最新中考几何专项复习专题11 弦图模型巩固练习（提优）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
弦图模型巩固练习
1．在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将平行四边形ABCD的四边DA、AB、BC、CD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE．求证：四边形EFGH为平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，根据平角的定义得到∠HCG＝∠EAF，根据启动建设性的性质得到EF＝CH，同理EH＝GF，于是得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BCD＝∠BAD，
∵∠HCG＝180°﹣∠BCD，∠EAF＝180°﹣∠BAD，
∴∠HCG＝∠EAF，
∵BF＝DH，
∴AF＝CH，
∴△HCG≌△FAE(SAS)，
∴EF＝GH，
同理EH＝GF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
2．勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
(1)请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．
(2)以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a+b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理．
(3)利用图2中的直角梯形中线段BC与AD的大小关系，可以证明a+bc＜2．请完成其证明．
【分析】(1)根据勾股定理即可求解；
(2)利用S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行证明即可；
(3)在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=2c，从而可证a+bc＜2．
【解答】解：(1)如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
(2)∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB＝∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，
∴12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，
整理，得a2+b2＝c2．
(3)∵AD=2c，BC＜AD，
∴a+b＜2c，即a+bc＜2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识．
3．(1)我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×12ab+(b﹣a)2，
∴4×12ab+(b﹣a)2＝c2．
∴ a2+b2＝c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
(2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
(3)如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2+b2＝c2．
【分析】(1)化简可得结论；
(2)根据四个全等的直角三角形的面积+中间小正方形的面积＝大正方形的面积，即可证明；
(3)如图3，作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论．
【解答】证明：(1)∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×12ab+(b﹣a)2，
∴4×12ab+(b﹣a)2＝c2．
∴2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：a2+b2＝c2；
(2)证明：由图得，大正方形面积=12×ab×4+c2＝(a+b)×(a+b)，
整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，
即a2+b2＝c2；
(3)如图3，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△CDE(AAS)，
∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，
S矩形ABDF＝b(a+b)＝2×12ab+12c2+12(a+b)(b−a)，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，矩形和正方形的面积，三角形的面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
4．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
(2)小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形(如图3)，利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．(3)如图4，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
【分析】(1)根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积＝大正方形的面积，代入数值，即可证明；
(2)由(1)中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；
(3)先根据高的定义画出BD，由(1)中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．
【解答】(1)证明：由图得，12×ab×4+c2＝(a+b)×(a+b)，
整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，
即a2+b2＝c2；
(2)解：∵a＝3，b＝4，
∴c=a2+b2=5，
梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c＝4×3+2×5＝22；
(3)解：如图，BD是△ABC的高．
∵S△ABC=12AC•BD=12AB×3，AC=42+32=5，
∴BD=3ABAC=3×35=95．
【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，梯形的周长，三角形的高与面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
5．(1)问题情境：
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，借助“数形关系”利用面积法进行证明，而以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”也颇为神奇，证明不需用任何数学符号和文字，整个证明单靠移动几块图形而得出．
如图1和2，将4个全等的直角三角形拼成边长为(a+b)的正方形，使中间留下一个边长为c的空白正方形，画出边长为(a+b)的正方形，再移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a和b的两个空白正方形．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，即 c2＝a2+b2 ；
(2)尝试证明：实际上只需图2的“一半”即可用“数形关系”和面积法证明，美国总统伽菲尔德在1876年利用图3证明了勾股定理，请你来试一试，借助图3完成证明：
(3)问题拓展：已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，斜边为c，求证：a+bc≤2．
【分析】(1)结合图形可知得到c2＝a2+b2；
(2)可以利用梯形减去两个黑色直角三角形的面积，整理可得到c2＝a2+b2，可证得结论；
(3)可把不等式两边平方，再结合勾股定理可证得．
【解答】(1)解：在图1中，白色部分为边为c的正方形，其面积为c2，
在图2中，白色部分为边长分别为a和b的两个正方形，其面积和为a2+b2，
而a、b、c是直角三角形的三边，所以有c2＝a2+b2，
故答案为：c2＝a2+b2；
(2)证明：∵S白三角形＝S梯形﹣2S黑三角形，
∴12c2=12(a+b)(a+b)﹣2×12ab，
即c2＝a2+b2；
(3)证明：∵0≤(a﹣b)2，
∴2ab≤a2+b2，
∴a2+b2+2ab≤2(a2+b2)，
∵a2+b2＝c2，
∴(a+b)2≤2c2，
∴(a+bc)2≤2，
∴a+bc≤2．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用．
6．综合与实践
正方形内“奇妙点”及性质探究：
定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作AC，与半圆O交于点P我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．
性质探究：如图2，连接DP并延长交AB于点E，则DE为半圆O的切线．
证明：连接OP，OD．
由作图可知，DP＝DC，OP＝OC，
又∵OD＝OD．∴△OPD≌△OCD．(SSS)∴∠OPD＝∠OCD＝90°∴DE是半圆O的切线．
问题解决：
(1)如图3，在图2的基础上，连接OE．请判断∠BOE和∠CDO的数量关系，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，请直接写出线段DE，BE，CD之间的数量关系；
(3)如图4，已知点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，点O为BC的中点，连接DP并延长交AB于点E，连接CP并延长交AB于点F，请写出BE和AB的数量关系，并说明理由；
(4)如图5，已知点E，F，G，H为正方形ABCD的四个“奇妙点”连接AG，BH，CE，DF，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写岀一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．
【分析】(1)根据全等三角形的性质得到∠OPD＝∠OCD＝90°，∠POD＝∠COD，∠CDO=∠PDO=12∠PDC，于是得到∠BOP＝∠PDC，根据全等三角形的性质得到∠POE=∠BOE=12∠BOP．于是得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到PD＝DC，PE＝BE，根据线段的和差即可得到结论；
(3)如图4，连接OE，OD，根据三角函数的定义得到BEBO=OCDC=12，于是得到BE=12BO=12×12BC=14BC，根据正方形的性质即可得到结论；
(4)答案不唯一，根据图形即可得到结论．
【解答】解：(1)∠BOE＝∠CDO，
理由如下：∵PD＝DC，OD＝OD，OP＝OC，
∴△OPD≌△OCD(SSS)，
∴∠OPD＝∠OCD＝90°，∠POD＝∠COD，∠CDO=∠PDO=12∠PDC，
∴∠POC+∠PDC＝360°﹣∠OPD﹣∠OCD＝180°，
∴∠POC+∠BOP＝180°，
∴∠BOP＝∠PDC，
在Rt△POE和Rt△BOE中，
∵OE＝OE，OP＝OB，
∴△POE≌△BOE(HL)，
∴∠POE=∠BOE=12∠BOP．
∵∠CDO=∠PDO=12∠PDC，
∴∠BOE＝∠CDO；
(2)线段DE，BE，CD之间的数量关系是DE＝BE+CD，
理由：由(1)知，△OPD≌△OCD，△POE≌△BOE，
∴PD＝DC，PE＝BE，
∵DE＝PE+PD，
∴DE＝CD+BE；
(3)如图4，连接OE，OD，
由(1)可知，∠BOE＝∠CDO，
又∵∠B＝∠OCD＝90°，点O为BC的中点，
∴tan∠BOE＝tan∠CDO，
∴BEBO=OCDC=12，
∴BE=12BO=12×12BC=14BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BE=14AB；
(4)答案不唯一，
如图5，连接DE，
∵点E是正方形ABCD的“奇妙点”，
∴DE＝CD，
∵DF⊥CE，
∴EF＝CF，
∴EF=12CE，
∴设EF＝a，则CE＝2a，
∴△ABH的面积=12a×2a＝a2，正方形EFGH的面积＝a2，
∴△ABH的面积＝正方形EFGH的面积；同理正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的15等等．
【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
7．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ 403 ．
【分析】(1)通过图中小正方形面积证明勾股定理；
(2)可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
(3)根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解答】解：(1)S小正方形＝(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
(2)24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
(x+3)2+32＝(6﹣x)2，
解得x＝1，
12×(3+1)×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
(3)将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y=403，
∴S2＝x+4y=403．
故答案为：403．
【点评】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．(3)考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝40求出是解决问题的关键．