初中数学一轮复习【讲通练透】专题11 一元二次方程及其应用（讲通） （全国通用）

这是一份初中数学一轮复习【讲通练透】专题11 一元二次方程及其应用（讲通） （全国通用），文件包含专题11一元二次方程及其应用讲通-讲通练透2022初中数学一轮全国通用教师版doc、专题11一元二次方程及其应用讲通-讲通练透2022初中数学一轮全国通用学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题11 一元二次方程及其应用
1、理解配方法
2、会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
它的一般形式为(a≠0)．
例1．下列是一元二次方程的有（ ）个．
①；②；③；④．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．进而可以判断．
【详解】
解：①，是一元二次方程；
②，是一元二次方程；
③，整理得，是一元一次方程，不是一元一次方程；
④，不是整式方程，不是一元二次方程；
综上，是一元二次方程的是①②，共2个，
故选：B．
二、一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．
（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．
（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．
（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．
注意：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．
例2．关于的一元二次方程的根是（ ）
A．B．，
C．D．
【答案】B
【分析】
利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：∵x2=1，
∴x1=1，x2=-1，
故选：B．
三、一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为．
△>0方程有两个不相等的实数根；
△＝0方程有两个相等的实数根；
△<0方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
注意： △≥0方程有实数根.
例3．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【分析】
计算出一元二次方程根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况．
【详解】
∵a=1，b=－3，c=－1
∴
∴一元二次方程有两个不相等的实数根
故选：B.
四、一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．
例4．方程2－5＋＝0没有实数根，则的取值范围是（ ）
A．＞B．＜C．≤D．≥
【答案】A
【分析】
利用判别式的意义得到△＝（-5）2﹣4×2m<0，然后解关于m的不等式即可．
【详解】
解：∵方程2－5＋＝0没有实数根，
∴△＝（-5）2﹣4×2m<0，
解得m>．
故选：A．
1．（2021·福建省福州杨桥中学九年级开学考试）方程的根是（ ）
A．5B．-5，5C．0，-5D．0，5
【答案】D
【分析】
利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵x（x－5）＝0
∴x＝0或x－5＝0，
∴，．
故选D．
2．（2021·福建省福州延安中学九年级开学考试）若是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于b的方程即可．
【详解】
解：把x=0代入得b2-4=0，
解得b=±2，
∵b-1≥0，
∴b≥1，
∴b=2．
故选：A．
3．（2021·云南师范大学实验中学九年级期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设AB长为xm，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米=（22-3x）米，
依题意，得：x（22-3x）=40，
故选A．
4．（2021·蒙城县第六中学九年级开学考试）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．
【详解】
解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，
∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，
即2019年我国快递业务收入为7500亿元，
∴可列方程：，
故选：C．
5．（2021·厦门海沧实验中学九年级开学考试）判断关于的方程（是常数，）的根的情况（ ）
A．存在一个，使得方程只有一个实数根B．无实数根
C．一定有两个不相等的实数根D．一定有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】
当k=0时，可求出方程的根；k≠0时，利用，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0即可判断原方程有实数根．
【详解】
解：∵k＜1，
∴当k=0时，原方程为-x+1=0，
解得：x=1；
当k≠0时，Δ=[-（k+1）]2-4k=（k-1）2＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．（2021·厦门海沧实验中学九年级开学考试）为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，某市今年第一季度进行宣传准备工作，从第二季度开始到今年年底全市全面实现垃圾分类．已知该市一共有285个社区，第二季度已有60个社区实现垃圾分类，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，根据年底全市共285个社区实现垃圾分类，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度平均增长率均为x，则第三季度有60（1+x）个社区实现垃圾分类，第四季度有60（1+x）2个社区实现垃圾分类，
依题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2=285．
故选：D．
7．（2021·深圳市新华中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程没有实数根，即实数c的取值范围是________．
【答案】
【分析】
根据题意可知，判别式，求解即可．
【详解】
解：∵方程没有实数根，
∴，
解得
故答案为
8．（2021·全国九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
【答案】且
【分析】
根据一元二次方程的定义，以及根的判别式确定的取值范围即可．
【详解】
根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
9．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）解下列方程：
（1）2x2+7x+3=0（用配方法）．
（2）5（x+3）2=x2﹣9．
【答案】（1）；（2）x1=−3，x2=−．
【分析】
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：；
（2）∵5(x+3)2=(x+3) (x-3)，
∴5(x+3)2-(x+3) (x-3)=0，
∴(x+3) [5(x+3)-(x-3)]=0，
即(x+3) (4x+18)=0，
∴x1=−3，x2=−．
10．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）某玩具商店以每件50元为成本购进一批新型玩具，以每件80元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件．
（1）若商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为多少元？
（2）若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？
【答案】（1）65元；（2）每件玩具的售价定为70元时，商店每天盈利最多，最多盈利为800元
【分析】
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出相应的方程，然后求解即可，注意又要使顾客得到更多的实惠，也就是售价越低越好；
（2）根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：（1）设每件玩具的售价为a元，
由题意可得，（a﹣50）[20＋2（80﹣a）]＝750，
解得a1＝65，a2＝75，
∵要使顾客得到更多的实惠，
∴a＝65，
答：商店打算每天盈利750元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件玩具的售价应定为65元；
（2）设每件玩具的售价定为x元，商店每天盈利为w元，
由题意可得，w＝（x﹣50）[20＋2（80﹣x）]＝﹣2（x﹣70）2＋800，
∵a＝﹣2，
∴该函数开口向下，有最大值，
∴当x＝70时，该函数取得最大值，此时w＝800，
答：商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为70元时，商店每天盈利最多，最多盈利为800元．