苏教版 (2019)必修 第一册第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.1 幂函数学案设计

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知识精讲
一、幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数．
二、幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
三、幂函数的性质
【思考1】如何判断一个函数是幂函数？
【思考2】通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
参考答案
一、y＝xα x a
三、[0，＋∞) {x|x≠0} [0，＋∞) {x|x≠0} 奇 非奇非偶 奇
1.xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数.
2. 第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
能力拓展
考法01 幂函数的概念
判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
例 1
(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
【跟踪训练】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝2，则________．
考法02 幂函数的图像与应用
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝或y＝x3来判断.
例 2
(1) 若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c
（2）点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)【跟踪训练】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
考法03 幂函数性质的综合应用
比较幂值大小的两种基本方法
例 3
比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）； （2）； （3）．
．
【跟踪训练】比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知点在幂函数图像上，则的表达式为（ ）
A．B．C．D．
2．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3B．3C．D．0
3．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（ ）．
A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数
C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数
D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同
4．下列命题中正确的是（ ）
A．当m=0时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的增函数
5．下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数D．在上是减函数
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．①B．②C．③D．④
8．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
题组B 能力提升练
1．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
2．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
3．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．
4．幂函数在区间上是减函数，则__________.
5．函数恒过定点______．
6．若函数是幂函数，则________．
7．已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
8．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
题组C 培优拔尖练
1．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为
2．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．
3．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________.
4．已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
5．已知幂函数，满足
（1）求函数的解析式．
（2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
6．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
课程标准
重难点
理解幂函数的概念；
掌握常见幂函数的图象和性质；
理解并掌握幂函数性质的综合应用．
1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式
2．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小
3．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R


值域
R
[0，＋∞)
R


奇偶性
奇
偶



单调性
增函数
x∈[0，＋∞)
时，增函数
x∈(－∞，0]
时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)
时，减函数
x∈(－∞，0)
时，减函数