最新高考数学解题方法模板50讲 专题22 等差等比数列性质的巧用

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过
高考数学
解题方法
模
板
50
讲
专题22 等差等比数列性质的巧用
【高考地位】
从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大.
类型一 由等差或等比数列的性质求值
例1 在等差数列中则的最大值等于
A. 3 B. 6 C. 9 D. 36
【答案】C
【解析】第一步,观察已知条件和所求未知量的结构特征:
因为在等差数列中
第二步，选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系：
所以，
第三步，整理化简，求得代数式的值：
所以，
所以利用均值不等式可知最大值为9，选C.
考点：数列，基本不等式．
例2 已知等比数列满足：，则___________.
【来源】江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考数学（理）试题
【答案】
【分析】
由等比数列的性质计算．
【详解】
因为是等比数列，所以，所以，，，，
所以．
故答案为：．
【变式演练1】【2020届北京市东城区高三一模线上统练】数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则（ ）
A．B．
C．D．与大小不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式和等比数列性质可求得，结合等差数列性质可求得结果.
【详解】
由等差数列性质知：；由等比数列性质知：，
，（当且仅当时取等号），
又，，，
，，即.
故选：.
【变式演练2】【云南省红河州2020届高三高考数学（理科）一模】数列是等差数列，，且构成公比为q的等比数列，则（ ）
A．1或3B．0或2C．3D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比中项的性质列方程，由此求得，进而求得，从而求得的值.
【详解】
设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，
即，解得或2，
所以或，所以或3，
故选：A
【变式演练3】【2020届河北省衡水中学高三卫冕联考数学（理）】已知等差数列中，，，数列满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式求出，从而求出，再利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由题意，解得，
所以，
所以，
则.
故答案为：
【变式演练4】【江苏省南通市2020届高三下学期5月联考】已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则的值是__.
【答案】16.
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得，再由等比数列的通项公式，化简可得所求值.
【详解】
解：等比数列的各项均为正数，设公比为，，
由，，成等差数列，可得，
即有，即，解得舍去），
则.
故答案为：16.
类型二 有关等差或等比数列前项和性质的问题
例3. 已知等比数列的前项和为，已知，则（ ）
A. －510 B. 400 C. 400或－510 D. 30或40
【答案】B
【解析】第一步，观察已知条件中前项和的信息：
因为等比数列的前项和为，所以也成比差数列，
第二步，选择相对应的等差或等比数列前项和的性质列出相应的等量关系：
所以，解得：，
因为，所以
第三步，整理化简，得出结论：
所以所以
【变式演练4】【宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试数学（文）】为等差数列的前项和，若，则（ ）.
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得选项.
【详解】
因为，所以，
故选：B.
【变式演练5】【江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）校测】设是等差数列的前项和，存在且时,有，，则（ ）
A．8B．C．17D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，转化求解即可．
【详解】
由题知，且，
所以，
所以，所以.
故选：B．
【变式演练6】【2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）理科】已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得设，，根据，即可选出正确答案.
【详解】
根据等差数列的性质可得，
所以可设，.
则，，所以.
故选:D.
类型三 数列的最值问题
例4 已知等差数列的前项和为，，，如果当时，最小，那么的值为（ ）
A．10 B．9 C．5 D．4
【答案】C
【解析】第一步，观察已知条件，选择合适的求解方法：
依题意有，解得，
第二步，根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列出相对应的不等式（组）：
令，所以，
第三步，整理化简，得出结论，注意是正整数：
所以前项是负数，前项的和最小．
考点：等差数列的基本性质．
【变式演练7】【河南省部分重点高中2019-2020学年度高三高考适应性考试】已知Sn为数列{an}的前n项和，，an，6Sn成等差数列，若t＝a1a2+a2a3+…+anan+1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差中项的性质列方程，然后利用求得的通项公式，由此判断出是等比数列，进而求得的表达式，从而求得的取值范围.
【详解】
因为，an，6Sn成等差数列，
所以 ①
当时，，解得，
当时， ②
由①-②得，
可得，
所以数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
故，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
因为，数列为单调递减数列，
所以，
所以
故选：C
【变式演练8】【贵州省贵阳为明教育集团2021届高三第一次调研】已知等比数列的前n项和为，若公比，则数列的前n项积的最大值为（ ）
A．16B．64C．128D．256
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的前项和公式求出，观察等比数列的各项的值及其规律，从而可求出前项之积的最大值.
【详解】
由，，得，解得，
所以数列为8，，2，，，，……，前4项乘积最大为64.
故选：B.
【变式演练9】【陕西省西安市西北工业大学附属中学2020届高三下学期高考猜题卷（三）】已知是等差数列的前n项和，若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据条件求出首项和公差，即可求出通项公式和前项和，再根据数列的单调性可求出的最小值.
【详解】
设等差数列的公差为，
，解得，
，，
，
令，且，
，
恒成立，，
在和上单调递增，
由此可以判断数列在时为递增数列，此时的最小值为，在时为递增数列，此时的最小值为，综上，所以的最小值为．
故答案为：．
【高考再现】
1．（2021·北京高考真题）和是两个等差数列，其中为常值，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】由已知条件可得，则，因此，.
故选：B.
2．（2021·北京高考真题）数列是递增的整数数列，且，，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，，
所以n的最大值为11.
故选：C.
3．【2020年高考全国Ⅰ卷文数10】设是等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【思路导引】根据已知条件求得的值，再由可求得结果．
【解析】设等比数列的公比为，则，
，
，故选D．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列及其性质，考查等比数列基本量的计算，考查数学运算学科素养．解题关键是正确应用等比数列的性质．
4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数6】记为等比数列的前项和．若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【思路导引】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可．
【解析】设等比数列的公比为，由可得：，
∴，因此，故选B．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确消元．
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数4】北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．块 B．块 C．块 D．块
【答案】C【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，
设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到．
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的通项公式的基本量计算，考查了等差数列前项和公式的应用，考查数学文化，考查函数与方程思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确消元．
6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数6】数列中，，，若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【思路导引】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值．
【解析】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．故选：C．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前项和公式的应用，考查函数与方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确应用有关公式解决问题．
7．【2020年高考浙江卷7】已知等差数列的前项和，公差．记，下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A．由等差数列的性质可知，成立；
B．，，，
若，则，
即，这与已知矛盾，故B不成立；
C． ，整理为：，故C成立；
D．，当时，即，整理为，即，，方程有解，故D成立．综上可知，等式不可能成立的是B，故选B．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的性质应用，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．
8．【2020年高考北京卷8】在等差数列{}中，，，记，则数列{}（ ）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1≤n≤5使，an＜0，n≥6时，an＞0，所以n=4时，Tn＞0，并且取最大值；n=5时，Tn＜0；n≥6时，Tn＜0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无最小项．故选A．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，考查数学运算、逻辑推理等学科素养．解题关键是合理等差数列的性质解题．
9．【2020年高考全国Ⅱ卷文数14】记为等差数列的前项和，若，则 ．
【答案】
【思路导引】∵是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案．
【解析】是等差数列，且．设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：，可得，即：，整理可得：，解得：．
根据等差数列前项和公式：，可得：，．故答案为：．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及等差数列的前项和公式，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及前项和公式．
10．【2020年高考江苏卷11】设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是________．
【答案】
【解析】∵的前项和，
当时，；
当时，，∴，从而有．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式及错位相减法求数列的前项和，考查数学运算学科素养．解题关键是掌握等差数列的通项公式及错位相减法．
11．【2020年高考上海卷7】已知等差数列的首项，且满足，则 ．
【答案】
【解析】由条件可知，．
故答案为： ．
【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了等差数列通项公式，考查数学运算学科素养．解题关键是熟记等差数列的通项公式．
12．【2018年浙江卷】已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则
A． a1a3,a2a4 D． a1>a3,a2>a4
【答案】B
【解析】分析:先证不等式x≥lnx+1，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
详解：令f(x)=x−lnx−1,则f'(x)=1−1x，令f'(x)=0,得x=1，所以当x>1时，f'(x)>0，当0若公比q>0，则a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3)，不合题意；
若公比q≤−1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,
但ln(a1+a2+a3)=ln[a1(1+q+q2)]>lna1>0，
即a1+a2+a3+a4≤0因此−1∴a1>a1q2=a3,a2点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如x≥lnx+1,
ex≥x+1,ex≥x2+1(x≥0).
13．【2018年北京卷】“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，则
故选D.
点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：
（1）定义法，若（）或（）， 数列是等比数列；
（2）等比中项公式法，若数列中， 且（），则数列是等比数列.
14．【2018年新课标I卷】设Sn为等差数列an的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A． −12 B． −10 C． 10 D． 12
【答案】B
【解析】分析：首先设出等差数列an的公差为d，利用等差数列的求和公式，得到公差d所满足的等量关系式，从而求得结果d=−3，之后应用等差数列的通项公式求得a5=a1+4d=2−12=−10，从而求得正确结果.
详解：设该等差数列的公差为d，
根据题中的条件可得3(3×2+3×22⋅d)=2×2+d+4×2+4×32⋅d，
整理解得d=−3，所以a5=a1+4d=2−12=−10，故选B.
点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差数列的通项公式得到a5与a1和d的关系，从而求得结果.
15．【2018年上海卷】记等差数列an的前n项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=____．
【答案】14
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S7．
【详解】
∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=0，a6+a7=14，
∴&a1+2d=0&a1+5d+a1+6d=14，
解得a1=﹣4，d=2，
∴S7=7a1+7×62d=﹣28+42=14．
故答案为：14．
【点睛】
本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
16．【2018年江苏卷】已知集合A={x|x=2n−1,n∈N∗}，B={x|x=2n,n∈N∗}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为________．
【答案】27
【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.
详解：设an=2k，则Sn=[(2×1−1)+(2×2−1)+⋯+(2⋅2k−1−1)]+[2+22+⋯+2k]
=2k−11+2×2k−1−12+2(1−2k)1−2=22k−2+2k+1−2
由Sn>12an+1得22k−2+2k+1−2>12(2k+1),(2k−1)2−20(2k−1)−14>0,2k−1≥25,k≥6
所以只需研究25此时Sn=[(2×1−1)+(2×2−1)+⋯+(2m−1)]+[2+22+⋯+25] =m2+25+1−2，an+1=2m+1，m为等差数列项数，且m>16.
由m2+25+1−2>12(2m+1),m2−24m+50>0，∴m≥22,n=m+5≥27
得满足条件的n最小值为27.
点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如an=n,n为奇数2n,n为偶数），符号型（如an=(−1)nn2），周期型（如an=sinnπ3）.
17.【2018年北京卷】设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则an的通项公式为__________．
【答案】an=6n−3
【解析】分析：先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.
详解：∵a1=3，∴3+d+3+4d=36，∴d=6，∴an=3+6(n−1)=6n−3.
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
18．【2018年浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列
{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．
【答案】（Ⅰ）q=2
（Ⅱ）bn=15−(4n+3)⋅(12)n−2
【解析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比，（Ⅱ）先根据数列{(bn+1−bn)an}前n项和求通项，解得bn+1−bn，再通过叠加法以及错位相减法求bn.
详解：（Ⅰ）由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4，
所以a3+a4+a5=3a4+4=28，
解得a4=8.
由a3+a5=20得8(q+1q)=20，
因为q>1，所以q=2.
（Ⅱ）设cn=(bn+1−bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.
由cn=S1,n=1,Sn−Sn−1,n≥2.解得cn=4n−1.
由（Ⅰ）可知an=2n−1，
所以bn+1−bn=(4n−1)⋅(12)n−1，
故bn−bn−1=(4n−5)⋅(12)n−2,n≥2，
bn−b1=(bn−bn−1)+(bn−1−bn−2)+⋯+(b3−b2)+(b2−b1) =(4n−5)⋅(12)n−2+(4n−9)⋅(12)n−3+⋯+7⋅12+3.
设Tn=3+7⋅12+11⋅(12)2+⋯+(4n−5)⋅(12)n−2,n≥2，12Tn=3⋅12+7⋅(12)2+⋯+(4n−9)⋅(12)n−2+(4n−5)⋅(12)n−1
所以12Tn=3+4⋅12+4⋅(12)2+⋯+4⋅(12)n−2−(4n−5)⋅(12)n−1，
因此Tn=14−(4n+3)⋅(12)n−2,n≥2，
又b1=1，所以bn=15−(4n+3)⋅(12)n−2.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn−qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
19．【2018年北京卷】设{an}是等差数列，且a1=ln2,a2+a3=5ln2.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求ea1+ea2+⋯+ean.
【答案】（I）nln2
（II）2n+1−2
【解析】分析：（1）设公差为d，根据题意可列关于a1,d的方程组，求解a1,d，代入通项公式可得；（2）由（1）可得ean=2n，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
详解：（I）设等差数列{an}的公差为d，
∵a2+a3=5ln2，
∴2a1+3d=5ln2，
又a1=ln2，∴d=ln2.
∴an=a1+(n−1)d=nln2.
（II）由（I）知an=nln2，
∵ean=enln2=eln2n=2n，
∴{ean}是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴ea1+ea2+⋯+ean=eln2+eln22+⋯+eln2n
=2+22+⋯+2n
=2n+1−2.
∴ea1+ea2+⋯+ean =2n+1−2
点睛：等差数列的通项公式及前n项和共涉及五个基本量a1,an,d,n,Sn，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.
20．【2018年新课标I卷】已知数列an满足a1=1，nan+1=2n+1an，设bn=ann．
（1）求b1 ， b2 ， b3；
（2）判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；
（3）求an的通项公式．
【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4．
(2) {bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析.
(3) an=n·2n-1．
【解析】分析：(1)根据题中条件所给的数列an的递推公式nan+1=2n+1an，将其化为an+1=2(n+1)nan，分别令n=1和n=2，代入上式求得a2=4和a3=12，再利用bn=ann，从而求得b1=1，b2=2，b3=4．
(2)利用条件可以得到an+1n+1=2ann，从而 可以得出bn+1=2bn，这样就可以得到数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)借助等比数列的通项公式求得ann=2n−1，从而求得an=n·2n-1．
详解：（1）由条件可得an+1=2(n+1)nan．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得ann=2n−1，所以an=n·2n-1．
点睛：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列bn的通项公式，借助于bn的通项公式求得数列an的通项公式，从而求得最后的结果.
21．【2018年全国卷Ⅲ】等比数列an中，a1=1 ， a5=4a3．
（1）求an的通项公式；
（2）记Sn为an的前n项和．若Sm=63，求m．
【答案】（1）an=(−2)n−1或an=2n−1 .
（2）m=6.
【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。
详解：（1）设{an}的公比为q，由题设得an=qn−1．
由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），q=−2或q=2．
故an=(−2)n−1或an=2n−1．
（2）若an=(−2)n−1，则Sn=1−(−2)n3．由Sm=63得(−2)m=−188，此方程没有正整数解．
若an=2n−1，则Sn=2n−1．由Sm=63得2m=64，解得m=6．
综上，m=6．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。
22．【2018年全国卷II】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=−7，S3=−15
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得Sn的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
【反馈练习】
1．【陕西省部分学校2020-2021学年高三上学期摸底检测文科】数列是等差数列，且，，那么（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令、 可得等差数列的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出.
【详解】
令得，
令得，
所以数列的公差为，
所以，解得，
故选：B
2．【山西省太原市第五中学2021届高三上学期9月阶段性考试】设等差数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为（ ）
A．28B．36C．42D．46
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据等差数列的性质和前项和公式求出首项和公差的关系，再根据求出首项和公差，最后利用等差数列的前项和公式即可求出结果.
【详解】
成等差数列，
，
设的公差为，则，
解得，
，，
，，
.
故选：B.
3．【云南省红河州第一中学2021届高三年级理科数学第一次联考】设等差数列的前项和为，且 ，则的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
先由得，进而利用等差数列通项公式即可求得答案.
【详解】
解：由，可得，故，
设等差数列的公差为，
则.
故选：B.
4．在等差数列中，若，则数列的前13项和=（ ）
A．5200B．2600C．1500D．1300
【来源】云南省曲靖市2021届高三二模数学（文）试题
【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质可得，代入等差数列前n项和公式，即可求得答案.
【详解】
根据等差数列性质可得，
所以，
所以前13项和.
故选：D
5．【江西省南昌市2021届高三摸底测试数学（文）】为等差数列的前项和，满足，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式列方程即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为d，
因为，，所以，解得.
故选：A.
6．【云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试】已知是公差为的等差数列， 为数列的前n项和，若成等比数列，则（ ）
A．B．14C．12D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
由成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，,再利用等差数列前项和公式即可得.
【详解】
解设数列的公差为，由题意，
由成等比数列,
所以，
整理得，
故，所以.
故选:B
7．【2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟】正项等差数列的前和为，已知，则（ ）
A．35B．36C．45D．54
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可得，即可求出，进而由，可求出答案.
【详解】
由题意，可得，所以，解得或，
因为，所以舍去，只有符合题意，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质与求和公式的应用，属于基础题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.
8．【河北省石家庄二中2020届高三（3月份）高考】数列是等差数列，，公差，，且，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式推导出，由，，能求出实数取最大值.
【详解】
数列是等差数列，，公差，，且，
，
解得，
，，是减函数，
时，实数取最大值为.
故选：D.
9．【山东省枣庄市滕州一中2020-2021学年高三10月月考】已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，得两式相减得，从而可得到数列的通项公式，根据“和谐项”的定义可得，然后利用等比数列的前项和公式可得答案.
【详解】
因为，所以，
则，即，，，
因为，所以，
故，
因为，所以，
数列的所有“和谐项”的平方和为：
，
故选：A.
10．【北京市西城区2020届高三数学二模】设为等比数列，则“对于任意的”是“为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
对于任意的 ，即 .可得：，，任意的，解出即可判断出结论.
【详解】
解：对于任意的，即.
∴，，任意的，
∴，或.
∴“为递增数列”，反之也成立.
∴“对于任意的”是“为递增数列”的充要条件.
故选：C.
11．【云南省红河州第一中学2021届高三年级理科数学第一次联考】已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中递推关系，先得到，得出，根据题中条件，得出是以为首项，为公比的等比数列，求出通项公式，再验证也满足即可.
【详解】
由①得②，
①—②可得：，
所以（），
又，，则，
因此是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
当时也满足该式，所以.
故选：C.
12．【安徽省怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、涡阳一中2020届高三5月五校联考】设为等差数列，为等比数列，且，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差，等比中项求解的关系，再利用基本不等式判断即可.
【详解】
由等差，等比中项可知，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，
即.
故选：C.
13．已知为递增的等差数列，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】专题7.2 等差数列-2022届高三数学一轮复习精讲精练
【答案】D
【分析】
根据等差数列的性质列出方程组，从而求出和公差，写出的通项公式即可求出答案.
【详解】
因为为等差数列，，所以，
由，得或(舍)，所以，
所以.
令，得.
故选：D.
14．已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
【来源】四川省绵阳中学高三2021届高考仿真模拟（一）数学（理）试题
【答案】B
【分析】
利用等差数列求和公式及等差数列性质求得
【详解】
∴∴，
故选：B.
15．已知公差不为0的等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】江西省南昌市2021届高三三模数学（理）试题
【答案】C
【分析】
由条件利用等差中项化简，再根据等差数列的性质及等差数列的求和公式即可求解.
【详解】
，
，
，又
，
，
故选：C
【点睛】
关键点点睛：根据等差数列的性质时，化简是解题的关键，属于中档题.
16．已知等差数列，正整数，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上均不正确
【来源】浙江省数海漫游2021届高三下学期第二次模拟考试数学试题
【答案】B
【分析】
利用等差数列的性质可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
由为等差数列，且，
则，
所以，
当且仅当时，取等号，
又，
所以，即，
所以，故的取值范围是.
故选：B
17．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．9D．8
【来源】江苏省南京市第十二中学2021-2022学年高三上学期8月线上月考数学试题
【答案】C
【分析】
根据题意和等比数列下标和性质得：，由对数的运算律化简所求的式子，由等比数列的性质化简求值．
【详解】
解：由等比数列的性质得，，
因为，所以，所以或（舍去），
所以
，
故选：．
18．在等比数列中，，是方程的根，则（ ）
A．2B．C．或D．或
【来源】模块综合练02 数列-2022年高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）
【答案】D
【分析】
由题意有，再运用性质有，最后化简即可.
【详解】
等比数列的公比设为，，是方程的根，可得，即有，即有，则.
故选：D.
19．已知数列为等比数列，给出下列结论：
①；
②若，，则；
③当时，；
④当时，.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③B．②④C．①④D．①③
【来源】安徽省池州市第一中学2021届高三模拟考试（临门一脚）数学（理）试题
【答案】D
【分析】
根据等比数列的性质可判断①； 由可判断②；由，结合均值不等式可判断③；当时，④不成立.
【详解】
设等比数列的公比为
对于①. 则，
所以，故①正确.
对于②. 由题意，所以不正确，所以②不正确.
对于③.
当且仅当时，取得等号. 故③正确
对于④. 当时，，则，故④不正确
故选：D
20．已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省宜宾市天立学校2021届高三下学期模拟数学（文）试题
【答案】C
【分析】
由等比数列的性质得出，由前项和的定义得，从而可求得公比和首项，再由前项和公式计算．
【详解】
是等比数列，公比为，由，得，
又，所以，，所以，由解得，
所以，，，
所以．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求等比数列的前项和，解题关键是由等比数列性质求得，然后可用基本量法求得首项，公比，再由前项和公式得结论．
21．已知数列是正项等比数列，且，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三二模数学（文科）试题
【答案】D
【分析】
由已知结合基本不等式及等比数列的性质可求的范围.
【详解】
因为数列是正项等比数列，，
可得，
当且仅当时取等号.
结合选项可知D符合题意.
故选：D.
22．（多选）设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
【来源】江苏省常州市前黄高级中学2021届高三下学期5月高考适应性考试（一）数学试题
【答案】ABC
【分析】
利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断CD选项的正误.
【详解】
对于C选项，由且，可知，C对；
对于B选项，由，可得，B对；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，D错；
对于A选项，由上述分析可知，当且时，；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
当且时，单调递减，即，
单调递减，即有，
所以，，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第项，A对.
故选：ABC.
23．（多选）【福建省泉州市2021届高三毕业班质量检测】设d为正项等差数列的公差，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．
【详解】
由题知，只需，
，A正确；
，B正确；
，C正确；
，所以，D错误.
24．【四川省宜宾市第四中学2021届高三上学期开学考试】已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最小值时的为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，判断项的符号何时改变即可求解.
【详解】
由，
解得，
所以，
令，解得，即前6项为负，第7项起为正，
所以最小.
故答案为6
25．【江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（三）】设正项数列满足，，且，则数列前10项的和为______.
【答案】440
【解析】
【分析】
对进行取值，计算，通过观察可归纳的表达式，进一步求得，然后可得，最后可得结果.
【详解】
由，
所以
当时，，当时，，当时，
所以猜想可知：，，则
用数学归纳法证明：当时，左边==右边
假设时，等式成立，即
则当时，左边=
所以深对任意的，
所以
当时，符合上式，所以
则
所以数列前10项的和为
故答案为：
26．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为_________
【来源】考点36 等差数列-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）
【答案】-110
【分析】
由等差数列性质及等差数列前项和公式，可得.
【详解】
根据题意得，，，
所以，即，
所以，
故答案为：-110.
27．已知公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足，，则___________.
【来源】江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考数学（文）试题
【答案】
【分析】
根据等差数列与等比数列的性质，由题中条件，分别得到，，进而可求出结果.
【详解】
因为公比不等于1的等比数列和公差不等于0的等差数列满足，，
所以，则，
因此.
28．已知是等比数列的前项和，，则___________.
【来源】内蒙古赤峰二中2021届高三5月适应性考试数学（文）试题
【答案】2n﹣1
【分析】
根据等比数列通项公式和前项和公式计算，从而可知的首项和公比，再由前项和公式计算结果.
【详解】
解：因为，
所以，解得或舍
，所以所以数列是以1为首项，以-2为公比的等比数列，
则为也等比数列，公比为2，首项
故.
故答案为：2n﹣1.
【点睛】
结论点睛：若数列为等比数列，则数列也为等比数列，首项为，公比为.
29．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试四】已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由条件可得，然后解出即可；
（2），，然后可算出答案.
【详解】
（1）设数列的公比为，因为，所以.
因为是和的等差中项，所以，
即，化简得.
因为公比，所以.
所以.
（2）因为，所以.
所以，
则.
【点睛】
本题考查的是等差、等比数列的基本运算和数列的求和，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.
30．【云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测】已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得通项公式；
（2）由裂项相消法求和．
【详解】
解：（1）因为是等比数列，所以，又，所以，
设等差数列的公差为，
由，两式相减得，，
所以，，
所以，
而，所以．
（2）由（1）得，
．
31．【福建省泉州市2021届高三毕业班质量检测】已知为等差数列，为单调递增的等比数列，，，.
（1）求与的通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意求得和的值，进而可求得数列与的通项公式；
（2）求得数列的通项公式，然后利用分组求和法可求得.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，又，所以.
所以.
由，可得，又，所以，
又因为数列为单调递增的等比数列，则，故，所以；
（2）由（1）可知，
数列的前项和为，
数列的前项和为，
故.

万能模板
内 容
使用场景
等差，等比数列的求值问题
解题模板
第一步 观察已知条件和所求未知量的结构特征；
第二步 选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系；
第三步 整理化简，求得代数式的值.
万能模板
内 容
使用场景
等差或等比数列前项和
解题模板
第一步 观察已知条件中前项和的信息；
第二步 选择相对应的等差或等比数列前项和的性质列出相应的等量关系；
第三步 整理化简，得出结论.
万能模板
内 容
使用场景
有关数列的最值问题
解题模板
第一步 观察已知条件，选择合适的求解方法；
第二步 根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列车相对应的不等式（组）；
第三步 整理化简，得出结论，注意是正整数.