初中数学一轮复习【讲通练透】专题12 韦达定理及其应用（练透） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题12 韦达定理及其应用
一、单选题
1．（2021·全国）一元二次方程的两根，，则下列式子中正确的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
2．（2021·江苏九年级期末）下列一元二次方程有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2＋3＝0B．x2＋2x＋3＝0
C．（x＋1）2＝0D．（x＋3）（x﹣1）＝0
【答案】D
【分析】
分别计算各选项的判别式的符号，即可判断一元二次方程根的情况．
【详解】
解：A.、x2＋3＝0，，
∴该方程没有实数根，不符合题意；
B、x2＋2x＋3＝0，，
∴该方程没有实数根，不符合题意；
C、（x＋1）2＝0，即，，
∴该方程有两个相等实数根，不符合题意；
D、（x＋3）（x﹣1）＝0，即，，
∴该方程有两个不相等实数根，符合题意；
故选：D．
3．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
【答案】A
【分析】
先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】
解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
4．（2021·湖北九年级期中）若关于x的一元二次方程x2－x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．2021
【答案】A
【分析】
根据判别式的意义得到Δ=（-1）2-4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得Δ=（-1）2-4m＞0， 解得m＜．
故选A．
5．（2021·江苏）对于方程，下列叙述正确的是（ ）
A．不论c为何值，方程均有实数根
B．方程的根是
C．当时，方程可化为或
D．当时，
【答案】C
【分析】
根据题意，需要对进行分类讨论，分别求出每一种情况的答案，即可进行判断．
【详解】
解：当时，方程没有实数根；
当时，方程有实数根，则，解得，；
当时，解得．
故选：C．
6．（2020·武汉市第一初级中学九年级月考）如果a、b是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．B．C．D． ．
【答案】C
【分析】
根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系代入计算即可．
【详解】
∵a、b是方程的两个实数根
∴
∴
∴
故选C．
7．（2021·内蒙古九年级二模）设m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】A
【分析】
把代入可得到，再由根与系数的关系可得到，转化为，再分别代入和运算即可．
【详解】
已知一元二次方程，则．
由根与系数的关系，得．
因此．
故选A．
8．（2021·重庆市广益中学校九年级月考）方程2x2+3x-1=0的两根之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
据一元二次方程的根与系数的关系即可判断．
【详解】
根据一元二次方程的根与系数的关系可得：两个根的和是：．
故选A．
9．（2021·河北九年级期末）若x1，x2是一元二次方程的两根，则x1+x2的值是（ ）
A．－3B．－4
C．3D．4
【答案】C
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系即可求出两根之和．
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，且a＝1，b＝﹣3，
∴x1+x2＝＝3．
故选：C．
10．（2021·苏州吴中区木渎实验中学九年级月考）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根B．有两个负的实数根C．两根的符号相反D．方程没有实数根
【答案】C
【分析】
判断方程的根的情况，可由根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号判断根的存在，用x1+x2，x1•x2的符号判断两根的符号关系．
【详解】
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣5）＝49＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵x1•x2＝＜0，
∴方程两根的符号相反．
故选：C．
二、填空题
11．（2021·四川省内江市第六中学九年级三模）若，是方程是方程的两个实数根，则代数式的值等于___________．
【答案】2028
【分析】
根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入原式=计算可得．
【详解】
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，即，
则原式=
=
=
=
=．
故答案为：2028．
12．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）若一元二次方程x2+6x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围为____．
【答案】m≥﹣9
【分析】
根据判别式的意义得到Δ＝62﹣4×1×（﹣m）≥0，然后解关于m的不等式即可．
【详解】
解：根据题意得Δ＝62﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得m≥﹣9，
故答案为：m≥﹣9．
13．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级开学考试）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】k＞− 且k≠−1．
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k＋1≠0且Δ＝62−4（k＋1）•（−2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】
解：根据题意得k＋1≠0且Δ＝62−4（k＋1）•（−2）＞0，
解得k＞− 且k≠−1．
故答案是：k＞− 且k≠−1．
14．（2021·江苏南通田家炳中学九年级模拟预测）设，是一元二次方程的两个根，则________．
【答案】4
【分析】
由是一元二次方程的两个根，得出，再把变形为，即可求出答案．
【详解】
解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
15．（2021·新疆生产建设兵团第二师二二三团中学九年级期末）关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是______．
【答案】6
【分析】
设方程的另一个根是m，则利用根与系数的关系，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，设方程的另一个根是m，则
利用根与系数的关系有：
，
解得：，
∴方程的另一个根为6．
故答案为：6．
三、解答题
16．（2021·珠海市文园中学九年级三模）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）取，用配方法解这个一元二次方程．
【答案】（１）且；（２），．
【分析】
（1）根据有实数根，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②在有实数根的前提下必须满足；
（2）把代入，再解方程即可．
【详解】
解：（1）∵有实数根，
∴；
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的取值范围为且；
（2）把代入，得，
移项得：，
系数化为1得：，
配方得：，
解得：，
∴，．
17．（2021·全国九年级课时练习）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据题意可得一元二次方程有两个实数根，判别式，求解一元一次不等式即可；
（2）根据根与系数的关系，求得，，代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，
∴，解得；
（2）由根与系数的关系，可得，
∵，
∴，
∴，符合题意，
∴
18．（2021·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．
【答案】（1）-2；（2）2
【分析】
（1）根据判别式即可求出m的取值范围，进而得到答案；
（2）根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
解：（1）根据题意得，解得，
∴m的最小整数值为；
（2）根据题意得，
∵，
∴，
∴，整理得，解得，
∵，
∴m的值为2．
19．（2021·陕西交大附中分校）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为，若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）当时，一元二次方程有实数根，代入相关系数解题即可．
（2）将原式变形，利用根与系数的关系，代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根
∴
即：



解得：
（2）由
∵，
∴原式可变形为：
即：
∴


即： 或
解得：
由第一问知：
所以
20．（2021·河南九年级期中）已知关于的方程．
（1）若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；
（2）试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根．
【答案】（1），方程的另一根为；（2）见解析．
【分析】
（1）把已知的根代入方程中，得关于k的方程，解方程即可求得k的值，再由根与系数的关系即可求得另一个根；
（2）求出关于x的方程的判别式，根据判别式的符号即可判断．
【详解】
（1）把代入方程有：，
解得．
故方程为，
设方程的另一个根是，则：，
解得．
故，方程的另一根为；
（2）关于的方程中，a=1，b=2(2－k)，c=3－6k，
，
无论取什么实数值，此方程总有实数根．
21．（2021·四川九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2，且a+3b＝2．
（1）求b的最大值；
（2）若x12＝x22，求a的值．
【答案】（1）；（2）﹣
【分析】
（1）根据根的判别式得到Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2≥0，然后解不等式可得到a≥﹣，再根据a+3b＝2可得b的最大值；
（2）由x12＝x22可得到x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，讨论：当x1+x2＝0，根据根与系数的关系得到2a+1＝0，解得a＝﹣，不满足（1）中a的取值范围，舍去；当x1﹣x2＝0，根据根的判别式得到Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝0，解得a＝﹣．
【详解】
解：（1）根据题意得Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2≥0，
∴4a+1≥0，
∴a≥﹣，
∵a+3b＝2，
∴b＝（2﹣a）≤．
故b的最大值是；
（2）∵x12＝x22，
∴x1+x2＝0或x1﹣x2＝0，
当x1+x2＝0，则2a+1＝0，解得a＝﹣，不满足（1）中a的取值范围，舍去；
当x1﹣x2＝0，则Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝0，解得a＝﹣．
故a的值是﹣．
22．（2021·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设是这个方程的两个实数根，是否存在m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析
【分析】
（1）根据计算即可；
（2）设是这个方程的两个实数根，根据根与系数的关系和根的判别式计算即可；
（3）根据根与系数的关系判断即可；
【详解】
解：（1）方程有两个不相等的实数根时，，解得；
（2）∵设是这个方程的两个实数根，则，，
∴，解得，
又∵方程有两个实根，
∴，
解得，
∴；
（3）不存在，理由：∵，，
∴，
整理，得，解得．
又由（2）可知，m的值不存在．
23．（2021·全国九年级课前预习）不解方程，判别关于x的方程的根的情况．
【答案】方程有两个实数根．
【详解】
：，
，
，
，即，
方程有两个实数根．