2023-2024学年九年级下册数学《二次函数》选择填空压轴题专项训练（含答案解析）

这是一份2023-2024学年九年级下册数学《二次函数》选择填空压轴题专项训练（含答案解析），共46页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022·江苏·苏州草桥中学九年级阶段练习）如图，二次函数图象的顶点为，其图象与轴的交点、的横坐标分别为，3．与轴负半轴交于点，在下面五个结论中：①；②；③当时，；④若，且，则；⑤使为等腰三角形的值可以有三个．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·江苏无锡·二模）如图，半径为1的⊙O的圆心是坐标原点，P为直线y＝－x＋2上一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP．下列结论：①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；③△OAP面积最小值为；④∠APO≤45°．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2022·江苏扬州·一模）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中结论正确的是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②
4．（2022·江苏宿迁·二模）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点，点是函数图像上的两点，则y1＞y2；④；⑤c－3a＞0，其中正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2022·江苏扬州·一模）如图，二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（-6，-2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a-b+c的最大值是（ ）
A．15B．18C．23D．32
7．（2022·江苏·八年级）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
8．（2021·江苏南通·二模）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“雨花点”，例如：y＝2x﹣1上存在“雨花点”P（1，1）．函数y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“雨花点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，则k的值（ ）
A．或B．或C．或2+D．或2+
9．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线y＝x2+7x﹣与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及共上方的部分记作C1将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共3个不同的交点，则m的取值范是（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数”
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”
④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”
其中，正确的结论有多少个（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
12．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，平面图形由直角边长为1的等腰直角和扇形组成，点在线段上，，且交或交于点．设，图中阴影部分表示的平面图形（或）的面积为，则函数关于的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线（）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①； ②抛物线与x轴的另一个交点是（，0）；③方程有两个相等的实数根；④当时，有；⑤若，且；则．则命题正确的个数为（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
14．（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校九年级阶段练习）如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．四边形的最大面积为13
15．（2017·江苏·射阳县实验初级中学九年级阶段练习）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
16．（2021·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．（2022·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．点P为抛物线对称轴上一点．以为边在的下方作等边三角形，则当点P从点D运动到点E的过程中，点Q经过路径的长度为______________．
18．（2022·江苏·海安市紫石中学九年级阶段练习）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是_______________．
19．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在抛物线（a >0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m>0），点M在y轴上，M的坐标为（0，1）．
（1）用含a、m的代数式表示=________________．
（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y=对称时，为定值d，则d=_____________．
20．（2022·江苏·宜兴市实验中学二模）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点为平面内一动点，以AC为直径作，若过点且平行于x轴的直线被所截的弦GH长为．则y与x之间的函数关系式是__________________；经过点A的直线与点C运动形成的图像交于B，D两点（点D在点B的右侧），F为该图像的最高点，若的面积是面积的3倍，则k＝______________．
21．（2022·江苏南京·九年级期中）已知，，是下列函数图像上的点：
①；②；③；④
其中，使不等式总成立的函数有__________________．（填正确的序号）
22．（2022·江苏苏州·模拟预测）平面直角坐标系中有两条抛物线l1：y1＝ax2+bx+c与l2：y2＝cx2+bx+a，其中a＞c＞0．下列三个结论中：①如果抛物线l1与x轴的一个交点为（m，0），那么（，0）是抛物线l2与x轴的一个交点；②如果当x＞0时y1随x的增大而增大，那么当x＞0时y2也随x的增大而增大；③如果y1＜y2，那么x的取值范围为﹣1＜x＜1．其中正确结论是___________________．
23．（2022·江苏苏州·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足m≥0时，n′＝n−4；m＜0时，n′＝−n，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点P2（−2，3）的限变点是（−2，−3）．若点P（m，n）在二次函数y＝−x2＋4x＋2的图象上，则当−1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是__________________．
24．（2022·江苏南京·九年级专题练习）已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为______________．
25．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P(0，1)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为_________．
26．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG，连接DF，DG，则面积的最小值为__________．
27．（2021·江苏·南通田家炳中学九年级阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”．当抛物线与其关于轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有个整点时，a的取值范围______________．
28．（2021·江苏扬州·一模）如图，抛物线y =的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP，N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时,点N运动的路径长是_____________．
29．（2019·江苏·无锡市南长实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有_________________．（填序号）
30．（2020·江苏苏州·九年级阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是______________．
31．（2022·江苏南京·二模）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（1）将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是___________________
（2）抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，则点P的坐标为___________________．
32．（2020·江苏·靖江市实验学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊥AB时，CE的长为____________．
参考答案
一、单选题
1．C
【分析】①根据对称轴，可得答案；
②根据点坐标，可得答案；
③根据顶点是函数的最值，可得答案；
④根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；
⑤分类讨论：时，当时，根据点坐标，对称轴，可得方程组，根据解方程组，可得答案；，根据勾股定理你，可得答案．
【解析】解：①图象与轴的交点，的横坐标分别为，3，
，
对称轴，
即．
故①错误；
②点坐标为，
，而，
，即．
故②正确；
③由，顶点是函数的最小值，时，得
，两边都减，得
，
故③正确；
④，得
，
且，则，故④正确；
⑤要使为等腰三角形，则必须保证或或，
当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，解得；
同理当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
，解得；
同理当时
在中，，
在中，
，
，此方程无解．
经解方程组可知只有两个值满足条件，故⑤错误，
故正确的有②③④共3个正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了对称轴公式，顶点是函数的最值，函数值相等两点关于对称轴对称，等腰三角形的判定，要分类讨论，以防遗漏．
2．B
【分析】由勾股定理和30°直角三角形的特征求得OP的长，设P（a，-a+2）由两点距离公式建立方程求解可得结论①②；由OP的表达式结合二次函数的性质可得OP最小值，可得结论③；根据AP的长度范围，根据三角形外角的性质可得结论④；
【解析】解：①当△OAP为等腰直角三角形时，AO=AP=1，则OP=，
∵P点在直线y＝－x＋2上，
∴设P（a，-a+2），则，
OP=，解得：a=1，
∴P（1，1），
故①正确；
②当∠AOP＝60°时，∠APO=30°，则OP=2，
设P（a，-a+2），同理可得：OP=，
解得：a=0或a=2，
∴P（0，2）或P（2，0），
故②错误；
③设P（a，-a+2），则OP=，
∵AP2=OP2-OA2=，∴AP的最小值为1，
∴△OAP面积最小值为×1×1=，
故③正确；
④如图，设AC=1，则∠ACO=45°，
∵AP≥1，∴∠APO≤∠ACO，∠APO≤45°，
故④正确；
∴①③④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数解析式、两点距离公式、二次函数的性质等知识；掌握二次函数的性质是解题关键．
3．A
【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断出、、的正负即可判断①，利用对称轴和-1的关系即可判断②，根据A、B两点到对称轴的距离即可判断③，利用函数图象与直线的关系即可判断④．
【解析】解：①二次函数图象开口向上，所以a>0；对称轴在y轴左侧，所以b>0；图象交y轴负半轴，所以c<0，，故①正确；
②二次函数对称轴为，整理得，故②正确；
③A点到对称轴的距离为2，B点到对称轴的距离为，且图象开口向上，所以，故③错误；
④由题意可知，关于对称轴对称点的坐标为，不等式变形得，可看做二次函数函数值高于直线对应的x的范围，所以或，故④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式，二次函数对称轴以及二次函数图象上点的大小比较，熟练掌握二次函数图象与系数的关系，理解二次函数与不等式的关系是解题关键．
4．D
【分析】由可得：，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可．
【解析】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令x=n，可得∶纵坐标为，纵坐标为，
，，
．
，
．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键．
5．C
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点（-1，0）及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x=3时y＞0，进而判断②，根据M，N两点与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b=-4a，再根据x=-1时y=0及2＜c＜3可判断④，根据x=1时y＞0可判断⑤．
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-＞0，
∴b＞0．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴交点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴另一交点为（5，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c＞0，②正确．
∵，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，③错误．
∵-=2，
∴b=-4a，
∴x=-1时，y=a+4a+c=5a+c=0，
∵2＜c＜3，
∴-3＜5a＜-2，
解得，
∴④正确，
∵x=1时，y=a+b+c=-3a+c＞0，
∴c-3a＞0，⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
6．C
【分析】先求出N，R的坐标，观察图形可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，由此求出a值，当时，当顶点在M处时取最大值，求此可解．
【解析】解：，MN＝2，NR＝7，
，，
由题意可知，当顶点在R处时，点B的横坐标为3，
则抛物线的解析式为，
将点B坐标代入上式得，，
解得，，
当时，，
观察图形可知，顶点在M处时，取最大值，
此时抛物线的解析式为：，
将代入得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图像的性质，解题关键时利用数形结合的思想，判断出抛物线顶点在R处时点B的横坐标取最大值，由此求出a值．
7．B
【分析】连接CN．首先证明∠MCN＝90°，设AC＝a，则BC＝4﹣a，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解析】解：连接CN，
∵△ACD和△BCE为等边三角形，
∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠DCE＝60°，
∵N是BE的中点，
∴CN⊥BE，∠ECN＝30°，
∴∠DCN＝90°，
设AC＝a，
∵AB＝4，
∴CM＝a，CN＝（4﹣a），
∴MN＝＝＝，
∴当a＝3时，MN的值最小为．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
8．C
【分析】】由题意得：y=x2+（n-k+1）x+m+k-1=x，由题意Δ=0得：m=（n-k）2-（k-1），分当-2≤n=k≤1、当n=k≤-2、n=k≥1三种情况，求解即可．
【解析】解：y=x2+（n-k+1）x+m+k-1=x，
整理得：x2+（n-k）x+m+k-1=0，
由题意得：Δ=（n-k）2-（m+k-1）=0，
m=（n-k）2-（k-1），
①当-2≤n=k≤1时，n=k时，m取得最小值，
即：-（k-1）=k，
解得：k=；
②当n=k≤-2时，n=-2，m取得最小值，
即：（-2-k）2-（k-1）=k，
解得：无解；
③当n=k≥1时，n=1，m取得最小值，
即：（1-k）2-（k-1）=k，
解得：k=2±
即k1=2+，k2=2-<1，（舍去），
综上，k的值为：或2+．
故选：C．
【点睛】考查了二次函数与一次函数的综合，点P为函数图象上的“雨花点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论和用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．A
【分析】首先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案．
【解析】解：将y＝0代入，
得：，
解得：，，
抛物线与轴交于点、，
，，
抛物线向左平移4个单位长度，
∵，
平移后解析式，
如图，
当直线过点，有2个交点，
，
解得：，
当直线与抛物线相切时，有2个交点，
，
整理得：，
相切，
，
解得：，
若直线与、共有3个不同的交点，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
10．B
【分析】根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”，逐项进行求解判断即可．
【解析】解：①设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1图像上的点，
则，
∵，
∴的值随着x的增大而减小，
∵，
∴当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，
∴当时，，
∴函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”，故①正确；
②设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴当x＞时，的值随着x的增大而减小，
又∵3≤x≤5，
∴当时，取得最大值为1；当时，取得最小值为，
∴当3≤x≤5时，，
∴函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上不是“逼近函数”，故②错误；
③设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，满足，
∴是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”，故③正确；
④设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x图像上的点，
则
，
∵，对称轴为直线x＝，
∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为，
∴当时，，不满足，
∴不是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”，故④错误，
正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．
11．A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【解析】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（0，-3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
12．D
【分析】根据点的位置，分点在上和点在弧上两种情况讨论，分别写出和的函数解析式，即可确定函数图象．
【解析】解：当在上时，即点在上时，有，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除，选项；
当点在弧上时，补全图形如图所示，
阴影部分的面积等于等腰直角的面积加上扇形的面积，再减去平面图形的面积即减去弓形的面积，
设，则，
，，
当时，，，
，
当时，，，
，
在，选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．
13．B
【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，和一次函数解析式，根据抛物线对称轴可判断①，利用抛物线的对称轴与x轴的一个交点可求另一交点可判断②，利用抛物线平移和顶点的位置可判断③，利用二次函数图像与一次函数的图象的位置比较大小，可判断④，根据可得出y1=y2，利用对称性与对称轴关系可判断⑤即可．
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴，
把B点坐标代入得，
解得，
抛物线，
直线（）与抛物线交于A，B两点，
∴，
解得，
直线，
①∵对称轴为，则
故①正确；
②∵对称轴为直线，与轴的一个交点是，设另一交点为（m，0），
∴1-m=4-1，
∴m=-2，
与轴的另一个交点是，故②正确；
③∵把抛物线向下平移3个单位，得到，
∴顶点坐标变为，即抛物线与只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故③正确；
④当时，二次函数图像在一次函数图像的上方
∴，故④正确；
⑤若，即
即，
则关于函数的对称轴对称，
故，即，故⑤错误，
∴命题正确的有①②③④四个．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与的交点，以及函数图象上点的坐标特征，要求学生熟练掌握函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义及函数特征．
14．C
【分析】】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB；
（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE错误；
（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC；
（4）S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值为．
【解析】解：将点A（2，0）代入抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b
解得：a=，b=-，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2-m+4）、N（m，m-），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，-）、（，），
由勾股定理得：BN=，而MN=，
BN+MN=5=AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC=∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴EB是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD=∠ABE=∠ABC，
而∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，
S△ABC=10，
S△ABM=MN•（xB-xA）=-m2+7m-10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+=12.25，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
15．D
【解析】试题分析：①抛物线的顶点坐标为（，），当m=3时，特征数为[2,4-6]，可求得顶点坐标为（-1，-8），所以①正确．②函数图像与x轴交点坐标为（），特征数为 [m-1，1+ m，-2m]的函数与x轴交点坐标分别为（1,0）、（，0），所以截得x轴所得的线段长为1-=1+， 当m> 1 时， 1+>3，所以②正确．③函数对称轴为x==， 当m<0时，对称轴x=<，a=m-1<0,所以函数抛物线图像开口向下，当x>时y随x的增大而减小，又因为x=<，所以当m< 0时，函数在x>时，y随x的增大而减小，③正确．④ 不论m取何值，函数图象经过两个定点（1,0）和（-2，-6），所以④正确．故选D
点睛：本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c的性质：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．②抛物线是轴对称图形,对称轴为直线x = -b/2a，当a＞0时x< ,y随x的增大而减小，x>时，y随x的增大而增大．当a<0时，x<，y随x的增大而增大，x>时，y随x的增大而减小．③函数图像与x轴交点坐标为（），所以函数图像截x轴所得的线段长为等．二次函数的性质极为重要，是易考点，及难点．
16．C
【分析】把代入，可得到，再利用和建立方程组即可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解．
【解析】解：令，则
∴
∴由题意可得：
解得：
∴
如图所示：
若最小值为最大值为，
结合图像可得：
故答案选：C
【点睛】本题主要考察了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键．
二、填空题
17．4
【分析】当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，证明，则，则，即可求解．
【解析】如图，当点P在D时，等边三角形为，当点P在点E时，等边三角形为，连接、，
则，，，
对于，令，则，令，解得或，
故点A、B、C的坐标分别为、、，
函数的对称轴为，点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
，
由B、D的坐标知，，而，
则，
即点Q经过路径的长度是4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查二次函数和几何综合，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质．
18．
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【解析】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立方程，
当∆时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
19．15am2
【分析】（1）把P、Q的坐标分别代入y＝ax2﹣4，求得y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4，即可得到|y1﹣y2|＝15m2a．
（2）根据待定系数法求得直线PM的解析式，然后半轴x＝m代入求得对应的函数值，直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，即可得出 +（am2﹣4）＝2×（﹣1），解得am2＝，由（1）可知，|y1﹣y2|＝15m2a，即可得出d＝．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4（a＞0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m＞0），
∴y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4，
∴|y1﹣y2|＝|15m2a|，
∵a＞0，m＞0，
∴|y1﹣y2|＝15m2a．
故答案为：15m2a．
（2）设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵点P的坐标为（4m，16am2﹣4），M（0，﹣1），
∴，
解得，
∴直线PM为y＝x﹣1，
当x＝m时，y＝•m﹣1＝，
∵直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，
∴+（am2﹣4）＝2×（﹣1），
∴am2＝，
∵|y1﹣y2|为定值d，|y1﹣y2|＝15m2a，
∴d＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，根据题意得到关于am2的方程是解题的关键．
20． -2
【分析】①先由中点坐标公式求出点E的坐标，设点E到G点的距离为d，求出d，过点E作，利用垂径定理求出GD，再利用股定理求解；
②利用抛物线解析式求出顶点F的坐标，过BD作FA的垂线，垂足为M、N，
设B、C的横坐标分别为x1，x2，根据三角形面积关系求出，联立直线与抛物线解析式组成方程组求出交点B，C横坐标，进行求出k的值．
【解析】解：①∵，，
∴．
设点E到G点的距离为d，
则．
过点E作，则．

在中，，GE为的半径，
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
②由①可知点C的运动轨迹的函数解析式为，
∴抛物线的顶点F的坐标为．
过BD作FA的垂线，垂足为M、N，设B、C的横坐标分别为x1，x2．
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
联立得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，理解勾股定理，中点坐标公式，垂径定理等相关知识，画出图形是解答关键．
21．④
【分析】将代入函数表达式，根据题意求得，比较大小，逐项判断即可．
【解析】解：，，是下列函数图像上的点
①，
故①不合题意，
②，
②不合题意
③
当
即时，
③不合题意
④
故④正确
故答案为：④
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数的性质，分别求得是解题的关键．
22．①②③
【分析】①将（m,0）代入y1＝ax2+bx+c得到，推导出，得到是抛物线l2与x轴的一个交点；②当x＞0时y1随x的增大而增大，推出，从而得到，得到当x＞0时y2也随x的增大而增大；③如果y1＜y2，那么，得到，推出，得到-1【解析】①∵抛物线l1与x轴的一个交点为（m，0），
∴，
两边同除以，
得，，
∴是抛物线l2与x轴的一个交点，正确；
②∵，图象开口向上，对称轴为直线，
如果当x＞0时y1随x的增大而增大，
∴，
∴，
那么的图象开口向上，对称轴为直线，当x＞0时y2也随x的增大而增大，正确；
③如果，
那么，
∴，
∴，
∵a-c>0，
∴，，
∴-1故答案为①②③
【点睛】本题综合考查了二次函数与一元二次方程，函数与不等式，函数值的增减性，解决此类问题的关键是熟练掌握函数与方程，函数与不等式的关系，函数值随自变量的变化关系
23．−2≤n′≤3
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝−m2＋4m＋2−4＝−（m−2）2＋2，在0≤m≤3时，得到−2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2−4m−2＝（m−2）2−6，在−1≤m＜0时，得到−2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是−2≤n′≤3．
【解析】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝−m2＋4m＋2−4＝−（m−2）2＋2，
∴当0≤m≤3时，−2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2−4m−2＝（m−2）2−6，
∴当−1≤m＜0时，−2＜n′≤3，
综上，当−1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是−2≤n′≤3，
故答案为：−2≤n′≤3
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
24．1或
【分析】先运用根的判别式求得k的取值范围，进而确定k的值，得到抛物线的解析式，再根据折叠得到新图像的解析式，可求出函数图象与x轴的交点坐标，画出函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①过交点（-1，0），根据待定系数法可得m的值；②不过点（一1，0），与相切时，根据判别式解答即可．
【解析】解：∵函数与x轴有两个交点，
∴，解得，
当k取最小整数时，，
∴抛物线为，
将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为（或） ：
①因为为的，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过，把代入得所以，
②与相切时，图象有三个交点，
，，解得．
故答案为：1或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识点，掌握分类讨论和直线与抛物线相切时判别式等于零是解答本题的关键．
25．
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
【解析】解：作QM⊥y轴于点M，Q′N⊥y轴于N，
∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，
∴∠QPM＋∠NPQ′＝∠PQ′N＋∠NPQ′，
∴∠QPM＝∠PQ′N，
在△PQM和△Q′PN中，
，
∴△PQM≌△Q′PN（AAS），
∴PN＝QM，Q′N＝PM，
设Q（m，m＋3），
∴PM＝|m＋2|，QM＝|m|，
∴ON＝|1-m|，
∴Q′（m＋2，1−m），
∴OQ′2＝（m＋2）2＋（1−m）2＝m2＋5，
当m＝0时，OQ′2有最小值为5，
∴OQ′的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换−旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．
26．##1.5
【分析】设，则，过点D作PQ∥EF交CE于Q，GF于P，证明四边形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出，从而得到，由此利用二次函数的性质求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDE=90°，
设，则，
过点D作PQ∥EF交CE于Q，GF于P，
∵四边形CEFG是正方形，
∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG，
∴∠EQP=90°，
∴四边形EQPF是矩形，
∴EC=EF=PQ，
∴
，
，
当时，面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
27．
【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为，过点，对分情况讨论或，分别求解即可．
【解析】解：由可得，过点，
当时，开口向下，如下图：
此时整点有等等，显然超过9个，不符合题意；
当时，开口向上，如下图：
要保证封闭区域内（包括边界）共有个整点，需要满足
，，此时整数点为，，
即，解得
故答案为
【点睛】此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解，解题的关键是理解题意，并列出不等式组．
28．
【分析】求出A、B、E坐标，由题意可知点N在以EM为直径的圆上，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径是半圆，求弧长即可．
【解析】解：当y=0时，0 =，
解得，x1=-2，x2=4，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0），
所以M点坐标为（1，0），
由抛物线y =可知，E点坐标为（1，-3），则ME=MA=MP=3，
∵N是PE的中点，
∴∠MNE=90°，
∴点N在以EM为直径的圆上，
当点P与B重合时，N点坐标为（2.5，-1.5），当点P与A重合时，N点坐标为（-0.5，-1.5），故点N运动的路径是以EM为直径的半圆，
由坐标可知EM=3，
点N运动的路径长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和弧长公式，解题关键是确定点运动的轨迹，利用弧长公式准确求解．
29．①②④⑤⑥
【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．
【解析】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线
抛物线与轴交于点和，且
由图象知：，，
故结论①正确；
抛物线与轴交于点
故结论②正确；
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
结论③错误；
，
抛物线与轴交于点和
的两根是和2
，
即为：，解得，；
故结论④正确；
当时，
故结论⑤正确；
抛物线与轴交于点和，
，为方程的两个根
，为方程的两个根
，为函数与直线的两个交点的横坐标
结合图象得：且
故结论⑥成立；
故答案为：①②④⑤⑥
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
30．
【分析】先根据解析式求出点A、B、C的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P的坐标，根据过点P作⊙B的切线，切点是Q得到PQ的函数关系式，求出最小值即可.
【解析】令中y=0，得x1=-，x2=5，
∴直线AC的解析式为，
设P（x，），
∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，BQ=1
∴PQ2=PB2-BQ2，
=(x-5)2+（）2-1，
=，
∵，
∴PQ2有最小值，
∴PQ的最小值是，
故答案为：，
【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关键.
31． 0【解析】试题解析：
由题意，抛物线只能沿轴向下平移，
∴设平移后的抛物线的解析式为
当原点落在平移后的抛物线上时,把代入得：
解得
当平移后的抛物线的顶点落在轴上时，
即，
解得：
∵平移后的抛物线与线段有且只有一个交点
或
当时,
解得：或
即
取的中点，过作交于，连接，
则
,
当点在上方时,设为 ,过作交直线于，过作轴于.
设直线的解析式为,把代入
，
令
解得 (舍去),
当点在下方时,设为
则
延长交直线于，则点是的中点
解得
设直线的解析式为 ,把代入
令
解得(舍去),
综上所述，抛物线上存在点，使
点坐标为或
故答案为或
或
32．．
【分析】设BF=x，则CF=2-x，先确定A、B的坐标，然后再由菱形的性质确定D的坐标，由于抛物线经过O、A、D、E，根据抛物线的对称性可知点A与点D的中点横坐标与点O与点E的中点横坐标相同，可求E，再由平行线等分线段定理列方程求得x，进而求得CE．
【解析】解：∵菱形OABC的边长为2，∠AOC＝60°，
∴OA＝2，
∴A（1，），
∵菱形OABC，
∴AB＝OC＝2，AB∥OC，
∴B（3，），
设BF＝x，则CF＝2﹣x，
在菱形OABC中，∠B＝∠AOC＝60°，
∵DF⊥AB，
∴D（3﹣x，），
∴点A与点D的中点为（2﹣x，），
∵抛物线经过O，A，D、E，
∴点O与点E的中点为（2﹣x，0），
∴E（4﹣x，0），
∴CE＝4﹣x﹣2＝2﹣x，
∵AB∥CE，
∴＝，
∴＝，
∴x＝4+2（舍）或x＝4﹣2，
∴CE＝．
故答案为．
【点睛】本题考查菱形与二次函数的综合应用，考查了菱形的性质、根据抛物线的对称性确定点的坐标、平行线分线段成比例等知识点，根据平行线等分线段定理的等量关系列方程是解答本题的关键．