2023-2024学年上海市普陀区同济大学第二附中高一（上）期末数学试卷(含解析）

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这是一份2023-2024学年上海市普陀区同济大学第二附中高一（上）期末数学试卷(含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a，b为非零实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a2>b2B. 1a<1bC. |a|>|b|D. 2a>2b
2.设x∈R，不等式|x−3|<2的一个充分不必要条件是( )
A. 10C. x<4D. 2≤x≤3
3.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系：s=−2t2+40t−98，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为年．( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
4.函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，若关于实数t的不等式f(lg3t)+f(lg13t)>2f(2)恒成立，则t的取值范围是( )
A. (0,19)∪(9,+∞)B. (0,13)∪(3,+∞)C. (9,+∞)D. (0,19)
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数y= 2−x的定义域为______ ．
6.角−215°属于第______象限角．
7.设函数f(x)=2x,x≤0lg2x,x>0则f(f(12))=______．
8.函数f(x)=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则sinθ= ______ ．
9.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1为偶函数，且在(0,+∞)上严格单调递减，则实数m的值为______ ．
10.设2a=3b=m，且1a+1b=2，则m=______
11.函数f(x)=(12)x2−4x+5的单调递减区间为______ ．
12.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，其中OA=20cm，∠AOB=120°，M为OA的中点，则扇面(图中扇环)部分的面积是______ cm2．
13.设f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−1，则当x<0时，f(x)= ______ ．
14.已知函数f(x)=|x−3|，g(x)=−|x+4|+m，若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为______ ．
15.已知函数f(x)=ax2−2x+1(x∈R)两个零点，一个大于2另一个小于2，则实数a的取值范围为______ ．
16.已知g(x)=x+bx若对任意的x1，x2∈(1,2)，都有g(x1)−g(x2)x2−x1>1(x1≠x2)，则实数b的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知函数f(x)=lg1−x1+x
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)为奇函数．
18.(本小题14分)
已知函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象经过点(0,−2)，(2,1)．
(1)求实数a，b的值；
(2)若不等式a8−x2≥(14)x的解集记为A，求x∈A时，函数f(x)的值域．
19.(本小题14分)
已知函数f(x)=x+ax，且f(2)=0．
(1)求实数a，判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定义证明；
(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式f(t2+3)+f(−2t2+t−1)>0．
20.(本小题18分)
已知函数f(x)=−x2+ax−a．
(1)若f(x)的最大值为0，求实数a的值；
(2)设f(x)在区间[0,2]上的最大值为M(a)，求M(a)的表达式；
(3)令g(x)=−f(x)x，若g(x)在区间[1,2]上的最小值为1，求正实数a的取值范围．
21.(本小题18分)
对于函数y=f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−kf(x)，其中k为整数，则称函数y=f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．
(1)已知函数f(x)=x2+2x，试判断y=f(x)是否为(−1,1)上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；
(2)若f(x)=lg3(x+m)是[−2,2]上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)=x2−2x+t，对任意的实数t∈(−∞,2]，函数y=f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A选项不正确，当a=1，b=−2时，不等式就不成立；
B选项不正确，因为a=1，b=−2时，不等式就不成立；
C选项不正确，因为a=1，b=−2时，不等式就不成立；
D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a>b时一定有2a>2b，
故选D．
由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项
本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．
2.【答案】D
【解析】解：因为|x−3|<2，
所以−2由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合．
故选：D．
由|x−3|<2可得1本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：平均利润为st=−2t2+40t−98t=−(2t+98t)+40≤−2 2t×98t+40=12，
当且仅当2t=98t，即t=7时取最大值．
故选：A．
表示出平均利润St，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件．
本题考查函数的实际应用，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：因为函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是定义域R上的偶函数，
又因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且f(lg3t)+f(lg13t)=f(lg3t)+f(−lg3t)=2f(lg3t)>2f(2)，
所以f(lg3t)>f(2)，即|lg3t|>2，
解得lg3t>2或lg3t<−2，
所以t>9或0所以t的取值范围是(0,19)∪(9,+∞)．
故选：A．
根据函数y=xf(x)是定义在R上的奇函数得出f(x)是偶函数，把不等式化为f(lg3t)>f(2)，即|lg3t|>2，求解不等式即可．
本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
5.【答案】(−∞,2]
【解析】解：由题意知，2−x≥0，解得x≤2，
所以函数y= 2−x的定义域为(−∞,2]．
故答案为：(−∞,2]．
由二次根式的被开方数大于或等于0，求解即可．
本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，是基础题．
6.【答案】二
【解析】解：∵−215°=−360°+145°，
而145°是第二象限角，
故角−215°属于第二象限角，
故答案为：二．
利用终边相同的角，判断即可．
本题考查终边相同的角，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7.【答案】12
【解析】解：∵f(x)=2x,x≤0lg2x,x>0，
∴f(12)=lg212=−1，
则f(f(12))=f(−1)=12，
故答案为：12．
根据函数f(x)的解析式，求出f(12)的值，从而求出f(f(12))的值即可．
本题考查了分段函数问题，考查函数求值，是一道基础题．
8.【答案】2 55
【解析】解：函数f(x)=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象都过定点P(−1,2)，且点P在角θ的终边上，
故sinθ=2 1+4=2 55．
故答案为：2 55．
直接利用函数的性质和三角函数的的定义求出三角函数的值．
本题考查三角函数求值问题，属基础题．
9.【答案】−1
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1为偶函数，且在(0,+∞)上严格单调递减，
∴m2−m−1=1，m−1<0且m−1为偶数．
解得m=−1或2，
只有m=−1时满足m−1<0且m−1为偶数．
∴m=−1，
故答案为：−1．
由幂函数f(x)=(m2−m−1)xm−1为偶函数，且在(0,+∞)上严格单调递减，可得m2−m−1=1，m−1<0且m−1为偶数．解出即可．
本题考查了幂函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
10.【答案】 6
【解析】解：由2a=m，3b=m，(m>0)
可得lg2m=a，lg3m=b，
∴1a=lgm2，1b=lgm3．
∵1a+1b=2，即lgm2+lgm3=2，
∴lgm6=2．
那么m2=6．
∴m= 6
故答案为： 6．
利用指数与对数的互化即可求解．
本题考查了指数与对数的互化的应用，比较基础．
11.【答案】(2,+∞)
【解析】解：f(x)=(12)x2−4x+5的定义域为R，且是由函数f(x)=(12)t和t=x2−4x+5复合而成，
由于函数t=x2−4x+5在(2,+∞)递增，而f(x)=(12)t在定义域内为单调递减，
故f(x)=(12)x2−4x+5的单调递减区间为(2,+∞)．
故答案为：(2,+∞)．
根据指数型复合函数的单调性，结合二次函数的性质即可求解．
本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，单调减区间的求法，属于基础题．
12.【答案】100π
【解析】解：设线段BO的中点为C，
S扇环ABCM=S扇形AOB−S扇形OMC=12×2π3[202−(202)2]=100πcm2．
故答案为：100π．
利用扇形面积公式去求扇环部分的面积即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
13.【答案】−e−x+1
【解析】解：根据题意，当x<0，则−x>0，则有f(−x)=e−x−1，
又由f(x)为R上的奇函数，则f(x)=−f(−x)=−e−x+1，
故答案为：−e−x+1．
根据题意，当x<0，则−x>0，求出f(−x)的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．
14.【答案】(−∞,7)
【解析】解：由题意函数f(x)=|x−3|，g(x)=−|x+4|+m，
又因为函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，
所以f(x)>g(x)恒成立，
即|x−3|>−|x+4|+m恒成立，
即(|x−3|+|x−4|)min>m，
而由三角不等式可得|x−3|+|x−4|≥|3−(−4)|=7，当且仅当−4≤x≤3时等号成立，
即(|x−3|+|x−4|)min=7，
所以m的取值范围为(−∞,7)．
故答案为：(−∞,7)．
首先将题目等价转换为|x−3|+|x+4|>m恒成立，利用三角不等式求不等号左边最小值，由此即可得解．
本题考查了转化思想及利用三角不等式求最小值，属于中档题．
15.【答案】(0,34)
【解析】解：∵函数f(x)=ax2−2x+1(x∈R)两个零点，一个大于2另一个小于2，
∴a>0f(2)=4a−3<0①，或 a<0f(2)=4a−3>0②.
由①可得0综上，0故答案为：(0,34).
由题意，利用二次函数的性质，求出实数a的取值范围．
本题主要考查二次函数的性质，属于基础题．
16.【答案】[8,+∞)
【解析】解：由题意对任意的x1，x2∈(1,2)，都有g(x1)−g(x2)x2−x1>1(x1≠x2)，且g(x)=x+bx，
所以(x1+bx1)−(x2+bx2)x2−x1=bx1x2−1>1(x1≠x2)，x1，x2∈(1,2)，
即对任意的x1，x2∈(1,2)，b>2x1x2恒成立，
又因为x1x2∈(1,4)，所以2x1x2∈(2,8)，
所以对任意的x1，x2∈(1,2)，b>2x1x2恒成立，当且仅当b≥8，
即实数b的取值范围是[8,+∞)．
故答案为：[8,+∞)．
由题意首先得到(x1+bx1)−(x2+bx2)x2−x1=bx1x2−1>1，即对任意的x1，x2∈(1,2)，b>2x1x2恒成立，结合已知由此即可得解．
本题考查了转化思想、不等式的性质，属于中档题．
17.【答案】(1)解：∵由lg1−x1+x，得出1−x1+x>0，且1+x≠0
∴有(1−x)>0且(1+x)>0或者(1−x)<0且(1+x)<0
∵解得第一个不等式有−1∴函数f(x)=lg1−x1+x的定义域{x|−1(2)证明∵f(−x)+f(x)=lg1+x1−x+lg1−x1+x=lg1=0
∴f(x)=−f(−x)
∴函数f(x)为奇函数
【解析】(1)由lg1−x1+x，得1−x1+x>0，进而求出x的取值范围，得到答案．
(2)证明f(−x)+f(x)=0，进而证明f(x)=−f(−x)得出答案
本题主要考查对数取值范围，求函数定义域．及利用f(x)=−f(−x)或f(x)=f(−x)证明函数奇偶性．
18.【答案】解：(1)由题知点(0,−2)，(2,1)在函数f(x)=ax+b上，
所以a0+b=−2a2+b=1，解得a=2b=−3，
故a=2，b=−3．
(2)由a8−x2≥(14)x，得28−x2≥2−2x，则8−x2≥−2x，
解得−2≤x≤4，即A={x|−2≤x≤4}，
因为f(x)=2x−3在[−2,4]上单调递增，
故当x=−2时，f(x)min=f(−2)=−114，
当x=4时，f(x)max=f(4)=13，
所以f(x)的值域为[−114,13]．
【解析】(1)根据函数f(x)=ax+b过点(0,−2)，(2,1)，把点代入方程，从而可求解．
(2)求出集合A={x|−2≤x≤4}，然后利用函数的单调性即可求解．
本题主要考查了指数函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为f(2)=2+a2=0，
所以a=−4，f(x)=x−4x在(0,+∞)上单调递增，证明如下：
任取x1>x2>0，则x1−x2>0，1+4x1x2>0，
则f(x1)−f(x2)=x1−x2+4x2−4x1=(x1−x2)(1+4x1x2)，0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；
(2)由(1)得，f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x)奇函数，
由f(t2+3)+f(−2t2+t−1)>0得f(t2+3)>−f(−2t2+t−1)=f(2t2−t+1)，
因为t2+3>0，2t2−t+1>0恒成立，
所以3+t2>2t2−t+1，
解得−1故t的范围为(−1,2)．
【解析】(1)由f(2)=0，代入可求a，任取x1>x2>0，利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断；
(2)结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，还考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)=−x2+ax−a，开口向下，对称轴x=a2，
所以f(x)max=f(a2)=−(a2)2+a⋅a2−a=a24−a=0，解得a=0或a=4，
即实数a的值为0或4；
(2)由(1)可得：当a2≤0，即a≤0时，函数在[0,2]单调递减，所以M(a)=f(0)=−a；
当a2≥2，即a≥4时，函数在[0,2]单调递增，所以M(a)=f(2)=−22+2a−a=a−4；
当a∈(0,4)时，函数在[0,2]先增后减，所以M(a)=f(a2)=a24−a；
所以M(a)=−a,a≤0a24−a,0(3)因为g(x)=−f(x)x=x+ax−a，可得g(x)为对勾函数，
因为g(x)在区间[1,2]上的最小值为1，
因为a>0，令x=ax，可得x= a或x=− a(舍)，
当 a≤1，即0当 a≥2，即a≥4时，g(x)在区间[1,2]上单调递减，则g(x)min=g(2)=2+a2−a=1，解得a=2，不满足条件，
当1综上所述：a的范围为(0,1]．
【解析】(1)由二次函数的解析式，可得对称轴方程及开口方向，进而求出函数的最大值；
(2)分对称轴在[0,2]的左右两侧，及区间内三种情况讨论，可得M(a)的解析式；
(3)由题意可得g(x)为对勾函数，令x=ax，可得x= a，分 a在[1,2]的左右两侧及区间内三种情况讨论，由题意可得a的范围．
本题考查分类讨论的思想及对勾函数的最值的求法，二次函数的性质的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)=x2+2x为(−1,1)上的“2阶局部奇函数”，理由如下：
原问题等价于判断关于x的方程f(−x)=−2f(x)在(−1,1)上是否有解，
由(−x)2+2(−x)=−2(x2+2x)得，3x2+2x=0，解得x=0或−23，
所以方程f(−x)=−2f(x)在(−1,1)上有解，
即函数f(x)=x2+2x为(−1,1)上的“2阶局部奇函数”．
(2)由f(x)=lg3(x+m)是[−2,2]上的“1阶局部奇函数”，可知x+m>0在[−2,2]上恒成立，可得m−2>0，即m>2，
存在x∈[−2,2]，使得lg3(−x+m)=−lg3(x+m)有解，即lg3(−x+m)+lg3(x+m)=lg3(m2−x2)=0，
可得m2−x2=1，即m2=x2+1∈[1,5]，解得m∈[− 5,−1]∪[1, 5]，
综上m∈(2, 5]．
(3)问题等价于方程f(−x)=−kf(x)恒有解，即(−x)2−2(−x)+t=−k(x2−2x+t)，整理得(1+k)x2+(2−2k)x+t+kt=0，
当k=−1时，解得x=0，满足题意；
当k≠−1时，△≥0，即(2−2k)2−4(1+k)(t+kt)≥0，化简得(1+k)2−(1−k)2≤0对任意的实数t∈(−∞,2]恒成立，
g(t)=t(1+k)2−(1−k)2是关于t的一次函数且为(−∞,2]上的增函数，
故只需g(2)=2(1+k)2−(1−k)2=k2+6k+1≤0，解得−3−2 2≤k≤−3+2 2，且k≠−1，
综上，整数取值的集合{−5,−4,−3,−2,−1}．
【解析】(1)根据新定义转化为方程f(−x)=−2f(x)在(−1,1)上是否有解，即可解决；
(2)由题意可得m>2，由定义可得存在x∈[−2,2]，使得lg3(−x+m)=−lg3(x+m)有解，整理得m2−x2=1，从而可得m的取值范围，综合可得答案；
(2)问题等价于方程f(−x)=−kf(x)恒有解，即(−x)2−2(−x)+t=−k(x2−2x+t)，整理得(1+k)x2+(2−2k)x+t+kt=0，对k分类讨论，即可得解．
本题主要考查函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．

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