2023-2024学年上海市杨浦区同济大学一附中学高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦区同济大学一附中学高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点P(x,y)的坐标满足 (x−3)2+y2− (x+3)2+y2=4，则动点P的轨迹是( )
A. 双曲线B. 双曲线一支C. 两条射线D. 一条射线
2.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是．( )
A. 110B. 120C. 130D. 140
3.如图，一组数据x1，x2，x3，…，x9，x10，的平均数为5，方差为s12，去除x9，x10这两个数据后，平均数为x−，方差为s22，则( )
A. x−>5，s12>s22B. x−<5，s12s22
4.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y=AB⋅APi,i=1,2,3,…,8}中的元素个数( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设数列{an}为等差数列，若a1=12，a6=27，则公差d= ______．
6.抛物线y2=4x的焦点坐标是 ．
7.已知双曲线方程为x24−y2=1，则该双曲线的渐近线方程为______．
8.已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为______．
9.某小组共有4名男生a，b，c，d，和3名女生A，B，C.若选一名男生和一名女生分别担任组长和干事，共有______种不同的结果．
10.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是23，和棋的概率是14，则甲不输的概率为______．
11.两条直线ax−3y−1=0与2x−(a−1)y+1=0平行，则实数a= ______．
12.椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2组成的三角形的周长为 4+2 3且∠F1BF2=2π3，则椭圆的方程是______．
13.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是C1B1的中点，若E，F都是AB上的点，且|EF|=12，Q是A1B1上的点，则三棱锥P−EFQ的体积是______．
14.数列{an}是首项为−34，公比为m的无穷等比数列，且i=1+∞ai=m，则m= ______．
15.等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，并且满足a1>1，a1009a1010−1>0，a1009−1a1010−1<0，现给出下列结论：①a2022>1；②a1009a1011−1<0；③T1010是Tn中的最大值；④使Tn>1成立的最大正整数n是2019，其中正确的结论序号是______．
16.已知圆锥曲线CK的方程：x29−k+y24−k=1.当m、n为正整数，且m三、解答题：本题共4小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知(2x2+1x)n的展开式中共有13项．
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中各项系数之和．
18.(本小题14分)
如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1D1、C1C、A1A的中点．
(1)证明：M、N、A1、B四点共面；
(2)求异面直线PD1与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)
19.(本小题14分)
某校高二年级一个班有60名学生，将期中考试的数学成绩(均为整数)分成六段：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，已知甲同学的成绩在[70,80)，乙同学的成绩在[80,90)，求甲乙至少一人被抽到的概率．
20.(本小题16分)
已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2an+1(n∈N*)，数列{bn}前n项和Sn=12−12(23)n．
(1)求证：数列{1an}是等差数列；
(2)求{an}、{bn}的通项公式；
(3)设cn=bnan，是否存在m∈N*，使cm≥9成立？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：点P的坐标满足 (x−3)2+y2− (x+3)2+y2=4，
∴动点P(x,y)到A(3,0)和B(−3,0)的距离之差等于4，
A(3,0)和B(−3,0)两点间的距离为|AB|=6，
∴动点P的轨迹方程是双曲线的一支．
故选：B．
利用双曲线的定义，直接判断．
本题考查椭圆的定义，是基础题，解题时要熟练掌握两点间距离公式．
2.【答案】D
【解析】解：∵今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，
设善走男每天走的路程为{an}，则数列{an}为等差数列，设公差为d，则a1=100，
∴由题意，9a1+9×82⋅d=1260，可得a1+4d=140，
解得该善走男第5日所走的路程里数为a5=a1+4d=140，
故选：D．
由题意，利用等差数列前n项和公式即可求出公差．
本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可得：110i=110xi=5,x9=1,x10=9，则i=110xi=50，
故x−=18i=18xi=18(i=110xi−x9−x10)=18(50−1−9)=5，
∵x9，x10是波幅最大的两个点的值，则去除x9，x10这两个数据后，整体波动性减小，
故s12>s22．
故选：D．
根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断．
本题主要考查了平均数和方差的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵APi=AB+BPi，
∴AB⋅APi=AB⋅(AB+BPi)=AB2+AB⋅BPi，
∵AB⊥BPi，∴AB⋅BPi=0，
∴AB⋅APi=AB2+AB⋅BPi=AB2=1，
即集合{y|y=AB⋅APi,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1，
故选：A．
根据空间向量的线性运算，向量的垂直和向量的数量积即可求出解．
本题主要考查空间向量的线性运算与数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】3
【解析】解：数列{an}为等差数列，a1=12，a6=27，
则d=a6−a15=27−125=3．
故答案为：3．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】(1,0)
【解析】【分析】
本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向．
根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，
且p=2，p2=1，
则抛物线的焦点坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)．
7.【答案】y=±12x
【解析】解：双曲线方程为x24−y2=1，则该双曲线的渐近线方程为：y=±12x．
故答案为：y=±12x．
利用双曲线方程，直接求解即可．
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题．
8.【答案】8π
【解析】解：由题意，底面的半径r=2，
∴该圆椎的侧面积S=π×2×4=8π，
故答案为：8π．
先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可．
熟练掌握圆锥的轴截面的性质和侧面积的计算公式是解题的关键．
9.【答案】24
【解析】解：因为4名男生a，b，c，d选一名男生共有4种不同的结果，
3名女生A，B，C选一名女生共有3种不同的结果，
一名男生和一名女生分别担任组长和干事共有2种不同的方法，
根据分步乘法计数原理可知：共有3×4×2=24种不同的结果．
故答案为：24．
根据题意结合分步乘法计数原理分析求解．
本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题．
10.【答案】1112
【解析】解：∵甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是23，和棋的概率是14，
∴甲不输的概率P=23+14=1112．
故答案为：1112．
利用互斥事件概率加法公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意互斥事件概率加法公式的合理运用．
11.【答案】3
【解析】解：若直线ax−3y−1=0与2x−(a−1)y+1=0平行，
则a⋅[−(a−1)]=−3×2且a×1≠2×(−1)，解得a=3．
故答案为：3．
根据两条直线平行与方程的关系，建立关于a的方程，解之即可得到本题的答案．
本题主要考查直线的方程、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】x24+y2=1或x2+y24=1
【解析】解：设长轴为2a，焦距为2c，
则在△F2OB中，由∠F2BO=π3得：c= 32a，
所以△F2OF1的周长为：2a+2c=4+2 3，
∴a=2，c= 3，∴b2=1
则椭圆的方程是x24+y2=1或x2+y24=1．
故答案为：x24+y2=1或x2+y24=1．
先结合椭圆图形，通过直角三角形△F2OB推出a，c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a，c然后求出b，求出椭圆的方程．
本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法，关键是求出a，b的值，易错点是没有判断焦点位置．
13.【答案】124
【解析】解：根据题意可得△EFQ的面积为12×12×1=14，
又易知P到平面EFQ的距离为12，
∴三棱锥P−EFQ的体积为13×14×12=124．
故答案为：124．
直接根据三棱锥的体积公式即可求解．
本题考查三棱锥的体积的求解，属基础题．
14.【答案】−12
【解析】解：因为数列{an}是首项为−34，公比为m的无穷等比数列，且i=1+∞ai=m，
所以|m|<1，
又i=1+∞ai=n→∞lima1(1−mn)1−m=m，
化简得a11−m=m，即m(1−m)=−34，
解得m=−12或m=32(舍去)，则m=−12．
故答案为：−12．
根据无穷项等比数列求和公式列方程即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
15.【答案】②
【解析】解：因为a1009a1010−1>0，故可得a12q2017>1，因为a1>1，故可得q>0，
因为a1009−1a1010−1<0，若q>1，则a1009和a1010均大于1，与已知矛盾，故q∈(0,1)，
因此a1009>1，a1010<1，数列{an}是个递减数列，
对①，因为数列是递减数列，且a1010<1，故a2022<1，故①错误；
对②，a1009a1011=a10102，因为a1010<1，故a1009a1011<1，故②正确；
对③，T1010=T1009×a1010，因为a1>1，数列是递减数列，
且a1009>1，a1010<1，故Tn中最大值为T1009，故③错误；
对④，T2018=(a1009a1010)1009>1，T2019=(a1010)2019<1，
故Tn>1成立的最大自然数n是2018，故④错误．
综上所述，只有②正确．
故答案为：②．
由a1>1，a1009a1010−1>0，可得公比的范围，结合数列的单调性，对四个结论进行逐一判断即可．
本题考查等比数列的性质，属中档题．
16.【答案】3
【解析】解：由题意得C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，
从而m必然有m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}，
设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则由椭圆与双曲线的定义可得，
d1+d2=2 9−m，|d1−d2|=2 9−n，
且PF1⊥PF2，F1F2=2 5，故d12+d22=20，
即(d1+d2)2=20+2d1d2=36−4m(d1−d2)2=20−2d1d2=36−4n⇒m+n=8，
所以存在两条曲线Cm、Cn，且m=1n=7，m=2n=6，m=3n=5．
故答案为：3．
本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到C1，C2，C3是椭圆，C5，C6，C7，C8是双曲线，从而根据题意可得m∈{1,2,3}，n∈{5,6,7,8}，再结合椭圆与双曲线的定义与PF1⊥PF2即可得m+n=8，从而得到答案．
本题考查了椭圆的简单几何性质，是中档题．
17.【答案】解：(1)由题意，n=12，
则(2x2+1x)12展开式的通项公式为Tk+1=C12k⋅(2x2)12−k⋅(1x)k=C12k⋅212−k⋅x24−3k，k=0，1，，
令24−3k=0，解得k=8，
展开式中的常数项为T9=C128⋅24=7920；
(2)令x=1，可得展开式中各项系数之和为312=531441．
【解析】(1)根据二项式展开式的通项公式求解；
(2)利用赋值法可得答案．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
18.【答案】(1)证明：M、N、P分别是C1D1、C1C、A1A的中点，
连接MN，A1B，D1C，
在正方体中，A1B/​/D1C，MN/​/D1C，
所以MN/​/A1B，
所以M，N，A1，B四点共面；
(2)解：连接MN，D1C，D1P，PC，AC，
因为MN/​/D1C，所以直线D1P与D1C所成的角等于异面直线PD1与MN所成角，
则∠PD1C为直线D1P与D1C所成的角，
因为正方体的棱长为2，则D1P= 22+12= 5，D1C=2 2，PC= 12+(2 2)2=3，
在△D1AC中，cs∠PD1C=PD12+D1C2−PC22PD1⋅D1C=5+8−92 5⋅2 2= 1010．
所以异面直线PD1与MN所成角的大小arccs 1010．
【解析】(1)由中位线的性质及正方体的性质可证得MN/​/A1B，及证得M，N，A1，B四点共面；
(2)由异面直线所成的角转化为相交线所成的角，由余弦定理可得所求的角的余弦值．
本题考查四点共面的证法及异面直线所成的角的求法，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可得(0.01+0.15+0.15+a+0.025+0.005)×10=1，解得：a=0.030；
(2)因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为2060=13．
其中[70,80)分数段有0.03×10×60=18人，
[80,90)分数段有0.025×10×60=15人，
所以在[70,80)分数段中抽取18×13=6人，
[80,90)分数段抽取15×13=5人，
设甲被抽到的事件为A，乙被抽到的事件为B，
则P(A)=118=13，P(B)=515=13，
则甲乙至少一人被抽到的概率为P=1−P(AB−)=1−23×23=59．
【解析】(1)利用频率分布直方图中各个小矩形面积之和为1即可求出a的值；
(2)设甲被抽到的事件为A，乙被抽到的事件为B，求出相应的概率，然后可以根据对立事件求解．
本题考查频率分布直方图求频数、频率，分层抽样，相互独立事件的概率，是基础题．
20.【答案】证明：(1)因为a1=1，an+1=an2an+1(n∈N*)，
所以1an+1=2an+1an=2+1an，则1an+1−1an=2，
所以数列{1an}是以1a1=1为首项，2为公差的等差数列；
(2)由(1)可得1an=1+2(n−1)=2n−1，
所以an=12n−1，
当n=1时，b1=S1=12−12×23=4，
当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=12−12(23)n−[12−12(23)n−1]=12⋅(23)n−1−12⋅(23)n
=12⋅(23)n−1(1−23)=4⋅(23)n−1，
当n=1时，b1=4满足题意，
所以bn=4⋅(23)n−1；
(3)由(2)可得cn=bnan=4⋅(2n−1)⋅(23)n−1，
可得cn+1=4⋅(2n+1)⋅(23)n，
所以cn+1cn=2(2n+1)3(2n−1)，
由cn+1cn−1=5−2n6n−3，可得当n=1，2时，c1c4>c5>⋯>cn，
故可得c3取得最大值，c3=4×5×(23)2=809，
因为809<9可得不存在m∈N*，使cm≥9成立．
【解析】(1)对an+1=an2an+1(n∈N*)两边同时取倒，运用等差数列的定义即可证明；
(2)由等差数列的定义可求得{an}的通项公式，再由和与项的递推关系求出{bn}的通项公式；
(3)求得cn=bnan=4⋅(2n−1)⋅(23)n−1，判断{cn}单调性，可得{cn}最大值，即可判断对否存在．
本题主要考查了等差数列的判断，还考查了数列的和与项的递推关系的应用，属于中档题．