2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省泰州市兴化市高三（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合A={x||x−1|≤2,x∈N}，B={x|lnx≤0}，则A∩B的元素的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.欧拉公式：eiθ=csθ+isinθ将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数e3i在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边ABCDEFGH，其中|OA|=1给出下列结论，其中正确的结论为
( )
A. OA与OH的夹角为π3
B. OD+OF=OE
C. |OA−OC|= 22|DH|
D. OA在OD上的投影向量为 22e(其中e为与OD同向的单位向量)
4.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去二个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为( )
A. 26B. 28C. 30D. 32
5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12lg3O100，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高2m/s，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是( )
A. 3B. 9C. 27D. 81
6.已知函数f(x)=aex−lnx在(1,2)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. (1e,+∞)B. (12e2,+∞)C. [1e,+∞)D. [12e2,+∞)
7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A(x1, 2p)，B(x2,−2 2p)两点，则p=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.函数f(x)=2lnxx,x>0sin(ωx+π6),−π≤x≤0，若2f2(x)−3f(x)+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为( )
A. (103,4]B. [103,4)C. (2,103]D. [2,103)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则( )
A. 频率分布直方图中a的值为0.005
B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为225
10.已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n(n∈N∗)，则下列结论正确的是( )
A. a4=13B. {an}是递增数列C. a10<1000D. an+1=2an+1
11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，sinB= 3sinC，则以下四个命题中正确的是( )
A. 满足条件的△ABC不可能是直角三角形
B. △ABC面积的最大值为 3
C. 当A=C时，△ABC的内切圆的半径为2 3−3
D. 若△ABC为锐角三角形，则c∈(1, 3)
12.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱切球(与正方体的各条棱都相切)为球O，点M为球面上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 球O的表面积为2π
B. 球O在正方体外部的体积大于 23π−1
C. 球O内接圆柱的侧面积的最大值为2π
D. 若点M在正方体外部(含正方体表面)运动，则MA⋅MB∈[−14,74]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出满足“直线：mx−y−2m+1=0(m∈R)与圆：x2+y2=1相切”的一个m的值______ ．
14.袋子中有10个大小相同的小球，其中7白球，3个黑球。每次从袋子里随机摸出1个球，摸出的球不再放回。在第一次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 ．
15.设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是偶函数，若f(1)=7，则f(2023)+f(2024)= ______ ．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，倾斜角为π3的直线PF2与双曲线C在第一象限交于点P，若∠PF1F2≥∠F2PF1，则双曲线C的离心率的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsinA= 3(a2+c2−b2)．
(1)求B的大小；
(2)若csA=13，b=2，求c．
18.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2+a4=13，S7=49．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
为了了解高中学生课后自主学习数学时间(x分钟/每天)和他们的数学成绩(y分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一)．
表一
(1)请根据所给数据求出x，y的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：(参考数据：i=15xiyi=22820，i=15yi=435，xi的方差为200)
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表(表二).依据表中数据及小概率值α=0.001的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
附：b​=i=1n(xi−x−)⋅(yi−y−)i=1n(xi−x−)2，a​=y−−b​x−，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
20.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB是△ABC外接圆的直径，PC垂直于圆所在的平面，D、E分别是棱PB、PC的中点．
(1)求证：DE⊥平面PAC；
(2)若二面角A−DE−C为π3，AB=PC=4，求AE与平面ACD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知A1(−2,0)是椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，且M经过点( 72,3 34).
(1)求M的方程；
(2)若直线l：y=k(x−1)与M交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且1x1+1x2=−1，求弦AB的长．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)，f′x为f(x)的导数．证明：
(1)f′x在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意得A={x||x−1|≤2,x∈N}={x|−1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3}，
B={x|lnx≤0}={x|0故A∩B={1}，即A∩B的元素的个数是1个．
故选：A．
结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合A，B，根据集合的交集运算，即可得答案．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得：e3i=cs3+i⋅sin3对应的点为(cs3,sin3)，
∵3∈(π2,π)，则cs3<0，sin3>0，
故(cs3,sin3)位于第二象限．
故选：B．
根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面向量的夹角、向量的模以及平面向量的投影向量的问题，属于基础题．
根据平面向量的相关概念，即可逐项判断正误．
【解答】
解：由图可知，∠AOH=2π8=π4，故A错误；
因为OE−OF=FE≠OD，故OD+OF=OE不成立，故b错误；
|OA−OC|=CA= 2,|DH|=2，所以|OA−OC|= 22|DH|，故C正确；
OA在OD上的投影向量的方向与OD的方向相反，故D错误．
故选C．
4.【答案】B
【解析】解：如图，
由于24=12，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，
所以正四棱锥的体积为13×(4×4)×6=32，
截去的正四棱锥的体积为13×(2×2)×3=4，
所以棱台的体积为32−4=28．
故选：B．
应用割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案．
本题考查棱锥与棱台的综合应用，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：设游速为vm/s时对应的耗氧量为O1，游速为(v+2)m/s时对应的耗氧量为O2，
则v=12lg3Q1100v+2=12lg3Q2100，两式相减，可得2=12(lg3Q2100−lg3Q1100)=12lg3Q2Q1，
可得lg3Q2Q1=4，即Q2Q1=34=81．
故选：D．
设游速为v时对应的耗氧量为O1，游速为v+2时对应的耗氧量为O2，列方程组求解即可．
本题考查了对数函数模型在实际中的应用问题，也考查了对数的运算问题，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=aex−lnx在(1,2)上是单调递增函数，
所以f′(x)=aex−1x≥0对任意x∈(1,2)恒成立，所以a≥1xex，
令g(x)=1xex,x∈(1,2)，则g′(x)=−x+1x2ex<0，
所以g(x)在(1,2)内为减函数，
所以g(x)故选：C．
根据函数单调性得f′(x)≥0对任意x∈(1,2)恒成立，分离参数得a≥1xex，构造函数研究其单调性，进而可求参数a的范围．
本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了构造函数求解数学问题的能力，考查了函数思想，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：将A(x1, 2p)，B(x2,−2 2p)两点分别代入抛物线方程，
可得( 2p)2=2px1，解得x1=1，则A(1, 2p)，
(−2 2p)2=2px2，解得x2=4，则B(4,−2 2p)，
又抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，
由题意可得，A，F，B三点共线，
则kAF=kBF，即 2p1−p2=2 2pp2−4，解得p=4．
故选：D．
根据题意，将A，B坐标分别代入抛物线方程，即可得到x1，x2，再由A，F，B三点共线，可得kAF=kBF，即可得到结果．
本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题知，2f2(x)−3f(x)+1=0的实数解可转化为f(x)=12或f(x)=1的实数解，即y=f(x)与y=1或y=12的交点，
当x>0时，f(x)=2lnxx⇒f′(x)=2(1−lnx)x2，
所以x∈(0,e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
如图所示：
所以x=e时f(x)有最大值：12所以x>0时，由图可知y=f(x)与y=1无交点，即方程f(x)=1无解，
所以y=f(x)与y=12有两个不同的交点，及方程f(x)=12有2个解，
当x<0时，因为ω>0，−π≤x≤0，
所以−ωπ+π6≤ωx+π6≤π6，
令t=ωx+π6，则t∈[−ωπ+π6,π6]
则有y=sint且t∈[−ωπ+π6,π6]，如图所示：
因为x>0时，已有两个交点，
所以只需保证y=sint与y=12及与y=1有四个交点即可，
所以只需−19π6<−ωπ+π6≤−11π6，
解得2≤ω<103，
即正实数ω的范围为[2,103).
故选：D．
把问题转化为y=f(x)与y=1或y=12的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数范围即可．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了正弦函数的图象和性质，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由10×(2a+3a+7a+6a+2a)=1，可得a=0.005，故A正确；
前三个矩形的面积和为10×(2a+3a+7a)=0.6，
所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C 错误；
总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为3a×10×1500=225，故D正确．
故选：AD．
先根据频率之和为1可得a=0.005，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：由an+1=an+2n，可得an+12n+1=12⋅an2n+12，
则an+12n+1−1=12(an2n−1)，
又由a1=1，可得a12−1=−12，
所以数列{an2n−1}表示首项为−12，公比为12的等比数列，
所以an2n−1=−12⋅(12)n−1=−(12)n，所以an=2n−1，
选项A，a4=24−1=15，故A错误；
选项B，an+1−an=2n+1−1−2n+1=2n>0，
即an+1>an，所以{an}是递增数列，故 B正确；
选项C，a10=210−1=1023>1000，故C错误；
选项D，an+1=2n+1−1，2an+1=2⋅2n−2+1=2n+1−1，
所以an+1=2an+1，故D正确．
故选：BD．
根据题意，化简得到an+12n+1−1=12(an2n−1)，得到{an2n−1}为等比数列，进而求得数列的通项公式an=2n−1，结合选项，逐项判定即可．
本题考查由数列递推式求数列通项，属中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：sinB= 3sinC，则b= 3c，
对选项A：取c=1，则b= 3，a=2，故a2=b2+c2，△ABC是直角三角形，错误；
对选项B：设c=x，则b= 3x，csB=x2+4−3x24x=1x−x2，sinB>0，
S=12×2xsinB=x 1−cs2B=x 1−1x2−x24+1= −14x4+2x2−1
= −14(x2−4)2+3，当x=2时，S最大为 3，正确；
对选项C：A=C时，a=c=2，b=2 3，csB=a2+c2−b22ac=−12，
B∈(0,π)，故B=23π，设内切圆的半径为r，
则12×2×2×sin2π3=12r×(2+2+2 3)，解得r=2 3−3，正确；
对选项D：△ABC为锐角三角形，则b2且a21，故c∈(1, 2)，错误．
故选：BC．
确定b= 3c，举反例得到A错误，设c=x，则b= 3x，根据余弦定理结合面积公式计算S= −14(x2−4)2+3，B正确，确定B=23π，根据等面积法计算得到C正确，计算得到c∈(1, 2)，D错误，得到答案．
本题解决的关键是熟练掌握余弦定理，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A.如图所示，
正方体的棱切球O的半径R= 22，则球O的表面积为4πR2=2π，故A正确；
对于B.若球体、正方体的体积分别为V1，V2．
球O在正方体外部的体积V>V1−V2=43π⋅( 22)3−1= 23π−1，故B正确；
对于C，球O的半径R= 22，设圆柱的高为ℎ，
则底面圆半径r= R2−(ℎ2)2= 12−ℎ24，
所以S侧面积=2πrℎ=2π 12−ℎ24⋅ℎ=2π −14(ℎ2−1)2+14，
当ℎ2=1时取得最大值，且最大值为π，所以C项错误；
对于D，取AB中点E，可知E在球面上，可得EB=−EA=−12BA，
所以MA⋅MB=(ME+EA)⋅(ME+EB)=(ME)2−(EA)2=|ME|2−14，
点M在球O上且在正方体外部(含正方体表面)运动，
所以0≤|ME|≤ 2(当ME为直径时，|ME|= 2)，
所以MA⋅MB∈[−14,74].故D正确．
故选：ABD．
对A，可求得正方体棱切球半径，运用表面积公式即可得；对B，由球O在正方体外部的体积大于球体体积与正方体的体积之差计算即可得；对C，计算出球内接球O内接圆柱的高及底面积即可得；对D，根据向量的数量积运算即可得．
本题考查了线面垂直的判定及性质、面面平行的性质及几何体的外接球的半径的计算，属于中档题．
13.【答案】0(或43，答案不唯一)
【解析】解：由已知圆：x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径r=1，
又直线：mx−y−2m+1=0(m∈R)与圆：x2+y2=1相切，
所以圆心到直线的距离d=|−2m+1| m2+(−1)2=1，
即3m2−4m=0，
解得m=0或m=43．
故答案为：0(或43，答案不唯一)．
根据直线与圆的位置关系列方程可得解．
本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题．
14.【答案】23
【解析】【分析】
本题主要考查了条件概率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求P(B|A)，由此可得答案．
【解答】
解：设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，
由题意即求P(B|A)，
∵P(AB)=710×69=715，
P(A)=710，
∴P(B|A)=P(AB)P(A)=715710=23．
故答案为23．
15.【答案】−7
【解析】解：根据题意，因为f(x)是奇函数，且f(x+1)是偶函数，
所以f(x+1)=f(−x+1)=−f(x−1)，
所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
故f(x)是4为周期的周期函数，且有f(0)=0，
则f(2023)+f(2024)=f(−1)+f(0)=−f(1)=−7．
故答案为：−7．
根据题意，分析f(x)的周期性，进而利用周期化简即可得解．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
16.【答案】[ 3+12,2)
【解析】解：设∠F2PF1=θ，则在△PF1F2中，∠PF1F2=π3−θ，由∠PF1F2≥∠F2PF1，可得π3−θ≥θ，解得0<θ≤π6．
根据双曲线的定义与正弦定理，
可得e=2c2a=|F1F2|||PF1|−|PF2||=sinθsin2π3−sin(π3−θ)=sinθ 32− 32csθ+12sinθ=1 32⋅1−csθsinθ+12，
记f(θ)=1−csθsinθ,0<θ≤π6，得f′(θ)=sin2θ−csθ(1−csθ)sin2θ=1−csθsin2θ>0，
所以f(θ)在(0,π6]是增函数，可得0因此，双曲线C的离心率e∈[ 3+12,2)．
故答案为：[ 3+12,2)．
设∠F2PF1=θ，根据题意算出∠PF1F2=π3−θ，且0<θ≤π6，结合正弦定理将双曲线C的离心率表示为关于θ的函数，进而利用导数研究函数的单调性，确定出离心率的取值范围．
本题主要考查双曲线的定义与几何性质、正弦定理的应用、利用导数确定函数的单调性等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcsinA= 3(a2+c2−b2)，
可得2bcsinA=2 3ac⋅csB，即bsinA= 3acsB，
所以sinBsinA= 3sinAcsB，因为sinA>0，所以sinB= 3csB，
可得tanB= 3，又由0(2)因为csA=13，b=2，可得sinA= 1−cs2A=2 23，
故sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=2 23×12+13× 32= 23+ 32，
且csinC=bsinB，可得c=b⋅sinCsinB=2×( 23+ 36) 32=4 69+23．
【解析】(1)根据余弦定理和正弦定理，结合同角三角函数关系式求解即可；
(2)根据同角三角函数关系式求得sinA，sinC，再结合余弦定理求解结论．
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则2(a1+d)+a1+3d=13S7=7a1+7×62d=49，
化简整理，得3a1+5d=13a1+3d=7，
解得a1=1d=2，
∴an=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N∗．
(2)由(1)，可得bn=an+2an=2n−1+22n−1，
则Tn=b1+b2+…+bn
=(1+21)+(3+23)+…+[(2n−1)+22n−1]
=[1+3+…+(2n−1)]+(21+23+…+22n−1)
=n⋅(1+2n−1)2+21−22n+11−22
=23⋅4n+n2−23．
【解析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，再根据题干已知条件列出关于a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列和等比数列的求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：(1)x−=30+40+50+60+705=50，
y−=4355=87，又xi(i=1,2,3,…,5)的方差为15i=15(xi−x−)2=200，
∴b =i=15(xi−x−)⋅(yi−y−)i=15(xi−x−)2=i=15xi⋅yi−5x−⋅y−5×200=22820−5×50×871000=1.07，
a =y−−b x−=87−1.07×50=33.5，
故y =1.07x+33.5．
当x=100时，y=140.5．
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140；
(2)零假设为H0：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=220×(25×130−35×30)2165×55×60×160=1109≈12.22，
∵12.22>10.828，
∴依据α=0.001的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．
【解析】(1)先求出平均数，利用最小二乘法求出回归方程，代入数据即可预测；
(2)根据题意计算出χ2，进而由α=0.001的独立性检验得出答案．
本题考查线性回归方程与独立性检验，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)证明：∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，
∵PC垂直于圆所在的平面，BC⊂平面ABC，
∴BC⊥PC，又AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
又D、E分别是棱PB、PC的中点，∴BC/​/DE，
∴DE⊥平面PAC；
(2)由(1)可知DE⊥平面PAC，又AE、EC⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥EC，AE⊂平面DAE，EC⊂平面DEC，
∴∠AEC为二面角A−DE−C的平面角，
∴∠AEC=π3，∴EC=12PC=2,AC=2 3，
又BC⊥AC，AB=4，∴BC=2，
以CB、CA、CP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建系如图，则根据题意可得：
C(0,0,0)，A(0,2 3,0)，E(0,0,2)，B(2,0,0)，P(0,0,4)，D(1,0,2)，
∴AE=(0,−2 3,2)，CA=(0,2 3,0)，CD=(1,0,2)，
设n=(x,y,z)是平面ACD的一个法向量，
则n⋅CA=2 3y=0n⋅CD=x+2z=0，取n=(2,0,−1)，
设AE与平面ACD所成角为θ
则sinθ=|n⋅AE||n||AE|=2 5×4= 510，
∴AE与平面ACD所成角的正弦值为 510．
【解析】(1)BC⊥AC，BC⊥PC，由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，再由三角形中位线定理可得答案；
(2)以C为坐标原点，CB、CA、CP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立的空间直角坐标系C−xyz，求出AE、平面ACD的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案．
本题考查线面垂直的判定定理，二面角的概念，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)因为椭圆M经过点( 72,3 34)且A1(−2,0)为椭圆的左顶点，
所以−a=−274a2+2716b2=1，
解得a2=4，b2=3，
则椭圆M的方程为x24+y23=1；
(2)联立x24+y23=1y=k(x−1)，消去y并整理得(3+4k2)x2−8k2x+4(k2−3)=0，
因为y=k(x−1)经过定点(1,0)，且点(1,0)在M的内部，
所以Δ>0恒成立，
由韦达定理得x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4(k2−3)3+4k2，
因为1x1+1x2=x1+x2x1x2=8k24(k2−3)=−1，
解得k2=1，
所以x1+x2=87，x1x2=−87，
故|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+1⋅ (x1+x2)2−4x1x2
= 2× (87)2−4×(−87)=247．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息，列出等式求出a和b的值，进而可得M的方程；
(2)联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合1x1+1x2=−1，列出等式，求出k的值，代入弦长公式中即可求解．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
22.【答案】证明：(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)，
则f′x=csx−11+x，
令ℎ(x)=csx−11+x，
则ℎ′x=−sinx+1(1+x)2，
令g(x)=−sinx+1(1+x)2，
则g′(x)=−csx−2(1+x)3<0在(−1,π2)恒成立，
∴ℎ′x在(−1,π2)上为减函数，
又ℎ′(0)=1，ℎ′(π2)=−1+1(1+π2)2<−1+1=0，
由零点存在性定理可知，
函数ℎ′x在(−1,π2)上存在唯一的零点x0，
结合单调性可得，f′x在(−1,x0)上单调递增，在(x0,π2)上单调递减，
可得f′x在区间(−1,π2)存在唯一极大值点；
(2)由(1)知，当x∈(−1,0)时，f′x单调递增，
则f′x当x∈(0,x0)时，f′x单调递增，
则f′x>f′(0)=0，则f(x)在(0,x0)上单调递增；
由于f′x在(x0,π2)上单调递减，
且f′x0>0，f ′(π2)=−11+π2<0，
由零点存在性定理可知，函数f′x在(x0,π2)上存在唯一零点x1，结合单调性可知，
当x∈(x0,x1)时，f′x单调递减，
则f′x>f′(x1)=0，故f(x)单调递增；
当x∈(x1,π2)时，f′x单调递减，
则f′x当x∈(π2,π)时，csx<0，−11+x<0，
于是f′x=csx−11+x<0，f(x)单调递减，
其中f(π2)=1−ln(1+π2)>1−ln(1+3.22)
=1−ln2.6>1−lne=0，
f(π)=−ln(1+π)<−ln3<0．
于是可得下表：
结合单调性可知，函数f(x)在(−1,π2]上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，f(x)在(π2,π)上有且只有一个零点x2，
当x∈[π,+∞)时，f(x)=sinx−ln(1+x)
<1−ln(1+π)<1−ln3<0，
因此函数f(x)在[π,+∞)上无零点．
综上，f(x)有且仅有2个零点．
【解析】本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查逻辑思维能力，难度较大．
(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)，求出原函数的导函数，令ℎ(x)=csx−11+x，进一步求导，得到ℎ′x在(−1,π2)上为减函数，进行求解即可；
(2)根据题意，研究函数f(x)的单调性，进行求解即可．编号
1
2
3
4
5
学习时间x
30
40
50
60
70
数学成绩y
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
(−1,0)
0
(0,x1)
x1
x1,π2
π2
π2,π
π
f′x
−
0
+
0
−
−
−
−
f(x)
减函数
0
增函数
大于0
减函数
大于0
减函数
小于0