高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

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知识精讲
知识点
1.平面向量运算的坐标运算
2. 平面向量共线的坐标表示
（1）如果a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b的充要条件为x1y2–x2y1=0．
a∥b的充要条件不能表示成=，因为x2，y2有可能等于0．
运用两向量共线的条件可求点的坐标，可证明三点共线以及平行；
（2）已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中；二是相关向量用已知两向量的含参关系式表示．解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求解；
（3）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为
（x2–x1）（y3–y1）–（x3–x1）（y2–y1）=0，
或（x2–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y2–y1），
或（x3–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y3–y1）．
利用向量解决三点共线问题的思路：
先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两向量所在的直线必重合，即三点共线．
【即学即练1】如果向量，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】若=(6，6)，=(5，7)，=(2，4)，则下列结论成立的是（ ）
A．与共线B．与共线
C．与共线D．与共线
【即学即练3】已知向量=(2，3)，=(-1，2)，若-2与非零向量m+n共线，则等于（ ）
A．-2B．2C．-D．
【即学即练4】下列各组向量共线的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练5】已知向量，，，若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练6】已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．-8B．-6C．-1D．6
【即学即练7】以下与向量不平行的向量是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练8】已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)，若∥，则实数m的值为（ ）
A． B．－ C．3D．－3
【即学即练9】在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，若，则的值（ ）
A．4B．3C．D．0
【即学即练10】．已知非零向量，，，若，，且，则（ ）
A．4B．-4C．D．
【即学即练11】已知向量，若与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【即学即练12】若三点共线,则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【即学即练13】已知，，，则P的坐标为______．
【即学即练14】已知，．若，则______．
【即学即练15】，，则
（1）________；
（2）________；
（3）________；
（4）________；
（5）________；
（6）________．
能力拓展
考法01
1.平面向量数乘运算的坐标运算
【典例1】知平面向量a=（1，1），b=（1，–1），则向量a–b=（ ）
A．（–2，–1）B．（–2，1）C．（–1，0）D．（–1，2）
【即学即练16】已知点,向量,当时,点的坐标为
A．(2，7)B．(0，-7)
C．(3，-6)D．(-4，5)
【即学即练17】已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【即学即练18】下列向量组中，能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
考法02
2. 向量坐标运算的应用
（1）已知两向量共线，求点或向量的坐标；
（2）证明或判定三点共线、直线平行．解题时要注意联系平面几何的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定直线平行．
【典例2】已知a=（1，1），b=（x，1），n=a+2b，v=2a–B．
（1）若n=3v，求x；
（2）若n∥v，并说明此时两向量方向相同还是相反．
【典例3】已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
【典例4】已知向量，，，求：
（1）；（2）；（3）的单位向量．
【典例5】设k为实数，若向量，，，当k为何值时，A，B，C三点共线？
【典例6】设为实数，已知向量，，且，求的值．
【典例7】设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
【即学即练19】下列向量中，与向量不共线的一个向量的坐标为（ ）
A．(5，4)B．
C．D．
【即学即练20】(多选题)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有（ ）
A．与平行B．＋＝
C．＋＝D．＝－2
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知向量＝(，sin)，＝(sin，)，若，则锐角为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．75°
2. 若向量，，与共线，则实数k的值为（ ）
A．B．C．1D．2
3. 已知向量.若，则实数的值为（ ）
A．6B．3C．D．
4. 已知，，则等于（ ）
A．(－2，－2)B．(2，2)C．(－2，2)D．(2，－2)
5. 已知向量，，若与方向相反，则等于（ ）
A．1B．C．D．
6. 已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三点共线，则x＝（ ）
A．2B．－2
C．4D．－4
7. 已知向量，，若，则等于（ ）
A．－2B．2
C．－D．
8. 下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
9. △ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量＝(a＋c，b)，＝(b，c－a)．若，则角C的大小为（ ）
A． B． C． D．
10. 在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（ ）
A．＝(0，0)，＝(1，2) B．＝(－1，2)，＝(5，－2)
C．＝(3，5)，＝(6，10) D．＝(2，－3)，＝(－2，3)
11. 若非零向量，则是与同向或反向的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12. 已知是一个平行四边形三个顶点，则第四个顶点不可能是（ ）
A．B．C．D．
13. 已知向量，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2B．C．k＝1D．k＝－1
14. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A．B．C．D．
15. 已知向量，，命题，命题使得成立，则命题是命题的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
题组B 能力提升练
1. 如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知向量，且，若实数均为正数，则的最小值是（ ）
A．24B．C．D．8
3. 已知向量，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4. 已知，，，且相异三点、、共线，则实数等于（ ）
A．B．或C．D．或
5.（多选题）已知两点、，与平行，且方向相反的向量可能是（ ）
A． B． C． D．
6. (多选题)已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，则下列结论正确的是（ ）
A．直线OC与直线BA平行 B．＋＝
C．＋＝ D．＝－2
7. 已知，，点P在延长线上，且，则的坐标为______．
8. 设两个向量和＝，其中λ、m、α为实数．若，则的取值范围是________．
9. 已知两点和，在直线上存在一点，使，那么点的坐标为__________.
10. 如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
C 培优拔尖练
1. 已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形．
2. 设m，n为实数，若，，，，求m，n的值．
3. 已知，.
（1）当k为何值时，与共线？
（2）若，且A，B，C三点共线，求m的值．
4. 如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
5. 已知向量，．
（1）若向量，求实数的值；
（2）若向量满足，求的值．
6. 已知向量，，，．
（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底；
（2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围．
7. 知两点A(3，－4)，B(－9，2)，在直线AB上求一点P，使||＝||.
8. 已知中，，D在上，，点E在边上，且恰好将的面积平分，求点E的坐标.
9. 已知点，向量，，点P是线段AB的三等分点，求点P的坐标.
10. 已知向量，.
（1）已知，求点坐标；
（2）若，求的值
11. 在平面内给定三个向量．
（1）求满足的实数m,n的值；
（2）若向量满足，且，求向量的坐标．
12. 已知点及，求：
（1）若点在第二象限，求的取值范围,
（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由．
课程标准
课标解读
掌握实数与向量的积的坐标运算法则
进行有关的运算．
理解用坐标表示的平面向量共线的条
件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线.
通过本节课的学习，要求能掌握平面向量的数乘运算，并能解决与共线相关的线性运算及判断.
运算
坐标表示
和（差）
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．
数乘
已知a=（x1，y1），则λa=（λx1，λy1），其中λ是实数．
任一向量的坐标
已知A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．