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第26讲 圆的相关概念及性质（2考点+36题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第26讲 圆的相关概念及性质（2考点+36题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含专题26圆的相关概念及性质练习原卷版docx、专题26圆的相关概念及性质练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共198页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第26讲 圆的相关概念及性质
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157267112" 题型01 理解圆的相关概念
\l "_Tc157267113" 题型02 圆的周长与面积相关计算
\l "_Tc157267114" 题型03 圆中的角度计算
\l "_Tc157267115" 题型04 圆中线段长度的计算
\l "_Tc157267116" 题型05 求一点到圆上一点的距离最值
\l "_Tc157267117" 题型06 由垂径定理及推论判断正误
\l "_Tc157267118" 题型07 利用垂径定理求解
\l "_Tc157267119" 题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解
\l "_Tc157267120" 题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
\l "_Tc157267121" 题型10 利用垂径定理求平行弦问题
\l "_Tc157267122" 题型11 利用垂径定理求同心圆问题
\l "_Tc157267123" 题型12 垂径定理在格点中的应用
\l "_Tc157267124" 题型13 利用垂径定理的推论求解
\l "_Tc157267125" 题型14 垂径定理的实际应用
\l "_Tc157267126" 题型15 利用垂径定理求取值范围
\l "_Tc157267127" 题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
\l "_Tc157267128" 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解
\l "_Tc157267129" 题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值
\l "_Tc157267130" 题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明
\l "_Tc157267131" 题型20 利用圆周角定理求解
\l "_Tc157267132" 题型21 利用圆周角定理推论求解
\l "_Tc157267133" 题型22 已知圆内接四边形求角度
\l "_Tc157267134" 题型23 利用圆的有关性质求值
\l "_Tc157267135" 题型24 利用圆的有关性质证明
\l "_Tc157267136" 题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题
\l "_Tc157267137" 题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题
\l "_Tc157267138" 题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
\l "_Tc157267139" 题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角
题型01 理解圆的相关概念
1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（ ）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形；
③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆.
A．①④B．②③C．①③④D．②③④
4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大
B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的π倍
D．圆是轴对称图形
题型02 圆的周长与面积相关计算
5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，12对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π−4B．π−2C．2πD．14π
6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定
7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且R−r=1，则半径为R的圆周长为（ ）
A．a+1B．a+2C．a+πD．a+2π
8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．
（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积．
题型03 圆中的角度计算
9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'=27°，则∠OCB= 度．
题型04 圆中线段长度的计算
12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）
A．403B．8C．245D．6
13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）
A．403B．8C．245D．95
14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4B．10C．13D．26
题型05 求一点到圆上一点的距离最值
15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD上运动，若圆O的面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是 ．
16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON=t（1
17．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为 ．
18．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足，则线段BP的最小值是 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 ．
题型06 由垂径定理及推论判断正误
19．（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（ ）
A．CE=EOB．OC=2CD
C．∠OCE=45°D．∠BOC=2∠BAD
20．（2022·河南许昌·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．OE＝DEC．AC=BCD．AD=BD
21．（2018·内蒙古包头·校联考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠ACB=90°B．OE=BEC．BD=BCD．AD=AC
题型07 利用垂径定理求解
22．（2023·云南·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A．713B．1213C．712D．1312
23．（2023·陕西西安·校考二模）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( )
A．363B．243C．183D．723
24．（2022·北京丰台·统考一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝ °．
25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的度数是 ．
题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解
26．（2022·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．
27．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知△ABC是等边三角形，D点是弧AC的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．
28．（2022·广东广州·统考一模）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为 ．
29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作AE⊥BE交BD的延长线于点E，则BDDE的最小值为 ．
30．（2021·四川成都·统考二模）如图，在半径为32的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
31．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A0,−2，B0,4，与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）
A．4−26,0B．−4+26,0C．−4+26,0D．4−26,0
32．（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A10,0,B8,0，点C,D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ）
A．2，3B．2,4C．1,2D．1,3
33．（2017·山东临沂·校考一模）如图，已知⊙A在平面直角坐标系中，⊙A与x轴交于点B，C，与y轴交于点D，E，若圆心A的坐标为（-4，6），点B的坐标为（-12，0），则DE的长度为（ ）
A．221B．421C．8D．16
34．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=6x(x>0)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于25时，点P的坐标为 ．
题型10 利用垂径定理求平行弦问题
35．（2021·浙江衢州·校考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
36．（2022·黑龙江·统考一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
37．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，则AB与CD之间的距离是 cm．
题型11 利用垂径定理求同心圆问题
38．（2022·福建·模拟预测）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，则AB的长是 ．
39．（2019·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=6，则圆环的面积为 .
40．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
题型12 垂径定理在格点中的应用
41．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则AE的长为（ ）
A．3π4B．π2C．5π8D．5π4
42．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O均在格点上，则sinC= ．
43．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，并简要说明画图方法（不要求证明）
44．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．
（1）线段AC的长等于 ；
（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
题型13 利用垂径定理的推论求解
45．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB=30°，AC=23，则OE=（ ）
A．32B．3C．1D．2
46．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在⊙O中，点C是AB的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD=3，DC=2，则AB的长是 ．
47．（2023·天津西青·统考一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，AC=BC，连接AC，BC，DB．
(1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB，求∠ABD的大小．
48．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点E在DO的延长线上， 连接AE．若∠E=∠B．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC．若AC=6，CF=4，求OE的长．
题型14 垂径定理的实际应用
49．（2021·山东临沂·统考二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
50．（2022·河南开封·统考一模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：∠PAC=∠PBA．
(2)请求出水槽AP的长度．
51．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；
52．（2021·云南大理·统考二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，则CD的长度 ．
题型15 利用垂径定理求取值范围
53．（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
54．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，⊙O的弦AB=8，点P是AB上一动点，若⊙O的直径是10，则OP的长的取值范围是______．
55．（2023·浙江金华·校考一模）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 ．
56．（2022·湖南长沙·校考二模）在半径为5的圆中，弦AB=8，点C是劣弧AB上的动点（可与A、B重合），连接OC交AB于点P．
(1)如图1，当OC⊥AB时，求OP的长度；
(2)如图2，过C点作CM⊥AB，垂足为点M，设CM=m，求OP的长度（用含m的式子表示），并指出m的取值范围；
(3)如图3，设CM=m，连接OM．求OM2+8CM的取值范围．
题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
57．（2020·安徽芜湖·校联考三模）在⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．AB＞2AMB．AB＝2AM
C．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定
58．（2018·湖北襄阳·统考一模）如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A．OE＝OFB．弧AC=弧BDC．AC＝CD＝DBD．CD∥AB
59．（2018·福建三明·统考一模）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝CDB．OM＝BMC．∠A＝12∠BODD．∠A＝12∠ACD
题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解
60．（2022·福建泉州·一模）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．33B．32C．3D．32
61．（2022·江苏扬州·统考二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．AD=AEB．AD=AF
C．AF=DGD．AF=DH
62．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
63．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=
64．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知半圆直径AB=2，点C、D三等分半圆弧，那么△CBD的面积为 ．
题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值
65．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
66．（2022·安徽淮南·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．
67．（2022·山东济南·统考二模）如图，在边长为6的等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE=CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明
68．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，已知在⊙O中， AB＝BC＝CD，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
69．（2023·贵州黔南·统考一模）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点．
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
70．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AB=CD．
(1)求证：BE=DE；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．
71．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD=AE，连接BE．
(1)求∠AEB的度数；
(2)连接CE，求证：2BE2+AE2=CE2．
题型20 利用圆周角定理求解
72．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C= °．
73．（2022·山西晋中·统考一模）如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
74．（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs∠ACB的值是 ．
75．（2022·江西·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝13，求tan∠CDA的值．
题型21 利用圆周角定理推论求解
76．（2023·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．
77．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
78．（2023·山东济宁·统考一模）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
79．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．
(1)求证：BD=CD；
(2)若⊙O与AC相切，求∠B的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
题型22 已知圆内接四边形求角度
80．（2021·重庆南岸·统考一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70°B．110°C．130°D．140°
81．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为( )
A．128°B．64°C．32°D．116°
82．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，则图中与∠EAD相等的角(不包括∠EAD)是 ．
题型23 利用圆的有关性质求值
83．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（ ）
A．6.4B．7C．7.2D．8
84．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．
(1)若∠ABC=20°，则∠BCE= ；
(2)若BE=BD，则tan∠ABC= ．
85．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F，连接AF，其中AC=3，BC=4．
(1)求证△CFA∽△CEB；
(2)当E从B运动到A时，F运动路径的长为______．
题型24 利用圆的有关性质证明
86．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，过D作DE⊥BC交BC延长线于点E
(1)若AB为直径，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若AB不是⊙O的直径，如图2，DE交⊙O于点F，连接BF
①求证：CDBF=CEEF；
②若AB=BC+EF，求sin∠ABD的值．
87．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点（不与点A，B重合），过点P作⊙O的割线交⊙O于点C，D，BH⊥CD于H，连接BC，BD．
(1)①在图1的情形下，证明：BC⋅BD=AB⋅BH；
②当点P处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；
(2)若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC⋅BD=6时，求AP的长．
88．（2022·山西大同·校联考三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：
如图1，以AB为直径作半圆O，弦AC是一个内接正五边形的一条边（即：∠AOC=72°），点D是AC的中点，连接CD并延长与直径BA的延长线交于点E，连接AC,DB交于点F，过点F作FM⊥AB于点M．求证：ME是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：
证明：如图2，过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠AOC=72∘,AC=AC，
∴∠ABC=12∠AOC=36°．（依据1）
∵点D是AC的中点，
∴AD=DC．
∵∠AOC=72°，
∴∠AOD=∠COD=36°．
∴∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠DCA=12∠ABC=18°．（依据2）
∵以AB为直径作半圆O，
∴∠ACB=∠ADB=90°．（依据3）
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=108°．
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠BAD=180°−∠DCB=72°,∠ADC+∠ABC=180°．（依据4）
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ADE=∠ABC=36°．
∵FM⊥AB于点M，
∴FM=FC,∠FMB=∠ACB=90°．
∵BF=BF，
∴△BCF≌△BMF(HL)．
∵BC=BM．
∵BC=BM,∠ABD=∠CBD,BD=BD．
∴△BCD≌△BMD(SAS)．
∴DC=DM．
……
通过上面的阅读，完成下列任务：
(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出∠A的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程）
题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题
89．（2022·黑龙江大庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D．再将BD沿AB翻折交BC于点E．若BE=DE，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°<α<22.3°B．22.3°<α<22.7°
C．22.7°<α<23.1°D．23.1°<α<23.5°
90．（2023·福建泉州·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦（不是直径），将AB沿AB翻折交AC于点D．若AB=AC，AD=BD，则ADCD＝ ．
91．（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为 ；
(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．
题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题
92．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的延长线交于点P，已知PD=12AB，下列结论：①若CD⏜=AD⏜+BC⏜，则AB=2CD；②若∠B=60°，则∠P=20°；③若∠P=30°，则PAPD=3−1；④ADBC的值可能等于13．其中正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
93．（2022·福建莆田·统考一模）如图，在半径为5的⊙O中，弦AC=8，B为AC上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE的中点，连接AE，OF．现给出以下结论：
①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠AED；④OF的最小值为1，
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
94．（2020·湖南岳阳·校考二模）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN=90°；②AM=BM；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④AE=12MF．其中正确结论的序号是 ．
题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
95．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=32，则⊙O的半径为 ．
96．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为 ．
题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角
97．（2022·江苏常州·常州市第二十四中学校联考一模）图，点A1,2、点B都在反比例函数y=kxx>0的图象上，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为 ．
98．（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则⊙O的直径等于 ．
99．（2018·湖南张家界·校联考一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．
一、单选题
1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
3．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8B．4C．3.5D．3
5．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m，则AC的长为（ ）
A．300πmB．200πmC．150πmD．1003πm
6．（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（ ）
A．20°B．40°C．50°D．80°
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，则∠BAC=（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
9．（2023·西藏·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
10．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④BD=DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+3．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
二、填空题
12．（2023·黑龙江·统考中考真题）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF,CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 ．
13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A=30°,AB=6，则BD的长是 （结果保留π）；
（2）若CFAF=13，则CEAE= ．
14．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E,AC=2BD．连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB=68°，则∠DEB= °．
15．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，则⊙O的直径AD= ．
16．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．
17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是 ．
18．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE=70°，则∠AOC= 度．
三、解答题
19．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC的长．
20．（2023·天津·统考中考真题）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．
21．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．
22．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4,BC=5，求⊙O的半径．
24．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
（1）求∠BCF的度数；
（2）求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．
25．（2022·山东泰安·统考中考真题）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A=60°，AB=AC，如图，试证明BC=CD+BE；
②将①中的条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如图，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第26讲 圆的相关概念及性质
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc157267112" 题型01 理解圆的相关概念
\l "_Tc157267113" 题型02 圆的周长与面积相关计算
\l "_Tc157267114" 题型03 圆中的角度计算
\l "_Tc157267115" 题型04 圆中线段长度的计算
\l "_Tc157267116" 题型05 求一点到圆上一点的距离最值
\l "_Tc157267117" 题型06 由垂径定理及推论判断正误
\l "_Tc157267118" 题型07 利用垂径定理求解
\l "_Tc157267119" 题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解
\l "_Tc157267120" 题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
\l "_Tc157267121" 题型10 利用垂径定理求平行弦问题
\l "_Tc157267122" 题型11 利用垂径定理求同心圆问题
\l "_Tc157267123" 题型12 垂径定理在格点中的应用
\l "_Tc157267124" 题型13 利用垂径定理的推论求解
\l "_Tc157267125" 题型14 垂径定理的实际应用
\l "_Tc157267126" 题型15 利用垂径定理求取值范围
\l "_Tc157267127" 题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
\l "_Tc157267128" 题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解
\l "_Tc157267129" 题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值
\l "_Tc157267130" 题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明
\l "_Tc157267131" 题型20 利用圆周角定理求解
\l "_Tc157267132" 题型21 利用圆周角定理推论求解
\l "_Tc157267133" 题型22 已知圆内接四边形求角度
\l "_Tc157267134" 题型23 利用圆的有关性质求值
\l "_Tc157267135" 题型24 利用圆的有关性质证明
\l "_Tc157267136" 题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题
\l "_Tc157267137" 题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题
\l "_Tc157267138" 题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
\l "_Tc157267139" 题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角
题型01 理解圆的相关概念
1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
2．（2020·内蒙古乌兰察布·校考一模）下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2023·江苏徐州·统考一模）下列说法中，正确的是（ ）
①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形； ②对角线相等的四边形是矩形；
③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆.
A．①④B．②③C．①③④D．②③④
4．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）生活中经常把井盖做成圆形的，这样井盖就不会掉进井里去，这是因为（ ）
A．同样长度的线段围成的平面图形中圆的面积最大
B．同一个圆所有的直径都相等
C．圆的周长是直径的π倍
D．圆是轴对称图形
题型02 圆的周长与面积相关计算
5．（2022·山西临汾·统考二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，12对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π−4B．π−2C．2πD．14π
6．（2019·广东佛山·佛山市三水区三水中学校考一模）某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）
A．图（1）需要的材料多B．图（2）需要的材料多
C．图（1）、图（2）需要的材料一样多D．无法确定
7．（2019·河北张家口·统考一模）半径为R、r的两个同心圆如图所示，已知半径为r的圆周长为a，且R−r=1，则半径为R的圆周长为（ ）
A．a+1B．a+2C．a+πD．a+2π
8．（2021·江苏宿迁·统考一模）一块含有30°角的三角板ABC如图所示，其中∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm．将此三角板在平面内绕顶点A旋转一周．
（1）画出边BC旋转一周所形成的图形；
（2）求出该图形的面积．
题型03 圆中的角度计算
9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝12OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
10．（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC=80°，点D为弦AC的中点，点E为BC上任意一点，则∠CED的大小可能是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
11．（2023·湖南湘西·统考模拟预测）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'=27°，则∠OCB= 度．
题型04 圆中线段长度的计算
12．（2023·湖南益阳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）
A．403B．8C．245D．6
13．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半径为3，AD=2，则线段BC的长为（ ）
A．403B．8C．245D．95
14．（2022·湖北武汉·武汉第三寄宿中学校考模拟预测）如图，将两个正方形如图放置（B，C，E共线，D，C，G共线），若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以OF为半径作⊙O，点A，点F都在⊙O上，则OD的长是（ ）
A．4B．10C．13D．26
题型05 求一点到圆上一点的距离最值
15．（2023·湖北咸宁·统考二模）如图，正方形ABCD内接干圆O，线段MN在对角线BD上运动，若圆O的面积为2π，MN=1，△AMN周长的最小值是 ．
16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系xy中，⊙O的半径为2，点M在⊙O上，点N在线段OM上，设ON=t（1
17．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D为线段AB上的动点，连接CD，过点B作BE⊥CD交CD于点E，则在点D的运动过程中，求线段AE的最小值为 ．
18．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，P是矩形内部一动点，且满足，则线段BP的最小值是 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 ．
题型06 由垂径定理及推论判断正误
19．（2022·山东济宁·二模）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，则下列说法中不正确的是（ ）
A．CE=EOB．OC=2CD
C．∠OCE=45°D．∠BOC=2∠BAD
20．（2022·河南许昌·统考一模）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AE＝BEB．OE＝DEC．AC=BCD．AD=BD
21．（2018·内蒙古包头·校联考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC、BD、AC，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠ACB=90°B．OE=BEC．BD=BCD．AD=AC
题型07 利用垂径定理求解
22．（2023·云南·模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A．713B．1213C．712D．1312
23．（2023·陕西西安·校考二模）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( )
A．363B．243C．183D．723
24．（2022·北京丰台·统考一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠CAD＝45°，则∠BOC＝ °．
25．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是AD所对的圆周角，则∠APD的度数是 ．
题型08 根据垂径定理与全等/相似三角形综合求解
26．（2022·新疆乌鲁木齐·统考一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长．
27．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）小明向如图所示的圆形区域内投掷飞镖．已知△ABC是等边三角形，D点是弧AC的中点，则飞镖落在阴影部分的概率为 ．
28．（2022·广东广州·统考一模）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为 ．
29．（2022·广西钦州·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90∘，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作AE⊥BE交BD的延长线于点E，则BDDE的最小值为 ．
30．（2021·四川成都·统考二模）如图，在半径为32的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC⏜的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是 ．
题型09 在坐标系中利用勾股定理求值或坐标
31．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A0,−2，B0,4，与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）
A．4−26,0B．−4+26,0C．−4+26,0D．4−26,0
32．（2021·浙江宁波·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A10,0,B8,0，点C,D是以OA为直径的半圆上两点，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标是（ ）
A．2，3B．2,4C．1,2D．1,3
33．（2017·山东临沂·校考一模）如图，已知⊙A在平面直角坐标系中，⊙A与x轴交于点B，C，与y轴交于点D，E，若圆心A的坐标为（-4，6），点B的坐标为（-12，0），则DE的长度为（ ）
A．221B．421C．8D．16
34．（2022·四川泸州·模拟预测）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=6x(x>0)图像上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于25时，点P的坐标为 ．
题型10 利用垂径定理求平行弦问题
35．（2021·浙江衢州·校考一模）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是 ．
36．（2022·黑龙江·统考一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
37．（2022·黑龙江牡丹江·统考二模）在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，则AB与CD之间的距离是 cm．
题型11 利用垂径定理求同心圆问题
38．（2022·福建·模拟预测）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆的半径OA交小圆于点D，若OD＝3，tan∠OAB＝12，则AB的长是 ．
39．（2019·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，两个圆都以O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若AB=6，则圆环的面积为 .
40．（2022·甘肃武威·统考模拟预测）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
题型12 垂径定理在格点中的应用
41．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，AE的延长线经过格点D，则AE的长为（ ）
A．3π4B．π2C．5π8D．5π4
42．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O均在格点上，则sinC= ．
43．（2023·天津东丽·统考二模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，以格点O为圆心，AB为直径作圆，点M在圆上．
（Ⅰ）线段AB的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在BM上找出一点P，使PM=AM，并简要说明画图方法（不要求证明）
44．（2023·天津·校联考一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C，D均为格点，且点A，B在圆上．
（1）线段AC的长等于 ；
（2）过点D作DF∥AC，直线DF与圆交于点M,N（点M在N的左侧），画出MN的中点P，简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
题型13 利用垂径定理的推论求解
45．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB=30°，AC=23，则OE=（ ）
A．32B．3C．1D．2
46．（2021·江苏扬州·统考一模）如图，在⊙O中，点C是AB的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD=3，DC=2，则AB的长是 ．
47．（2023·天津西青·统考一模）已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上两点，AC=BC，连接AC，BC，DB．
(1)如图①，若AB=10，BD=5，求∠ABC和∠ABD的大小；
(2)如图②，过点C作⊙O的切线，与DB的延长线交于点E，若CE=CB，求∠ABD的大小．
48．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点D是弧BC的中点，点E在DO的延长线上， 连接AE．若∠E=∠B．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)连接AC．若AC=6，CF=4，求OE的长．
题型14 垂径定理的实际应用
49．（2021·山东临沂·统考二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cs41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
50．（2022·河南开封·统考一模）中国5A级旅游景区开封市清明上河园，水车园中的水车是由立式水轮，竹筒、支撑杆和水槽等配件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮⊙O在水流的作用下利用竹筒将水运送到到点A处，水沿水槽AP流到田地，⊙O与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上；AP与⊙O相切，若点P到点C的距离为32米，立式水轮⊙O的最低点到水面的距离为2米，连接AC，AB．
请解答下列问题，
(1)求证：∠PAC=∠PBA．
(2)请求出水槽AP的长度．
51．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度CD（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高AB（弧的中点到弦的距离）为0.8米．
(1)求该圆弧所在圆的半径；
(2)在修建中，在距大门边框的一端（点D）0.4米处将竖立支撑杆HG，求支撑杆HG的高度；
52．（2021·云南大理·统考二模）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
【概念理解】
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”；
【问题解决】
（3）如图3，在⊙O中，半径为13，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，CHDH=5，则CD的长度 ．
题型15 利用垂径定理求取值范围
53．（2020·山东泰安·校考模拟预测）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
54．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，⊙O的弦AB=8，点P是AB上一动点，若⊙O的直径是10，则OP的长的取值范围是______．
55．（2023·浙江金华·校考一模）在锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，设BC边上的高为h，则h的取值范围是 ．
56．（2022·湖南长沙·校考二模）在半径为5的圆中，弦AB=8，点C是劣弧AB上的动点（可与A、B重合），连接OC交AB于点P．
(1)如图1，当OC⊥AB时，求OP的长度；
(2)如图2，过C点作CM⊥AB，垂足为点M，设CM=m，求OP的长度（用含m的式子表示），并指出m的取值范围；
(3)如图3，设CM=m，连接OM．求OM2+8CM的取值范围．
题型16 利用弧、弦、圆心角关系判断正误
57．（2020·安徽芜湖·校联考三模）在⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．AB＞2AMB．AB＝2AM
C．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定
58．（2018·湖北襄阳·统考一模）如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（ ）
A．OE＝OFB．弧AC=弧BDC．AC＝CD＝DBD．CD∥AB
59．（2018·福建三明·统考一模）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是( )
A．AC＝CDB．OM＝BMC．∠A＝12∠BODD．∠A＝12∠ACD
题型17 利用弧、弦、圆心角关系求解
60．（2022·福建泉州·一模）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A．33B．32C．3D．32
61．（2022·江苏扬州·统考二模）将一张正方形的透明纸片ABCD和⊙O按如图位置叠放，顶点A、D在⊙O上，边AB、BC、CD分别与⊙O相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A．AD=AEB．AD=AF
C．AF=DGD．AF=DH
62．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
63．（2023·山东德州·统考三模）如图，在△ABC中，∠B=90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A=32°，则∠ADO=
64．（2022·上海静安·统考二模）如图，已知半圆直径AB=2，点C、D三等分半圆弧，那么△CBD的面积为 ．
题型18 利用弧、弦、圆心角关系求最值
65．（2022·山东枣庄·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．2
66．（2022·安徽淮南·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．
67．（2022·山东济南·统考二模）如图，在边长为6的等边ΔABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE=CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为 ．
题型19 利用弧、弦、圆心角关系证明
68．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，已知在⊙O中， AB＝BC＝CD，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
69．（2023·贵州黔南·统考一模）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点．
(1)求证：AB平分∠OAC；
(2)延长OA至P，使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
70．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AB=CD．
(1)求证：BE=DE；
(2)如果⊙O的半径为5，AD⊥CB,DE=1，求AE的长．
71．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD=AE，连接BE．
(1)求∠AEB的度数；
(2)连接CE，求证：2BE2+AE2=CE2．
题型20 利用圆周角定理求解
72．（2023·山东泰安·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C= °．
73．（2022·山西晋中·统考一模）如图，在⊙O中，OA=3，∠C=45°，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
74．（2023·宁夏银川·校考一模）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs∠ACB的值是 ．
75．（2022·江西·校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝13，求tan∠CDA的值．
题型21 利用圆周角定理推论求解
76．（2023·江苏苏州·星海实验中学校考二模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB=CD，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．
77．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
78．（2023·山东济宁·统考一模）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
79．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连接AD．
(1)求证：BD=CD；
(2)若⊙O与AC相切，求∠B的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
题型22 已知圆内接四边形求角度
80．（2021·重庆南岸·统考一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70°B．110°C．130°D．140°
81．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为( )
A．128°B．64°C．32°D．116°
82．（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，则图中与∠EAD相等的角(不包括∠EAD)是 ．
题型23 利用圆的有关性质求值
83．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，AC=12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（ ）
A．6.4B．7C．7.2D．8
84．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．
(1)若∠ABC=20°，则∠BCE= ；
(2)若BE=BD，则tan∠ABC= ．
85．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为线段AB上一动点，CF⊥CE交△ACE的外接圆于点F，连接AF，其中AC=3，BC=4．
(1)求证△CFA∽△CEB；
(2)当E从B运动到A时，F运动路径的长为______．
题型24 利用圆的有关性质证明
86．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD=CD，过D作DE⊥BC交BC延长线于点E
(1)若AB为直径，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若AB不是⊙O的直径，如图2，DE交⊙O于点F，连接BF
①求证：CDBF=CEEF；
②若AB=BC+EF，求sin∠ABD的值．
87．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点P是射线AB上的一动点（不与点A，B重合），过点P作⊙O的割线交⊙O于点C，D，BH⊥CD于H，连接BC，BD．
(1)①在图1的情形下，证明：BC⋅BD=AB⋅BH；
②当点P处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；
(2)若⊙O的半径为3，当∠APC=30°且BC⋅BD=6时，求AP的长．
88．（2022·山西大同·校联考三模）阅读与思考：阿基米德（公元前287年－公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，留给后人的最有价值的书是《阿基米德全集》．在该书的“引理集”中有这样一道题：
如图1，以AB为直径作半圆O，弦AC是一个内接正五边形的一条边（即：∠AOC=72°），点D是AC的中点，连接CD并延长与直径BA的延长线交于点E，连接AC,DB交于点F，过点F作FM⊥AB于点M．求证：ME是半圆的半径．
下面是勤奋小组的部分证明过程：
证明：如图2，过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠AOC=72∘,AC=AC，
∴∠ABC=12∠AOC=36°．（依据1）
∵点D是AC的中点，
∴AD=DC．
∵∠AOC=72°，
∴∠AOD=∠COD=36°．
∴∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠DCA=12∠ABC=18°．（依据2）
∵以AB为直径作半圆O，
∴∠ACB=∠ADB=90°．（依据3）
∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=108°．
∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，
∴∠BAD=180°−∠DCB=72°,∠ADC+∠ABC=180°．（依据4）
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ADE=∠ABC=36°．
∵FM⊥AB于点M，
∴FM=FC,∠FMB=∠ACB=90°．
∵BF=BF，
∴△BCF≌△BMF(HL)．
∵BC=BM．
∵BC=BM,∠ABD=∠CBD,BD=BD．
∴△BCD≌△BMD(SAS)．
∴DC=DM．
……
通过上面的阅读，完成下列任务：
(1)任务一：直接写出依据1，依据2，依据3和依据4；
(2)任务二：根据勤奋小组的解答过程完成该题的证明过程．（提示：先求出∠A的度数，再根据等腰三角形的性质或判定完成该题的证明过程）
题型25 利用圆的有关性质解决翻折问题
89．（2022·黑龙江大庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB于点D．再将BD沿AB翻折交BC于点E．若BE=DE，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°<α<22.3°B．22.3°<α<22.7°
C．22.7°<α<23.1°D．23.1°<α<23.5°
90．（2023·福建泉州·统考一模）如图，AB、AC是⊙O的弦（不是直径），将AB沿AB翻折交AC于点D．若AB=AC，AD=BD，则ADCD＝ ．
91．（2023·安徽淮南·校联考一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
(1)如图①，将AC沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为 ；
(2)如图②，将BC沿弦BC翻折，交AB于D，把BD沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的BD的中点，则∠B的度数为 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．
题型26 利用圆的有关性质解决多结论问题
92．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的延长线交于点P，已知PD=12AB，下列结论：①若CD⏜=AD⏜+BC⏜，则AB=2CD；②若∠B=60°，则∠P=20°；③若∠P=30°，则PAPD=3−1；④ADBC的值可能等于13．其中正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
93．（2022·福建莆田·统考一模）如图，在半径为5的⊙O中，弦AC=8，B为AC上一动点，将△ABC沿弦AC翻折至△ADC，延长CD交⊙O于点E，F为DE的中点，连接AE，OF．现给出以下结论：
①AE=AB；②AD=AE；③∠ADC=2∠AED；④OF的最小值为1，
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
94．（2020·湖南岳阳·校考二模）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①∠MAN=90°；②AM=BM；③∠ACM+∠ANM=∠MOB；④AE=12MF．其中正确结论的序号是 ．
题型27 圆有关的常见辅助线-遇到弦时, 常添加弦心距
95．（2022·贵州铜仁·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=32，则⊙O的半径为 ．
96．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为 ．
题型28 圆有关的常见辅助线-遇到有直径时, 常添加（画）直径所对的圆周角
97．（2022·江苏常州·常州市第二十四中学校联考一模）图，点A1,2、点B都在反比例函数y=kxx>0的图象上，当以OB为直径的圆经过A点，点B的坐标为 ．
98．（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则⊙O的直径等于 ．
99．（2018·湖南张家界·校联考一模）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD= °．
一、单选题
1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
2．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形B．只有乙是扇形C．只有丙是扇形D．只有乙、丙是扇形
3．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．AB是⊙O的一部分，D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于点C，连接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，则⊙O的半径OA为（ ）
A．13cmB．16cmC．17cmD．26cm
4．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分别为D,E,F，连接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）
A．8B．4C．3.5D．3
5．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m，则AC的长为（ ）
A．300πmB．200πmC．150πmD．1003πm
6．（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（ ）
A．20°B．40°C．50°D．80°
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在⊙O中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，则∠BAC=（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15°B．17.5°C．20°D．25°
9．（2023·西藏·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
10．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD=∠CAD；②若∠BAC=60°，则∠BEC=120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD=90°；④BD=DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+3．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
二、填空题
12．（2023·黑龙江·统考中考真题）在Rt△ACB中，∠BAC=30°,CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF,CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是 ．
13．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，点C为BD的中点，以点C为切点的切线与AB的延长线交于点E．
（1）若∠A=30°,AB=6，则BD的长是 （结果保留π）；
（2）若CFAF=13，则CEAE= ．
14．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E,AC=2BD．连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB=68°，则∠DEB= °．
15．（2023·江苏·统考中考真题）如图，AD是⊙O的直径，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，则⊙O的直径AD= ．
16．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．
17．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC=12,BC=5，则MD的长是 ．
18．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE=70°，则∠AOC= 度．
三、解答题
19．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径．
(1)如图1，连接OA,CA，若OA⊥BD，求证；CA平分∠BCD；
(2)如图2，E为⊙O内一点，满足AE⊥BC,CE⊥AB，若BD=33，AE=3，求弦BC的长．
20．（2023·天津·统考中考真题）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．
(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．
21．（2023·河北·统考中考真题）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．
22．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F．若AC=AD，BF=2，求此圆半径的长．
23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC．
(1)求证：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4,BC=5，求⊙O的半径．
24．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．
初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是_________，MN与AC的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．
（1）求∠BCF的度数；
（2）求CD的长．
深入探究：（3）若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．
25．（2022·山东泰安·统考中考真题）问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A=60°，AB=AC，如图，试证明BC=CD+BE；
②将①中的条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如图，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
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