最新中考几何专项复习专题08 全等模型巩固练习（提优）

这是一份最新中考几何专项复习专题08 全等模型巩固练习（提优），文件包含中考几何专项复习专题08全等模型巩固练习提优学生版docx、中考几何专项复习专题08全等模型巩固练习提优教师版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
全等模型巩固练习
1．如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t(s)后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．
(1)证明△ACD≌△CBE；
(2)小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．
【解答】(1)见解析；(2)∠BFC无变化
【解析】(1)证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，
∴t(s)后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，
AD=CE∠A=∠ACBAC=CB，
∴△ACD≌△CBE(SAS)；
(2)∵△ACD≌△CBE，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化．
2．如图，为了测量出池塘两端A、B之间的距离，先在地面上取一点C，使∠ACB＝90°，然后延长BC至D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到A，B两点之间的距离，你能说明其中的道理吗？
【解答】见解析
【解析】能，
理由是：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
在△ACD和△ACB中，
AC=AC∠ACD=∠ACBBC=DC，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴AB＝AD．
3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(2，2)．
(Ⅰ)若点B(4，2)，C(3，5)，请判断△ABC的形状，并说明理由；
(Ⅱ)已知点M(m，0)，N(0，n)(n＜0)，若∠MAN＝90°，且mn=−157，求m2+n2的值．
【解答】(Ⅰ)△ABC的等腰三角形；(2)1427
【解析】(Ⅰ)如图1中，
观察图形可知CA＝CB，
∴△ABC的等腰三角形．
(Ⅱ)如图2中，作AD⊥y轴于D，AE⊥OM于E．
∵A(2，2)，
∴AD＝AE，四边形ADOE是正方形，
∵∠DAE＝∠MAN＝90°，
∴∠DAN＝∠MAE，
∵∠ADN＝∠MEA＝90°，
∴△ADN≌△AEM(ASA)，
∴DN＝EM，
∴2﹣n＝m﹣2，
∴m+n＝4，
∴m2+2mn+n2＝16，
∵mn=−157，
∴m2+n2＝16+307=1427．
4．如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．
【解答】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)所画示意图如下：
(2)在△ABC和△DEC中，∠D=∠ADC=AC∠DCE=∠ACB，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE，
又∵小刚共走了100步，其中AD走了40步，
∴走完DE用了60步，
步大约50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米．
答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米．
5．【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【解答】见解析
【解析】初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
BE=DG∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△GAF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+(90°﹣70°)＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF=12∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝(90°﹣30°)+(70°+50°)＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×(60+80)＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
6．如图：小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB与AD，使他们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．试利用全等知识，说明角平分仪的画图原理．
【解答】见解析
【解析】∵在△ABC和△ADC中AB=ADCB=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE平分∠PRQ．
7．如图，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度行驶最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？
【解答】见解析
【解析】CE∥DF，
理由：由题意得，∠A＝∠B＝90°，
在Rt△AEC与Rt△BFD中，CE=DFAC=BD，
∴Rt△AEC≌Rt△BFD，
∴∠AEC＝∠BFD，
∴CE∥DF．
8．如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
(1)当他在甲房间时，测得MA＝a，NB＝b，求甲房间的宽AB；
(2)当他在乙房间时，测得MA＝c，NB＝d，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°
①求∠MPN的度数；
②求乙房间的宽AB．
【解答】(1)a+b；(2)①60°；②c
【解析】(1)∵∠MPN＝180°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
∠AMP=∠BPN∠MAP=∠PBN=90°MP=PN，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，
∴AB＝PA+PB＝a+b；
(2)①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；
②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB＝x，且AB＝ND＝x．
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形(180﹣45﹣75＝60°，梯子长度相同)，∠MND＝15°．
∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°．
∴cs15°=xMN=MAMP．
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM．
∴x＝MA＝c．
即乙房间的宽AB是c．
9．(1)如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
(2)请模仿正方形情景下构造全等三角形的思路，利用构造全等三角形完成下题：如图2，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．
【解答】(1)CD＝BE；(2)1003米
【解析】(1)CD＝BE．
理由：如图①∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴CD＝BE；
(2)如图②，在AB的外侧作AD⊥AB，使AD＝AB，连结CD，BD，
∴∠DAB＝90°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°．
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD+∠ABC＝45°+45°＝90°，
即∠DBC＝90°．
∴∠CAE＝90°，
∴∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE．
在△ADC和△ABE中
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴CD＝BE．
∵AB＝100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得
BD＝1002．
∴CD=1002+(1002)2=1003，
∴BE＝CD＝1003，
答：BE的长为1003米．
10．如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过7分钟后，它们分别爬行到D、E处，设DC与BE的交点为点F．
(1)求证：△ACD≌△CBE；
(2)蜗牛在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请证明你的结论．
【解答】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)证明：∵AB＝BC＝CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE＝AD；∠A＝∠BCE＝60°，
在△ACD与△CBE中，
AC=CB∠A=∠BCECE=AD，
∴△ACD≌△CBE(SAS)；
(2)DC和BE所成的∠BFC的大小不变．
理由如下：∵△ACD≌△CBE，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCD＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD＝120°．
11．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【解答】20m
【解析】∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，
∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD＝OB，
在△ABO与△CDO中，
∠ABO=∠CDOOB=OD∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴CD＝AB＝20(m)．
12．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上(如图①)，再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合(如图②)
(1)根据以上操作和发现，求CDAD的值；
(2)将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．(不需说明理由)
【解答】(1)CDAD=2；(2)①见解析；②见解析
【解析】(1)由图①，可得∠BCE=12∠BCD＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BCEC=cs45°=22，即CE=2BC，
由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，
∴CD=2AD，
∴CDAD=2；
(2)①设AD＝BC＝a，则AB＝CD=2a，BE＝a，
∴AE＝(2−1)a，
如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，
∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，
∴∠AEH＝45°＝∠AHE，
∴AH＝AE＝(2−1)a，
设AP＝x，则BP=2a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，
∴AH2+AP2＝BP2+BC2，
即[(2−1)a]2+x2＝(2a﹣x)2+a2，
解得x＝a，即AP＝BC，
又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，
∴Rt△APH≌Rt△BCP(HL)，
∴∠APH＝∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠APH+∠BPC＝90°，
∴∠CPH＝90°；
②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，
故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；
折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，
由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，
又∵∠DCH＝∠ECH，
∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，
故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．