2023-2024学年江苏省泰州市兴化市文正高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市兴化市文正高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）(含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知m=(3,−4)，则和m同向的单位向量是( )
A. (35,−45)B. (−35,45)C. (−45,35)D. (45,−35)
2.已知e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是( )
A. e1+e2和e1−2e2B. 2e1−e2和2e2−4e1
C. e1−2e2和e1D. e1+e2和2e2+e1
3.下列命题中正确的是( )
A. |a|=|b|⇒a=bB. |a|>|b|⇒a>b
C. a=b⇒a//bD. 单位向量都相等
4.如图所示，在三角形ABC中，BD=2DC，若AB=a，AC=b，则AD=( )
A. 13a+23bB. 23a+13bC. 23a−13bD. 23a−23b
5.已知单位向量a，b的夹角为60°，若(a+λb)⊥a，则λ=( )
A. −2B. −2 33C. 2 33D. 2
6.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，AN=λAB+μAC，则λ+μ的值为( )
A. 12B. 13C. 14D. 1
7.已知平面向量a，b，|a|=2，|b|=1，则|a−b|的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
8.在△ABC中，AC=3，AB=1，O是△ABC的外心，则BC⋅AO的值为( )
A. 8B. 6C. 4D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 模为0是一个向量方向不确定的充要条件
B. 若向量AB，CD满足|AB|=|CD|，AB与CD同向，则AB>CD
C. 若两个非零向量AB，CD满足AB+CD=0，则AB，CD互为相反向量
D. AB=CD的充要条件是A与C重合，B与D重合
10.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a+b|= 3，则下列结论中正确的是( )
A. b=2aB. a⋅b=−1C. a⊥(a−b)D. |a−b|= 7
11.已知平面向量a=(1,0),b=(1,2 3)，则下列说法正确的是( )
A. 向量a+b与a的夹角为130°B. (a+b)⋅a=2
C. |a+b|=4D. 向量a+b在a上的投影向量为2a
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在矩形ABCD中，其中AB=3，AD=1，AB上的点E满足AE+2BE=0，F为AD上任意一点，则EB⋅BF= ______．
13.在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过1h，该船的实际航程是______km．
14.已知直角梯形ABCD，A=90°，AB/​/CD，AD=DC=12AB=1，P是BC边上的一动点，则AP⋅PC的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
平面内给定三个向量a=(3,2)，b=(−1,2)，c=(4,1)．
(Ⅰ)求满足a=mb−nc的实数m，n；
(Ⅱ)若(a+kc)//(2b−a)，求实数k的值．
16.(本小题15分)
在直角坐标系中，O为坐标原点，OA=(3,1)，OB=(2,−1)，OC=(a,b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若AC=−3AB，求点C的坐标．
17.(本小题15分)
已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120°．
(1)求|3a−b|；
(2)若2a+b与a−kb相互垂直，求实数k的值．
18.(本小题17分)
已知e1，e2为单位向量．满足|3e1−e2|≤ 5．a=e1+2e2，b=e1+e2，向量a，b的夹角为θ．
(1)求e1⋅e2的取值范围；
(2)求cs2θ的最小值．
19.(本小题17分)
如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上．
(1)若点F是CD上靠近C的三等分点，设EF=λAB+μAD，求λ+μ的值．
(2)若AB= 3，BC=2，当AE·BF=1时，求DF的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由m=(3,−4)，得m同向的单位向量是1| m|⋅m=15×(3,−4)=(35,−45).
故选：A．
与m同向的单位向量为1| m|⋅m，计算即可．
本题考查了向量的坐标运算，考查单位向量的定义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵不共线的向量可以作为基底，
∴不能作为基底的便是共线向量，
显然B，∵2e1−e2=−12(2e2−4e1)，
∴2e1−e2与2e2−4e1共线．
故选：B．
如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．
本题考查向量基底的概念，以及共面向量基本定理．
3.【答案】C
【解析】解：A不正确，两个向量的模相等，但它们的方向不一定相同，故这2个向量不一定相等．
B不正确，两个向量的模可以比较大小，但两个向量不相等时是不可以比较大小的，向量还有方向．
C正确，当两个向量相等时，这两个向量一定是共线向量．
D不正确，因为单位向量的模都相等但它们的方向不一定相同．
故选：C．
研究向量时，不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向，相等的向量都是共线的．
本题考查构成向量的2个要素：大小和方向，二者缺一不可；两个向量不相等时，是不能比较大小的．
4.【答案】A
【解析】解：如图，根据条件：
AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC=13a+23b．
故选：A．
根据向量加法、减法及数乘的几何意义，便有AD=AB+23(AC−AB)，化简并把AB,AC分别换上a,b，便可得到答案．
向量加法、减法，以及数乘的几何意义，向量的加法及数乘运算．
5.【答案】A
【解析】解：∵单位向量a，b的夹角为60°，
∴|a|=|b|=1，a⋅b=|a| |b|csθ=12，
∵(a+λb)⊥a，
∴(a+λb)⋅a=a2+λa⋅b=0，即1+λ2=0，解得λ=−2．
故选：A．
根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的数量积公式，以及向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的基本定理，考查向量的加、减法运算，属于中档题．
设BM=tBC，将向量AN用向量AB、AC表示出来，即可找到λ和μ的关系．
【解答】
解：设BM=tBC，
则AN=12AM=12(AB+BM)=12AB+12BM=12AB+12·tBC=12AB+t2(AC−AB)
=(12−t2)AB+t2AC，
由AN=λAB+μAC，∴λ=12−t2，μ=t2，
∴λ+μ=12．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】解：设平面向量a，b的夹角为θ
平面向量a，b，|a|=2，|b|=1，则|a−b|2=|a|2+|b|2−2|a|⋅|b|csθ=4+1−4csθ≤9，
∴|a−b|≤3
故|a−b|的最大值为3，
故选：C．
设平面向量a，b的夹角为θ，根据向量的数量积公式即可求出．
本题考查的向量的数量积和向量的模，以及三角函数的性质，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，
根据圆的性质可得D，E分别为AB，AC的中点，
AO⋅BC=AO⋅(AC−AB)=AO⋅AC−AO⋅AB=|AO||AC|cs∠CAO−|AO||AB|cs∠BAO
=|AC|⋅12|AC|−|AB|⋅12|AB|=12(|AC|2−|AB|2)=12(32−12)=4．
故选：C．
根据圆的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质进行求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，因为模长为0的向量方向是不确定的，所以充分性成立，
因为一个方向不确定的向量的模长为0，所以必要性成立，故A正确，
对于B，AB>CD表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比较大小，故B错误，
对于C，由AB+CD=0可得AB=−CD，即AB与CD模长相等，方向相反，所以AB，CD互为相反向量，故C正确，
对于D，由于向量可以平行移动，所以由AB=CD不一定能得到A与C重合，B与D重合，故D错误，
故选：AC．
根据向量的定义及其有关概念，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了向量的定义及其有关概念，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：|a+b|2=3，∴a2+2a⋅b+b2=3，∴1+2a⋅b+4=3，
∴a⋅b=−1，故B正确；
∴cs=a⋅b|a|⋅|b|=−11×2=−12，∴a与b夹角为2π3，a与b不共线，故A错误；
∴a(a−b)=a2−a⋅b=2，故C错误；
∴|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=7，∴|a−b|= 7，故D正确．
故选：BD．
利用向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为a=(1,0),b=(1,2 3)，所以a+b=(2,2 3)，
对于B，(a+b)⋅a=1×2+0×2 3=2，故B正确；
对于C，|a+b|= 22+(2 3)2=4，故C正确；
对于A，因为cs=(a+b)⋅a|a+b|⋅|a|=24×1=12，
所以向量 a+b与a的夹角为60°，故A错误；
对于D，向量 a+b在a上的投影向量为(a+b)⋅a|a|⋅a=2a，故D正确．
故选：BCD．
根据平面向量的坐标运算公式，逐项计算即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，投影向量等，属于中档题．
12.【答案】−3
【解析】解：在矩形ABCD中，其中AB=3，AD=1，AB上的点E满足AE+2BE=0，E是AB的一个3等分点，F为AD上任意一点，
所以EB⋅BF=|EB||BF|cs(π−∠EBF)=−|EB||AB|=−3．
故答案为：−3．
画出图形，利用向量的数量积转化求解即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
13.【答案】3 35
【解析】解：如图，AB是水流方向，AC是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，
因此AD是船在静水中的航行方向，
|vAD|=20m/min，|vAB|=10m/min，则∠DAC=30°，
|vAC|=20×cs30°=10 3m/min，
故该船1h行驶的航程为10 3×60=600 3m=3 35km．
故答案为：3 35．
根据向量加法的三角形法则作出示意图，在三角形中进行计算即可．
本题考查向量加法的实际应用，属基础题．
14.【答案】[−2,0]
【解析】解：在直角梯形ABCD，A=90°，AB/​/CD，AD=DC=12AB=1，
则B=45°，BC= 2，AB⋅BC=2× 2×(− 22)=−2，
设BP=λBC，(0≤λ≤1)，
则AP⋅PC=(AB+BP)⋅(BC−BP)=(1−λ)BC⋅(AB+λBC)=(1−λ)λBC2+(1−λ)AB⋅BC=−2(λ−1)2，
又0≤λ≤1，
则AP⋅PC∈[−2,0]，
则AP⋅PC的取值范围为[−2,0]，
故答案为：[−2,0]．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
15.【答案】解：(Ⅰ)(3，2)=a=mb−nc=m×(−1，2)−n×(4，1)=(−m−4n，2m−n)．
∴−m−4n=32m−n=2，解得m=59，n=−89．
(Ⅱ)a+kc=(3，2)+k×(4，1)=(3+4k，2+k)，
2b−a=2×(−1,2)−(3,2)=(−5,2)，
∵(a+kc)//(2b−a)，
∴−5(2+k)−2(3+4k)=0，解得k=−1613．
【解析】本题考查了向量坐标运算性质、向量相等、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)利用向量坐标运算性质、向量相等即可得出．
(2)利用向量共线定理即可得出．
16.【答案】解：(1)在直角坐标系中，O为坐标原点，
OA=(3,1)，OB=(2,−1)，OC=(a,b)．
∴由题意知，AB=OB−OA=(−1,−2)，
AC=OC−OA=(a−3,b−1)．
∵A，B，C三点共线，
∴AB//AC，
∴−(b−1)−(−2)×(a−3)=0，
∴b=2a−5．
(2)∵AC=−3AB，
∴(a−3,b−1)=−3(−1,−2)=(3,6)，
∴a−3=3b−1=6，解得a=6b=7．
∴点C的坐标为(6,7)．
【解析】本题考查两实数的关系的判断，考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
(1)推导出AB=OB−OA=(−1,−2)，AC=OC−OA=(a−3,b−1).由A，B，C三点共线，得AB//AC，由此推导出b=2a−5．
(2)由AC=−3AB，得到(a−3,b−1)=−3(−1,−2)=(3,6)，由此能求出点C的坐标．
17.【答案】解：(1)∵|a|=1，|b|=2，且a与b的夹角为120°，
∴a⋅b=|a||b|cs120°=1×2×(−12)=−1，
∴|3a−b|= (3a−b)2= 9a2−6a⋅b+b2= 9+6+4= 19．
(2)∵2a+b与a−kb相互垂直，
∴(2a+b)⋅(a−kb)=2a2−2ka⋅b+a⋅b−kb2=0，
∵|a|=1，|b|=2，
∴2−(−1)×2k−1−4k=0，即−2k+1=0，解得k=12．
【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及向量模公式，即可求解．
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量模公式，向量垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵|3e1−e2|≤ 5，∴|3e1−e2|2≤5，∴9−6e1⋅e2+1≤5，∴e1⋅e2≥56，
∵e1⋅e2=|e1|⋅|e2|cs=cs∴e1⋅e2的取值范围为[56,1]．
(2)设e1与e2的夹角为α，则csα∈[56,1]，
∵a⋅b=(e1+2e2)⋅(e1+e2)=e12+3e1⋅e2+2e22=3+3e1⋅e2=3+3csα，
|a|2=(e1+2e2)2=5+4e1⋅e2=5+4csα，|b|2=(e1+e2)2=2+2e1⋅e2=2+2csα，
∴cs2θ=(a⋅b)2|a|2|b|2=(3+3csα)2(5+4csα)(2+2csα)=9(1+csα)10+8csα=98(1−15+4csα)，
∵函数y=15+4x在[56,1]为减函数，
∴cs2θ的最小值为98(1−15+4×56)=99100．
【解析】(1)利用平面向量数量积的性质及其运算即可求出e1⋅e2的范围．
(2)先求出a⋅b和|a|2，|b|2，进而求出cs2θ=98(1−15+4csα)，再利用单调性即可求解．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
19.【答案】解：(1)EF=AF−AE=AD+DF−(AB+BE)
=AD+23DC−(AB+12BC)
=AD+23AB−(AB+12AD)
=12AD−13AB，
又EF=λAB+μAD，
∴λ=−13，μ=12，∴λ+μ=16．
(2)以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系如图：AB= 3，BC=2，
则A(0,0)，B( 3,0)，E( 3,1)，
设F(x,2)，0≤x≤2，
∴AE=( 3,1)，BF=(x− 3,2)，
∵AE·BF=1，
∴ 3(x− 3)+2=1，
∴x=2 33，
∴|DF|=2 33．
【解析】本题考查向量的加减的几何意义和向量在几何中的应用，建立平面直角坐标系是解题的关键之一，考查计算能力．
(1)根据向量的加减的几何意义即可求出；
(2)建立平面直角坐标系，设F(x,2)，根据向量坐标的数量积求出x=2 33，即求出DF的长．