数学人教A版 (2019)3.2 双曲线课后复习题

这是一份数学人教A版 (2019)3.2 双曲线课后复习题，共6页。

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，必有mn＜0；当mn＜0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线，所以“mn＜0”是“方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线”的充要条件．
2．已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上的点P到(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为( )
A．7 B．23
C．5或25 D．7或23
解析：选D 设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15，
解得|PF1|＝7或23.
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(eq \r(5)，0)和(－eq \r(5)，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,4)＝1
解析：选C 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|·|PF2|＝2，,|PF1|2＋|PF2|2＝2\r(5)2))⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝eq \r(5)，所以b＝1，故选C.
4．双曲线eq \f(x2,n)－y2＝1(n>1)的两焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，则△PF1F2的面积为( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选B 不妨设F1，F2是双曲线的左、右焦点，
P为右支上一点，|PF1|－|PF2|＝2eq \r(n)，①
|PF1|＋|PF2|＝2eq \r(n＋2)，②
由①②解得
|PF1|＝eq \r(n＋2)＋eq \r(n)，|PF2|＝eq \r(n＋2)－eq \r(n)，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝4n＋4＝|F1F2|2，
所以PF1⊥PF2，
又由①②分别平方后作差得：|PF1||PF2|＝2，
所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1.
5．[多选]关于x，y的方程 eq \f(x2,m2＋2)＋ eq \f(y2,4－m2)＝1(其中m2≠4)表示的曲线可能是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．长轴长为2 eq \r(6)的椭圆
解析：选BC 对于A，若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2＋2<0，无解，选项A错误；对于B，若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2＋2＝4－m2，解得m＝±1，选项B正确；对于C，若曲线表示焦点在x轴上的双曲线，则4－m2<0，所以m>2或m<－2，选项C正确；对于D，若曲线表示长轴长为2 eq \r(6)的椭圆，则2a＝2 eq \r(6)，a＝ eq \r(6)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－m2>0，,m2＋2>4－m2，,2a＝2\r(m2＋2)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－m2>0，,m2＋2<4－m2，,2\r(4－m2)＝2a，))无解，选项D错误．故选B，C
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线eq \f(y2,m)－eq \f(x2,9)＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
7．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是________．
解析：由题意可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,5－a2)＝1，
由中点坐标公式可得P(eq \r(5)，4)，
∴eq \f(5,a2)－eq \f(16,5－a2)＝1，解得a2＝1，
∴该双曲线的方程是x2－eq \f(y2,4)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,4)＝1
8．若椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1和双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则|PF1|2＋|PF2|2的值是________.
解析：因为椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1和双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1有相同的焦点F1，F2，设P在双曲线的右支上，利用椭圆以及双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2×4＝8，①
|PF1|－|PF2|＝2×1＝2，②
联立①②得|PF1|＝5，|PF2|＝3.
所以|PF1|2＋|PF2|2＝34.
答案：34
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2eq \r(5)，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2eq \r(5)，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(5)，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝20，,b2＝16.))
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,20)－eq \f(x2,16)＝1.
(2)椭圆eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(eq \r(15)，4)(或(－eq \r(15)，4))．
设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(42,a2)－\f(\r(15)2,b2)＝1，,a2＋b2＝32，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝5.))
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1.
10．△ABC的一边的两个顶点B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝eq \f(y,x＋a)，kAC＝eq \f(y,x－a).
由题意，得eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝m，即eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,ma2)＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．
1．若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(m＞n＞0)和双曲线eq \f(x2,s)－eq \f(y2,t)＝1(s，t＞0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－s B．eq \f(1,2)(m－s)
C．m2－s2 D．eq \r(m)－eq \r(s)
解析：选A 如图所示，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2\r(m)，,x－y＝2\r(s)，))∴4xy＝4(m－s)．∴xy＝m－s.
2．[多选]已知点P在双曲线C： eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的是( )
A．点P到x轴的距离为 eq \f(20,3)
B．|PF1|＋|PF2|＝ eq \f(50,3)
C．△PF1F2为钝角三角形
D．∠F1PF2＝ eq \f(π,3)
解析：选BC 因为双曲线C的方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1，
所以c＝ eq \r(16＋9)＝5.
又因为S△PF1F2＝ eq \f(1,2)×2c|yP|＝ eq \f(1,2)×10|yP|＝20，
所以|yP|＝4，选项A错误；
将|yP|＝4代入C： eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1，
得 eq \f(x2,16)－ eq \f(42,9)＝1，所以|xP|＝ eq \f(20,3).
不妨取点P的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，4))，可知|PF2|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)－5))\s\up12(2)＋42)＝ eq \f(13,3).由双曲线的定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝ eq \f(13,3)＋8＝ eq \f(37,3)，所以|PF1|＋|PF2|＝ eq \f(37,3)＋ eq \f(13,3)＝ eq \f(50,3)，选项B正确；
对于上述点P，在△PF1F2中，
|PF1|＝ eq \f(37,3)＞2c＝10＞|PF2|＝ eq \f(13,3)，
且cs ∠PF2F1＝ eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2||F1F2|)＝－ eq \f(5,13)＜0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确；
cs ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝ eq \f(319,481)≠ eq \f(1,2)，所以∠F1PF2≠ eq \f(π,3)，选项D错误．故选B，C.
3．若F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,24)＝1(y≠0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝______，△PF1F2的面积S△PF1F2＝_______.
解析：根据双曲线的定义，若|PF1|＝6，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2⇒|PF2|＝4或8，因为y≠0，而只有当P点落在x轴上时才会有|PF2|＝4，故舍掉．
所以|PF2|＝8.
因为三角形PF1F2是直角三角形，故S△PF1F2＝eq \f(1,2)×6×8＝24.
答案：8 24
4．A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,2eq \r(3)).
由题意知|PB|＝|PC|，
所以点P在线段BC的垂直平分线上．
设敌炮阵地的坐标为(x，y)，
因为kBC＝－eq \r(3)，BC中点D(－4，eq \r(3))，
所以直线lPD：y－eq \r(3)＝eq \f(1,\r(3))(x＋4)．①
又|PB|－|PA|＝4，故P在以A，B为焦点的双曲线右支上．
则双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1(x≥2)．②
联立①②两式，得x＝8，y＝5eq \r(3)，
所以P的坐标为(8,5eq \r(3))．
因此kPA＝eq \f(5\r(3),8－3)＝eq \r(3). 故炮击的方向角为北偏东30°.
5.已知双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1，如图，点A的坐标为(－eq \r(5)，0)，B是圆x2＋(y－eq \r(5))2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
解：设点D的坐标为(eq \r(5)，0)，则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
所以|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|.
又B是圆x2＋(y－eq \r(5))2＝1上的点，圆的圆心为C(0，eq \r(5))，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝eq \r(10)－1，
从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥eq \r(10)＋1，
当点M，B在线段CD上时不等式取等号，
即|MA|＋|MB|的最小值为eq \r(10)＋1.