意得，销售收入为100x万元，当产量不足50万件时，
利润；当产量不小于50万件时，
利润．
所以利润
因为当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则．
当时，，当且仅当时取等号．又，所以当时，所获利润最大，最大值为1000万元．
故选:D．
04 指数函数模型
19．（2023·河南·高三内黄县第一中学校联考阶段练习）用指数模型：描述累计一个池塘甲种微生物的数量y随时间t（单位：天）的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍需要的时间约为 天.（，结果精确到0.1）.
【答案】2.5
【解析】由题意，池塘甲种微生物的数量增加到原来的3倍，
则，即，
所以，则有，
所以（天）.
故答案为：2.5
20．（2023·江苏徐州·高三校考开学考试）2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：）
【答案】74
【解析】根据题意可得，该指数衰减的学习模型为，
当时，代入得，，解得，
由学习率衰减到以下（不含），可得，即，
所以，因为，
所以，则取.
故答案为：
21．（2023·高一课时练习）将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为11.2m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84m/s，则至少需要“打水漂” 次.(参考数据：取)

【答案】6
【解析】设石片第次“打水漂”时的速率为,
则，由，得，
则，即，
则，故至少需要“打水漂”的次数为6.
故答案为：6.
22．（2023·全国·高三对口高考）某地对生活垃圾使用填埋和环保两种方式处理.该地2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中15万吨以填埋方式处理，5万吨以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量比前一年增加1万吨，同时，因垃圾处理技术越来越进步，要求从2021年起每年通过环保方式处理的生活垃圾量是前一年的倍，若要使得2024年通过填埋方式处理的生活垃圾量不高于当年生活垃圾总量的，则的值至少为 .
【答案】
【解析】由题意可知2024年的生活垃圾为24万吨，
有题意可知2024年通过环保方式处理的生活垃圾量为（万吨），
，
解得：，则的值至少.
故答案为：.
23．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为 ．（参考数据：）
【答案】44
【解析】由题知，，，，，，
，．
故答案为：44.
24．（2015•四川）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时．
【答案】24
【解析】由题意可得，时，；时，．
代入函数，
可得，，
即有，，
则当时，．
故答案为：24．
05 对数函数模型
25．（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）.
【答案】
【解析】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍，
则，即，
故.
故答案为：.
26．（2023·北京房山·高三统考开学考试）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，给出下列结论：①；②；③；④.则所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
对于①：，
因为，则，即，
所以，且，可得，①正确；
对于②：，
因为，则，即，
所以，且，可得，当且仅当时等号成立，②错误；
对于③：因为，即，，
所以，即，③正确；
对于④：由①可知，且，
则，即，
所以，且，所以，④正确；
故答案为：①③④
27．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（单位：贝尔），即.取贝尔的倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音强度（单位：分贝）与喷出的泉水最高高度（单位：米）之间满足关系式，若甲游客大喝一声的声强大约相当于个乙游客同时大喝一声的声强，则甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为 .
【答案】
【解析】设甲游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
乙游客的声强为，大喝一声激起的涌泉最高高度为米，
则，，
两式相减得，
甲、乙两名游客大喝一声激起的涌泉最高高度差为米．
故答案为：.
28．（2023·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙､邓清明､张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：.若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为 .
【答案】
【解析】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，且，解得，
则火箭发射时的声强约为，因此，
所以火箭发射时的声强级约为.
故答案为：138
06 函数模型的选择
29．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）研究汽车急刹车的停车距离对汽车刹车设计和路面交通管理非常重要，急刹车停车距离受诸多因素影响，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶速度，设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则，如图是根据美国公路局公布的实验数据制作的停车距离示意图.图中指针所指的内圈数值表示对应的车速().根据该图数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型①：模型②：模型③：模型④：(其中为待定参数)进行拟合，则拟合效果最好的函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】分析图中数据，分别判断、与车速的关系，即可得解.分析图中数据可得，车速每增加千米/小时，反应距离增加的数量大体不变，
且时，，所以可拟合为；
分析车速和制动距离可得稳定在一个常量附近，
且时，，所以可拟合为；
所以拟合效果最好的函数模型是
故选：B.
30．（2023·吉林·统考模拟预测）对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线．
如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项，
故选：D．
31．（2023·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）安徽怀远石榴（Punicagranatum）自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收.怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不能超过利润的.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于函数：，当时，不合题意；
对于函数：，当时，不合题意；
对于函数：，不满足递增，不合题意；
对于函数：，满足：，增函数，
且，结合图象：
符合题意．
故选：D
32．（多选题）（2023·辽宁大连·统考三模）甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：
其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，则甲比赛胜利
D．若，则甲比赛胜利
【答案】ABD
【解析】对选项A：若且，则，
所以，由可得，正确；
对选项B：当时根据A中的结论可知，所以乙方实力先为0，
即，化简可得，
即，两边同时取对数可得，
即，即，正确；
对选项C：，若甲方获得比赛胜利，则甲方可比赛时间大于乙方即可，
设甲方实力为0时所用时间为，乙方实力为0时所用时间为，
即，可得，
同理可得，即，解得，
又因为都为正实数，所以可得，甲方获得比赛胜利，错误；
对选项D：根据C知正确；
故答案为：.
加油时间
加油量（升
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
每户每月用水量
水价
不超过
4元
超过但不超过
6元
超过
8元
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
混合动力汽车
电动汽车